專(zhuān)題1:解三角形基礎(chǔ)知識(shí)及典型例題（解析版）

一、知識(shí)點(diǎn)歸納（★☆注重細(xì)節(jié)，熟記考點(diǎn)☆★）

1.正弦定理及其變形

—=—=—=2/?（7?為三角形外接圓半徑）

sinAsinBsinC

變式：⑴Q=2RsinA"=2HsinSc=2HsinC（邊化角公式）

（2）sinA=-^―,sinB,sinC=-^―（角化邊公式）

2R2R2R

⑶a:8：c=sinA:sinB:sinC

,*、asinAasinAbsinB

（4）-=^—,-=-；,-=—；

bsinBcsinCcsine

2.正弦定理適用情況：

（1）已知兩角及任一邊；

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角（需要判斷三角形解的情況）.

3.余弦定理及其推論

,b2+c2-a2

cosA=--------------

a2-b1+c2-2Z?ccosA2bc

a2+c2-b2

b1=a1+C1-laccosBDcosB=--------------

lac

222

c=a+i>-labcosC222

「a+b-c

cosC=-------------

2ab

4.余弦定理適用情況:

（1）已知兩邊及夾角;（2）已知三邊.

注.解三角形或判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化（這也

是正余弦定理的作用），統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.

5.常用的三角形面積公式

（1）=（x底x高；

(2)S=—ahsinC=—acsinB=—Z?csinA-裝（A為AABC外接圓半徑）

222

（兩邊夾一角）；

6.三角形中常用結(jié)論

（1）

a+b>c,b+c>a,a+c>仇即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）

（2）

在AABC中，A>Bu>a>/?osinA>sinB（即大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊）

（3）在中，A+3+C=，所以①sin（A+B）=sinC；②

cos（A+B）=-cosC；

③tan（A+5）=-tanC；④sincos￡⑤cos*=

222

7.實(shí)際問(wèn)題中的常用角

（1）仰角和俯角

在視線(xiàn)和水平線(xiàn)所成的角中，視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫仰角，在水平線(xiàn)下文

的叫俯角（如圖①）

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）

注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對(duì)于

水平線(xiàn)而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的。

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角（如圖③）

如：①北偏東。即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1到達(dá)目標(biāo)方向；

②“東北方向”表示北偏東（或東偏北）45°.

（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）

7）三角形的五心：

垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)

重心一一三角形三條中線(xiàn)的相交于一點(diǎn)

外心一一三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)

內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)

旁心一一三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與其他兩個(gè)角的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)

典型例題

典型例題

題型1正余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.在ABC中，角分別對(duì)應(yīng)邊a,〃,c,已知a=后，匕=6.角B=60，

求角C.

1.75

【分析】

先通過(guò)正弦定理求MA,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180求出C.

【詳解】

解：由正弦定理得——=——，

sinAsinB

即yL=Ul_,解得sinA=立，

sinAsin602

因?yàn)閎>a,則A必為銳角，

A=45，

,-.C=180—=180-60-45=75.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2.已知：1如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=AD=2，ZA=60°,BC=5,

求CO的長(zhǎng)

2.719

【分析】

先在AABD求得BD,NABO,即得NDBC,再利用余弦定理求CD的長(zhǎng).

【詳解】

因?yàn)锳5=AZ>=2，NA=60。，所以八鉆。為正三角形，

所以8D=2,NAB￡>=60

因?yàn)锳D〃BC,NA=60°，所以NABC=120ZDBC=60

因此CO?=22+52-2X2X5XCOS60=19；.C￡>=M

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.△ABC中，a=7,c=3,_B————.

sinB5

(1)求b；

(2)求NA.

.(1)b=5；(2)ZA=120°.

【分析】

由正弦定理求得6,由余弦定理求得cos/A,進(jìn)而求出N4的值.

【詳解】

bc

(1)由正弦定理得——=-----可得,

sinBsinC

csinC35x3

一=-----=一，所以b=——=5.

bsinB53

(2)由余弦定理得

工=嗡詈=4'又因?yàn)檫?。小。)

所以NA=120。.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)正弦定理求出b的值，是解題的

關(guān)鍵.

4.ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知a=幣，b=2,A=60°.

(1)求sinB的值；

(2)求2的值.

4.(1)sinB=盧^；(2)c=3.

7

【分析】

由正弦定理求出sinB，由余弦定理列出關(guān)于c的方程，然后求出c.

【詳解】

解：(1)因?yàn)椤?近，b=2,A=60°.

由正弦定理，匚;2，可得及_=二_,所以sinB=變；

sinAsinBsin60°sinB7

(2)由余弦定理+。2-2/?ccosA，V72=22+C2-2X2CCOS60°'

c=3，c--\(舍)，所以c=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理和余弦定理，在已知兩邊和一邊對(duì)角時(shí)可用余弦定理列方程求出第三

邊.

5.若A8C的面積為也，h=Lc=C，且NA為銳角.

2

(1)求cosA的值;

sin2A

⑵求的值.

sinC

x一庭gsin2A273

5s.(n1)cosA=——(2)-----=----

3sinC3

【分析】

(1)根據(jù)面積公式求出sinA,再求出cosA,

-e/…2A2sinA-cosA2air

(2)先用余弦定理求出邊a,再將式子化間.-------;----cosAA,求解即

smCsinCc

可.

【詳解】

后

(1)因?yàn)锳5C的面積為經(jīng)，

2

所以SMe=gbcsinA=；xlxJ^xsinA=,所以sirb4=^^.

因?yàn)锳BC中，NA為銳角，

所以cosA=Jl-sin2A=.

3

(2)在ABC中，由余弦定理，

2/Z

a2=Z72+c2—2bccosA=I2+—2xlxV6x—=3，所以a=>/3-

由正弦定理=所以也竺二色.

sinAsinCsinCc

sin2A2sinA-cosA2aA2x73瓜2百

所以------=-------------=----cosA=-；=—x——=----.

sinCsinCc<633

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的面積以及正余弦定理，公式的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

6.在AABC中，b=3叵,cosA-?B=+y-

32

(I)求4的值；

(II)求cos2c的值.

7

6.(I)a=3(II)—

【分析】

（I）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合cosA="，可以求出sinA的值，運(yùn)用正

3

弦定理，可以求出。的值；

（II）由cosA=45，B^A+-,運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可以求出sinB的值，根據(jù)同角

32

的三角函數(shù)關(guān)系式，可以求出cosB的值，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式

求出sinC，最后利用二倍角的余弦公式求出cos2c的值.

【詳解】

解：（I）在AABC中，由cosA=——>Ae（0,乃）得sinA=Jl-cos?A=^~?

33

71

因?yàn)?=4+—，

2

由正弦定理，一=—也

sinAsinB

得asin(A+X)=3^2sinA,即acosA=3A/2X——,

23

所以。=3.

(H)因?yàn)閏osA=逅，B=A+-,

32

所以sinB=sin(A+—)=cosA=，cosB--Jl-sin2B=--

233

所以sinC=sin(/r-A-B)-sin(A+B)=sinA?cosB+cosA-sinB=-.

3

,7

故cos2c=l-2sm2C=—.

9

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式,考查了：倍角的余弦公式,

考查了兩角和的正弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

題型2面積問(wèn)題

7.已知。，a,c是A8c中3,A，。的對(duì)邊，且5,A，C成等差數(shù)列.

（1）求A：

（2）若。=2,c-6,求ABC的面積.

7.(1)60°：(2)373.

【分析】

（I）由3，A，C成等差數(shù)列，得2A=8+C,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得結(jié)

果；

（2）直接利用三角形的面積公式求解即可

【詳解】

（1）因?yàn)榻?,A，C成等差數(shù)列

所以2A=5+C

又A+B+C=180°，所以A=60。.

（2）???5。肥=^兒七由4=36

【點(diǎn)睛】

此題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

8.在ABC中，a、b、c分別是角A.B.C的對(duì)邊，且（2a-c）cos6=bcosC.

（1）求角B的大??；

（2）若b=7,a+c=8,求A8C的面積.

8.（1）B=-;（2）生.

34

【分析】

（1）根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出結(jié)

果；

（2）利用余弦定理以及已知條件，即可求出ac=5,再根據(jù)S*Bc=；acsin8,即

可求出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）2sinAcossinCeosB=sinBcosC

2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC=sinA

...sinAwO,

cosB=一,

2

jr

又?：Bw（0,兀），：.B=-

3

（2）;Z?2=/+/—2〃ccos5，

49—u~+c~-cic—（Q+c）?—3ac-64—3ac,

."=5,S"c=gacsinB=|T5G

---.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

題型3周長(zhǎng)問(wèn)題

9.在A6c中，角A，B,C的對(duì)邊分別為。，b,J滿(mǎn)足6c=《sinB+GcosB）.

（1）求角A；

⑵若a=25,ABC的面積為36，求45c的周長(zhǎng).

9.（1）y;（2）8+2V7.

【分析】

（1）由正弦定理可得百cosA=sinA，結(jié)合Ae（o,萬(wàn)）運(yùn)算即可；

（2）由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得解.

【詳解】

解：（1）由正弦定理可得6x2RsinC=2RsinA（sinB+ecosB）,

"V3sinC=sinAsin8+百sinAcos6>

6sin（A+B）=sinAsinB+A/3sinAcosB，

V3cosAsinB=sinAsinB?

：sinBH0,

A/3COSA=sinA，tanA=G，

,/AG（0,兀）,

則A=三；

3

（2）由余弦定理可得q2=62+c2—3ccosA，

得（2歷2=〃+c2-2bccos￡,

化簡(jiǎn)得b1+c2-be-28>

又SABC=gbcsinA=3G，則。C=12,

解得b=6,c=2或8=2,c-6.

所以三角形周長(zhǎng)為8+2/7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題.

10.ABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且滿(mǎn)足：

2bcosBcosCcosA

-------------+-----.

acca

(1)求8；

(2)若ABC面積為S=26，外接圓直徑為4,求ABC的周長(zhǎng).

10.(1)J；(2)6+26.

【分析】

(1)首先將己知等式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理將邊化角，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)三角形面積公式可得ac,再正弦定理可求。，再利用余弦定理可求Q+C,

由此即可求出結(jié)果.

【詳解】

2bcosBcosCcosA.,—x

(1)=------1-----=>2/?COSB=6ZCOSC4-CCOSA,

acca

得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，

sinB^O/.cosB=—

2

??.B=~.

3

(2)ABC的面積S=—acsinB=2\/3=>ac=S,

2

由正弦定理可知‘一=4n/?=2G,

sinB

illb2=a2+c2-2accosB=^a2+c2-ac=\2=>(a+c)2=12+3ac、=36,

則a+c=6,

A6C的周長(zhǎng)為6+26.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

題型4判斷三角形形狀

11.在AA3C中，若/?=。(：05。，試判斷AABC的形狀.

11.AABC是直角三角形.

【分析】

由已知利用正弦定理再結(jié)合兩角和正弦公式化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

b=acosC,

由正弦定理,得sin3=sinAcosC(*)

=+sinB=sin(4+C),從而(*)式變?yōu)?/p>

sin(A+C)=sinAcosC.

cosAsinC=0

又：A,Ce(O,%),

71

.??cosA=0,A=—,即AABC是直角三角形.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且2a?=(2b-c)b+(2c-b)c.

(I)求角A的大??；

(II)若6=2ccosA,試判斷ABC的形狀

12.(I)A=60°：(H)等邊?:角形.

【分析】

(1)由已知三邊關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求角4

(2)由正弦定理的邊角互化，應(yīng)用兩角和正弦公式可得sin(A-C)=O,結(jié)合(1)的

結(jié)論即可知A6C的形狀.

【詳解】

(I)V2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,整理得bc=〃+c?—〃，

A=60°.

(II)由正弦定理，得sin3=2sinCcosA,而8=%—(A+C),

/.sin(i4+C)=2sinCeosA=sinAcosC+cosAsinC,即

sinAcosC-cosAsinC=0.

sin(A-C)-0,A-C,

A=B=C=60°>

二ABC為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正余弦定理，根據(jù)三邊關(guān)系應(yīng)用余弦定理求角，由正弦定理的邊角互化、兩

角和正弦公式判斷三角形形狀，屬于基礎(chǔ)題.

題型5三角形外接圓問(wèn)題

13.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足a+,b=LCOs3.

2

(I)求角C;

(2)若。=2,6=3,求A3C外接圓的半徑.

(1「2萬(wàn)m,57

13.(1)C=--；(2)----.

33

【分析】

(1)利用正弦定理邊化角公式可得sinA+-sinB=sinCeosB，再將?

2

sinA=sin(C+B)

整理可得cosC=—4，C=女

23

(2)根據(jù)余弦定理可得c=曬再根據(jù)正弦定理求出2R=，即可得R

sine

【詳解】

解:(1)由正弦定理知sinA+』sin8=sinCcosB

2

有sin5cosc+cosBsinC+—sinB=sinCeosB,且sinBw0,C￡(0,TT)

2

12"

所以cosC=——,C=——

23

⑵/=a24-Z?2-2abcosC=19,c=V19,

°_M_2庖明回

/1\_____—~~——-----f\-----

所以sinCG3'3

2

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.在418c中，a、b、c分別為角A、B、。所對(duì)的邊，20cosC—2a+c=0.

⑴求角8的大??；

(2)若b=2,求AABC外接圓的半徑.

7t

14.(1)B=--.(2)

3

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為cosB的，由此求得cosB的值并求得8的大小;

(2)利用正弦定理可直接求得三角形的外接圓半徑.

【詳解】

(1)2bcosC-2?+c=0,由余弦定理得：

c,a2+b2-c2c

2bx-----------2cl+c=()n,

lab

=>cr+c~一h~—cic<

lac2

0<B</r

(2)設(shè)AA3C外接圓的半徑為R，由正弦定理知

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用余弦定理和正弦定理解三角形.求出cosB的值后，由于其值為正

數(shù)，故為銳角.題目屬于基礎(chǔ)題.

題型6求范圍問(wèn)題

12

15.在ABC中，己知tanA=一

13

(1)若A3c外接圓的直徑長(zhǎng)為一，求的值;

2

(2)若ABC為銳角三角形，其面積為6,求BC的取值范圍.

6：⑵,竽

15.(1)

.7

【分析】

由三角形內(nèi)角求得sinA,cosA,

(1)由正弦定理，一=2H可得;

sinA

(2)由三角形面積得bc=13,利用正弦定理可把一@一用仇。表示為

sinA

a_/be

，這樣只要求得sinBsinC的范圍即

sinA-VsinBsinC

可.sinsinC=sinBsin(^-A-B)=sinBsin(A-I-B),展開(kāi)后應(yīng)用二倍角公式,

輔助角公式化為Asin(松“)+攵形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得范圍，其中可求得

re.7i

Bw——A一.

22J

【詳解】

12

(1)由已知tanA=不，又人￡(0,萬(wàn))，sinA>0,cosA>0,

sinA12

----=—125

山〈cosA13解得sinA=—，cosA=一,

.2A2A11313

sinA+cosA=1

由正弦定理得-^=2R=U,13

:.BC=—sinA

sinA22213

12則S"c=；b°sinA=6,be=13.

(2)由(1)sinA=—cosA=—

1313

bcpaIbe

由正弦定理」----=-----得-----B<-,C<-

sin8sinCsinAVsin5sinC

BG

a=be=13=13

sinAVsinBsinCvsinBsin(^-A-B)vsinBsin(A+B)

25."仁一后+斗

??.3="4時(shí)，焉==苧，a=呼,

2幅5

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理，三角形面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換.關(guān)鍵是

由正弦定理用角表示出邊一@—=J——....再利用三角函數(shù)性質(zhì)得出邊的范圍.

sinAVsin5sinC

16.如圖，在平面四邊形ABC。中，Zfi=120°,AB=2，NR4C的平分線(xiàn)與交SC于

點(diǎn)E，且AE=J^.

(I)求及AC；

(II)若ZM>C=60。，求四邊形A5CD周長(zhǎng)的最大值.

16.(1)NBAE=15°,AC=26；(II)473.

【分析】

AEAB

(1)在ZXABE中，由正弦定理，-----=----------，求解出N8E4和NS4石，再

sinBsinZBEA

由4L4E得到N84c和ZACB，根據(jù)余弦定理求解出AC的值即可；

（2）由（1）知，BC=AB=2,令A(yù)D=〃Z,CD=n,在八48中，由余弦定理

可以得到（小+〃）2=12+3加，再由基本不等式可求出機(jī)+〃的最大值，即可求出四邊

形ABCD周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】

（I）在△AfiE中，由止弦定理得sin/A￡B=-------=-----產(chǎn)=—，

AE屈2

又ZAEB<NB，則NA￡B=45°,于是44E=180。-120。-45。=15°,

.-.ZBAC=30,ZACB=180°-120°-30°=30°,:.BC=AB=2,

在MC中，根據(jù)余弦定理得AC?=2?+22—2X2X2XCOS1200=12，

:.AC=20.

（II）令A(yù)D=根，CD=n.在△ACZ）中，

由余弦定理得（26）=m2-\-rT-2mncos60=（m+n^-3/nn,

即有（m+〃）2=12+3，w〃〈12+3x（生土4,即（"'+"）?12,...（〃?+〃）44省，

k2J4

當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=26時(shí)，"=”成立.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解三角

形問(wèn)題中可以應(yīng)用正余弦定理的題型有：

1.已知一邊和兩角；

2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角；

3.已知兩邊和它們所夾的角；

4.已知三邊.

17.在ABC中，ZA,B8,NC的對(duì)邊分別為“，b,c.已知

V2ccosC-acosB+￡>cosA

（1）求/C的大小；

（2）已知。+匕=4,求ABC的面積的最大值.

71L

17.（1）C=—；（2）V2.

【分析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，求得cosC即可求解;

（2）利用基本不等式可求得（ab）max=4,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）由0。以的。=。（：058+/?以的4，化簡(jiǎn)可知，

>/2sinCcosC=sin（A+B）=sinC,

得cosC=-，

2

由Ce（O,萬(wàn)），故C=

（2）由。+。=4,得"46+.）=4,

4

故S5c=g"sinC<亞，

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=2時(shí)取等號(hào)，

所以ABC面積的最大值為近.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化是化簡(jiǎn)三角恒等式的關(guān)鍵，求面積的最值轉(zhuǎn)化為

求。。的最值，合理使用均值不等式求最值，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

題型7三角形解的個(gè)數(shù)

18.在ABC中，a,b,c是角A，B,。所對(duì)的邊，且a=3,b=&>，NB=45°,

則NA等于（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.135°

18.C

【分析】

利用正弦定理求得sinA，根據(jù)大邊對(duì)大角確定A的范圍，得到A的值.

【詳解】

a=3,h=底，NB-45°,

&顯

由正弦定理得..asinB-26

sinA=-----=—r=-=—

b屈2

a>b,:.A>B'

.?.45°<A<180°

.,.A=60°或A=120°,

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理，在已知兩邊一對(duì)角時(shí)，利用正弦定理解三角形，注意大邊對(duì)大角，

對(duì)另一個(gè)對(duì)角的范圍進(jìn)行限定，從而做出正確選擇.

19.已知ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別b,c,4=30°,a=0,

b=2,那么滿(mǎn)足條件的ABC()

A.有一種情形B.有兩種情形

C.不可求出D.有三種以上情形