第57講絕對(duì)值不等式【課標(biāo)解讀】1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b，c∈R.2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.【備考策略】從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)考查：①絕對(duì)值不等式的解法；②絕對(duì)值性質(zhì)的應(yīng)用及最值；③根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍．以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型.【核心知識(shí)】1．絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．2．絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值不等式|x|<a與|x|>a的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<aeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－a<x<a))??|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解．②利用“零點(diǎn)分段法”求解．③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解．3．常用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))≤|a±b|≤|a|＋|b|；(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.【特別提醒】(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類(lèi)討論不全面的問(wèn)題；若用零點(diǎn)分段法求解，要掌握分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏．(2)絕對(duì)值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，從左到右是一個(gè)放大過(guò)程，從右到左是縮小過(guò)程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值．【高頻考點(diǎn)】高頻點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法例1．（2021年全國(guó)高考乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【變式探究】(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．【方法技巧】解絕對(duì)值不等式的常用方法基本性質(zhì)法對(duì)a∈R＋，|x|<a?－a<x<a，|x|>a?x<－a或x>a平方法兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)零點(diǎn)分區(qū)間法含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解數(shù)形結(jié)合法在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解【變式探究】|x＋3|－|2x－1|<eq\f(x,2)＋1.高頻考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式的性質(zhì)例2.(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范圍．【方法技巧】?jī)蓴?shù)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時(shí)．(2)該定理可強(qiáng)化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式．【變式探究】已知f(x)＝|2x＋a2|.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)＋|x－1|≥5的解集；(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x＋3|－f(x)<2a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝|2x－3|＋|2x＋3|.(1)解不等式f(x)≤8；(2)設(shè)x∈R時(shí)，f(x)的最小值為M，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋2c＝M，求a2＋b2＋c2的最小值．高頻考點(diǎn)三含絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用例3.已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．(1)若f(1)<11，求a的取值范圍；(2)若?a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范圍．【方法技巧】含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法(1)分離參數(shù)法：運(yùn)用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立問(wèn)題中的參數(shù)范圍問(wèn)題．其中求最值有以下3種方法：①利用基本不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)解決；②將函數(shù)解析式用分段函數(shù)形式表示，作出函數(shù)圖象，求得最值；③利用性質(zhì)“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值．(2)更換主元法：求解含參不等式恒成立問(wèn)題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，常可得到簡(jiǎn)捷的解法．(3)數(shù)形結(jié)合法：在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問(wèn)題時(shí)，若能數(shù)形結(jié)合，揭示問(wèn)題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢(shì)，可更直觀解決問(wèn)題．高頻考點(diǎn)四含絕對(duì)值不等式的能成立問(wèn)題例4．（2021年全國(guó)高考甲卷）已知函數(shù)．（1）畫(huà)出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))使不等式a＋1>f(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【方法技巧】不等式能成立問(wèn)題(1)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A；(2)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min<B.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)<x＋3的解集；(2)若不等式m－x2－2x≤f(x)在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式g(x)≥3的解集；(2)若?x2∈[－2,2]，?x1∈[－2,2]，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．第57講絕對(duì)值不等式【課標(biāo)解讀】1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b，c∈R.2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.【備考策略】從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．預(yù)測(cè)2022年將會(huì)考查：①絕對(duì)值不等式的解法；②絕對(duì)值性質(zhì)的應(yīng)用及最值；③根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍．以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型.【核心知識(shí)】1．絕對(duì)值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．2．絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值不等式|x|<a與|x|>a的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<aeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－a<x<a))??|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解．②利用“零點(diǎn)分段法”求解．③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解．3．常用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|a|－|b|))≤|a±b|≤|a|＋|b|；(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.【特別提醒】(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類(lèi)討論不全面的問(wèn)題；若用零點(diǎn)分段法求解，要掌握分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏．(2)絕對(duì)值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，從左到右是一個(gè)放大過(guò)程，從右到左是縮小過(guò)程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值．【高頻考點(diǎn)】高頻點(diǎn)一絕對(duì)值不等式的解法例1．（2021年全國(guó)高考乙卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【變式探究】(2020·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．【解析】(1)由題設(shè)知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤－\f(1,3)，,5x－1，－\f(1,3)＜x≤1，,x＋3，x＞1.))所以y＝f(x)的圖象如圖所示．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象．y＝f(x)的圖象與y＝f(x＋1)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，－\f(11,6))).由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)x＜－eq\f(7,6)時(shí)，y＝f(x)的圖象在y＝f(x＋1)的圖象上方．故不等式f(x)＞f(x＋1)的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,6))).【方法技巧】解絕對(duì)值不等式的常用方法基本性質(zhì)法對(duì)a∈R＋，|x|<a?－a<x<a，|x|>a?x<－a或x>a平方法兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)零點(diǎn)分區(qū)間法含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解數(shù)形結(jié)合法在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解【變式探究】|x＋3|－|2x－1|<eq\f(x,2)＋1.【解析】①當(dāng)x<－3時(shí)，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)<eq\f(x,2)＋1，解得x<10，∴x<－3.②當(dāng)－3≤x≤eq\f(1,2)時(shí)，原不等式化為(x＋3)－(1－2x)<eq\f(x,2)＋1，解得x<－eq\f(2,5)，∴－3≤x<－eq\f(2,5).③當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，原不等式化為(x＋3)＋(1－2x)<eq\f(x,2)＋1，解得x>2，∴x>2.綜上可知，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(2,5)或x>2)))).高頻考點(diǎn)二絕對(duì)值不等式的性質(zhì)例2.(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－2x，x≤3，,1，3＜x≤4，,2x－7，x＞4.))因此，不等式f(x)≥4的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,))x≤\f(3,2)或x≥\f(11,2))).(2)因?yàn)閒(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故當(dāng)(a－1)2≥4，即|a－1|≥2時(shí)，f(x)≥4，所以當(dāng)a≥3或a≤－1時(shí)，f(x)≥4.當(dāng)－1＜a＜3時(shí)，f(a2)＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2＜4.所以a的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【方法技巧】?jī)蓴?shù)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時(shí)．(2)該定理可強(qiáng)化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式．【變式探究】已知f(x)＝|2x＋a2|.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)＋|x－1|≥5的解集；(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x＋3|－f(x)<2a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＋|x－1|＝|2x＋4|＋|x－1|≥5，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2，,－2x－4－x＋1≥5，))得x≤－eq\f(8,3)；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤1，,2x＋4－x＋1≥5，))得0≤x≤1；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x＋4＋x－1≥5，))得x>1.所以f(x)＋|x－1|≥5的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(8,3)))∪[0，＋∞)．(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x＋3|－f(x)<2a成立，即|2x＋3|－|2x＋a2|<2a恒成立，因?yàn)閨2x＋3|－|2x＋a2|≤|2x＋3－2x－a2|＝|a2－3|，所以要使原不等式恒成立，只需|a2－3|<2a，則－2a<a2－3<2a，得1<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3)．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝|2x－3|＋|2x＋3|.(1)解不等式f(x)≤8；(2)設(shè)x∈R時(shí)，f(x)的最小值為M，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋2c＝M，求a2＋b2＋c2的最小值．【解析】(1)f(x)≤8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)，,－2x＋3－2x－3≤8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<\f(3,2)，,－2x＋3＋2x＋3≤8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2)，,2x－3＋2x＋3≤8，))∴－2≤x≤－eq\f(3,2)或－eq\f(3,2)<x<eq\f(3,2)或eq\f(3,2)≤x≤2，∴不等式f(x)≤8的解集為{x|－2≤x≤2}．(2)∵f(x)≥|(2x－3)－(2x＋3)|＝6，∴M＝6.∵(a2＋b2＋c2)(12＋12＋22)≥(a＋b＋2c)2＝36，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2b＝c時(shí)“＝”成立，∴a2＋b2＋c2≥6，∴a2＋b2＋c2的最小值為6.高頻考點(diǎn)三含絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用例3.已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．(1)若f(1)<11，求a的取值范圍；(2)若?a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范圍．【解析】(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a，a≤1，,1，1<a<2，,2a－3，a≥2，))當(dāng)a≤1時(shí)，3－2a<11，解得a>－4，∴－4<a≤1；當(dāng)1<a<2時(shí)，1<11恒成立；當(dāng)a≥2時(shí)，2a－3<11，解得a<7，∴2≤a<7.綜上，a的取值范圍是(－4,7)．(2)∵?a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，∴|x|≥x2－x－3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥x2－x－3，,x≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≥x2－x－3，,x<0，))解得0≤x≤3或－eq\r(3)≤x<0，∴x的取值范圍是[－eq\r(3)，3]．【方法技巧】含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法(1)分離參數(shù)法：運(yùn)用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立問(wèn)題中的參數(shù)范圍問(wèn)題．其中求最值有以下3種方法：①利用基本不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)解決；②將函數(shù)解析式用分段函數(shù)形式表示，作出函數(shù)圖象，求得最值；③利用性質(zhì)“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值．(2)更換主元法：求解含參不等式恒成立問(wèn)題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，?？傻玫胶?jiǎn)捷的解法．(3)數(shù)形結(jié)合法：在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問(wèn)題時(shí)，若能數(shù)形結(jié)合，揭示問(wèn)題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢(shì)，可更直觀解決問(wèn)題．高頻考點(diǎn)四含絕對(duì)值不等式的能成立問(wèn)題例4．（2021年全國(guó)高考甲卷）已知函數(shù)．（1）畫(huà)出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）可得，畫(huà)出圖像如下：，畫(huà)出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫(huà)出圖像，是平移了個(gè)單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過(guò)時(shí)，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))使不等式a＋1>f(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由已知，得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x－2，x<－\f(3,2)，,x＋4，－\f(3,2)≤x≤1，,3x＋2，x>1，))∴f(x)>4?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2)，,－3x－2>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)≤x≤1，,x＋4>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,3x＋2>4))?x<－2或0<x≤1或x>1.綜上，不等式f(x)>4的解集為(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)存在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))使不等式a＋1>f(x)成立?a＋1>f(x)min，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1)).由(1)得，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1))時(shí)，f(x)＝x＋4，f(x)min＝eq\f(5,2)，∴a＋1>eq\f(5,2)，∴a>eq\f(3,2)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).【方法技巧】不等式能成立問(wèn)題(1)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A；(2)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min<B.【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|.(1)求不等式f(x)<x＋3的解集；(2)若不等式m－x2－2x≤f(x)在R上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)x<－2時(shí)，f(x)<x＋3可化為1－x－x－2<x＋3，解得x>－eq\f(4,3)，無(wú)解；當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)<x＋3可化為1－x＋x＋2<x＋3，解得x>0，故0<x≤1；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x＋3可化為x－1＋x＋2<x＋3，解得x<2，故1<x<2.綜上可得，f(x)<x＋3的解集為(0,2)．(2)不等式m－x2－2x≤f(x)在R上恒成立，可得m≤x2＋2x＋f(x)恒成立，即m≤[x2＋2x＋f(x)]min.y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1的最小值為－1，此時(shí)x＝－1.f(x)＝|x－1