廣東省廣州市仲元中學(xué)2024屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.2.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.23.已知，則的值為（）A. B. C. D.44.已知空間向量，則（）A.3 B. C. D.215.在等比數(shù)列中，，若，且的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A.5 B.6 C.7 D.86.人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了人口增長(zhǎng)模型.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)這段時(shí)間的人口的年增長(zhǎng)率為0.3%.根據(jù)模型預(yù)測(cè)________年世界人口是1650年的2倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1878 B.1881 C.1891 D.19937.在中，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為1，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.8.設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，以為圓心且過(guò)的圓與x軸交于另一點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，線段與C交于點(diǎn)A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.相關(guān)系數(shù)越接近1，變量，相關(guān)性越強(qiáng)B.若隨機(jī)變量，滿足，則C.相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差D設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)保持不變），得到函數(shù)的圖象，下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.B.關(guān)于對(duì)稱C.在區(qū)間上有644個(gè)零點(diǎn)D.若在上是增函數(shù)，則的最大值為11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，其中，直線與橢圓交于、兩點(diǎn).則下列說(shuō)法中正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為B.當(dāng)時(shí)，若的中點(diǎn)為，為原點(diǎn)，則C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若的最大值為，則橢圓的離心率12.若，，，則（）A B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)的概率為_(kāi)___________．14.已知公差不為0的等差數(shù)列中，存在，，滿足，，則項(xiàng)數(shù)__________.15.如圖，該“四角反棱柱”是由兩個(gè)相互平行且全等的正方形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)、連接而成，其側(cè)面均為等邊三角形，則該“四角反棱柱”外接球的表面積與側(cè)面面積的比為_(kāi)_________．16.已知為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.17.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且．設(shè)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．18.在中，，.（1）求A；（2）已知M為直線上一點(diǎn)，，，求的面積.19.如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角余弦值.20.為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.（1）若袋中所裝4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為45元，其余3個(gè)均為15元，求顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是30000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)從如下兩種方案中選擇一種，并說(shuō)明理由.方案一：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值15元和2個(gè)標(biāo)有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個(gè)球由2個(gè)標(biāo)有面值20元和2個(gè)標(biāo)有面值40元的兩種球組成.21.已知橢圓：的離心率為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求橢圓