2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，已知直線/：y=Z(x+l)(Z>0)與拋物線C：V=4尤相交于A,B兩點(diǎn),且4、8兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投

影分別是M,N,若|AM|=2忸N|,則女的值是()

1

AV2

33

2+3/

2.已知i為虛數(shù)單位，則

(1-2/)/

74.74.

A.

5555

3.已知甲盒子中有旭個(gè)紅球，〃個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有加-1個(gè)紅球，〃+1個(gè)藍(lán)球(m23,〃23),同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子

中取出d=1,2)個(gè)球進(jìn)行交換，(a)交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為P,(i=L2).(b)交換后，乙盒

子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為。0=1,2).則()

A.%>P2，E&)<E&)B.p/P2，E@》E&)

c.Pl>P2,E&)>E&)D.Pi<P2，E(0)<E記2)

4.對(duì)于函數(shù)/(x),定義滿足,fM=毛的實(shí)數(shù)X。為/(力的不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)f(x)=logfl尤，其中a>0且aH1,若f(x)

有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則”的取值范圍是()

A.0<。<1或。=\[eB.\<a<\[e

C.0<。<1或…―D.()<a<l

Cl-c

5.已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為()

△出

*<-2/2-**

A.272B.273C.4D.276

6.已知純虛數(shù)二滿足（l-2i）z=2+ai,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)。等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.已知等差數(shù)列｛4｝中，%=7,%（）+。7=°，則生+“4=（）

A.20B.18C.16D.14

8.已知向量￡與向量/〃=（4,6）平行，3=（-5/），且￡寄=14，則￡=（）

A.（4,6）B.（T,-6）

、（2>/133713^1（2VT33713^

C13,13）D?[―-B->--1Fj

9.（x+y）（2x-y）5的展開式中的系數(shù)為（）

A.-30B.-40C.40D.50

10.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若2+%=4+。3,則$7=（）

A.28B.14C.7D.2

11.設(shè)a,￡是方程/一X一1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記%=a"+/T(〃eN*).下列兩個(gè)命題()

①數(shù)列｛%｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

②數(shù)列｛??｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

12.已知整數(shù)?%)'滿足x2+y2<]o,記點(diǎn)加的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)M滿足x+yN6的概率為()

967

A.—D.

353537

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在+的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

JTJT

14.在△ABC中，AB=2,B=-,C=-9點(diǎn)尸是邊8C的中點(diǎn)，則AC=,APBC=.

46

15.給出以下式子：

①tan250+tan350+6tan25°tan35°；

@2(sin350cos250+cos350cos65°)；

-1+toil5°

③---------

l-^nl5°

其中，結(jié)果為G的式子的序號(hào)是.

16.(a+x)(l+x)4的展開式中，若》的奇數(shù)次塞的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則。=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和為S4=14,且%小,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列|」一|的前"項(xiàng)和Tn.

aa

[nn+lJ

18.(12分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=2cos。

已知曲線G的參數(shù)方程是1.0(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c,

y=sin夕

的極坐標(biāo)方程是。=2sin9.

(1)寫出q的極坐標(biāo)方程和G的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)知1、知2的極坐標(biāo)分別為(I,5]和(2,0),直線Mi"?與曲線C?相交于p,。兩點(diǎn)，射線OP與曲線

G相交于點(diǎn)A,射線Q2與曲線G相交于點(diǎn)3,求77、+￡產(chǎn)的值.

\OA\~\OB|"

19.(12分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價(jià)格

456789

X(元)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

（件）

已知變量x，y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲），=4x+53；乙

y=Yx+105;丙＞=7.6%+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）新高考，取消文理科，實(shí)行“3+3”，成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中

學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人（把年齡在口5,45）稱為

中青年，年齡在45,75）稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表:

年齡（歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)515101055

了解4126521

（1）分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率；

（2）請(qǐng)根據(jù)上表完成下面2x2列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)?

了解新高考不了解新高考總計(jì)

中青年

中老年

總計(jì)

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

（3）若從年齡在［55,65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X,求X的分

布列以及E（X）.

21.（12分）已知橢圓C：=+與=1（a>*>0）過(guò)點(diǎn)（0,叵）,且滿足a+b=3夜.

ab

（1）求橢圓C的方程；

（2）若斜率為1的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)"坐標(biāo)為（2,1）,設(shè)直線肌4與的斜率分別為心,

2

ki,試問心+生是否為定值？并說(shuō)明理由.

22.（10分）如圖，。是在△A5C邊AC上的一點(diǎn)，△面積是△A3。面積的2倍，ZCBD=2ZABD=2O.

/T、H八兀-sinAi乙一

（I）若0=［求一^；的值;

osine

(II)若8C=4,AB=2啦,求邊AC的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

直線y=k（x+1）（攵>0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-1。），由此推導(dǎo)出\OB\=^\AF\,由此能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而能求出k的值.

【詳解】

設(shè)拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/:x=—1,

直線y=Zr（x+1）（左>0）恒過(guò)定點(diǎn)P（-LO）,

如圖過(guò)A、5分別作AM_L/于M,BNII于N,

由|AM|=2忸M，貝!J|E4|=2|EB|,

點(diǎn)8為A尸的中點(diǎn)、連接則|QB|=g|A可，

：.\OB\=\BF\,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為;，

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為把代入直線丫=%(X+1)(攵＞0),

解得V

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬

于中檔題.

2.A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-i）_74.

（l-2z）z-2+z-（2+z）（2-z）-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題題.

3.A

【解析】

分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是

對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.

詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球,

有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球,

紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)〃￡〃?-1,加+1三種情況；

如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)

一紅換亮藍(lán)，

對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是加—2,〃7—1,北加+1,〃7+2五種情況，所以分析可以求得>必,E?)<EC2),故選A.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)

應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.

4.C

【解析】

[n]n丫

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得In”=?；構(gòu)造函數(shù)g(x)=丁，并討論g(x)的單調(diào)性與最值,

畫出函數(shù)圖象，即可確定”的取值范圍.

【詳解】

由log“x=x得，lna=^-.

X

Inx

令g(x)=

尤

貝!lg，(x)=號(hào)%

令g'(x)=O,解得x=e,

所以當(dāng)xe(O,e)時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增;

當(dāng)xw(e,+oo)時(shí)，g[x)<0,則g(x)在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減；

所以g(x)在x=e處取得極大值，即最大值為g{e]=-=-,

ee

1nY

貝！Jg(x)=——的圖象如下圖所示：

由/(X)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，可得得lna<()或lna=1,

解得0<a<1或”

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.B

【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即

可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐如圖所示:

B

其中底面4BC是等腰直角三角形，PC_L平面ABC,

由三視圖知，PC=2,AB=2V2,

因?yàn)镻C，5cpe_LAC,AC=BC,AC_LC8,

所以AC=BC=2,PA=PB=AB=2后,

所以S&PAC=S/^CB=^\ACB=-X2X2=2,

因?yàn)闉榈冗吶切危?/p>

所以SAPAB=乎=手X(2何=26,

所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為26.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖還原幾何體并求其面積；考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)

鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

6.B

【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出z,然后根據(jù)二是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的?的值即可.

【詳解】

2+出(2+出)(1+2i)2一2a+(4+a)i

因?yàn)?l—2i)z=2+ai,所以

l-2i~(l-2z)(l+2z)5

又因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以2-2。=0,所以“=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)2=。+初為純虛數(shù)，則有4=0,/7Ho.

7.A

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為。，再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得/+%即可.

【詳解】

%=7,a.+4d=7,4=15,

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為由，得解得六一2.所以

aw+%=0q+9d+q+6d=0

陽(yáng)+g=2〃[+5d=2x15+5x(-2)=20.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

設(shè);=(x,y),根據(jù)題意得出關(guān)于X、丁的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出向量口的坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)a=(x,y),且加=(4,6),^=(-5,1),

由7/〃；得6x=4y,即3x=2y,①，由=-5x+y=14,②,

3x中=2y=解得|x--4

所以《[.50)因此，a=(-4,-6).

y=-6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量坐標(biāo)的求解，涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

9.C

【解析】

先寫出(2x-y)s的通項(xiàng)公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過(guò)程，即可求得.

【詳解】

對(duì)二項(xiàng)式

其通項(xiàng)公式為Tr+1=C；(2x廣(-?=G2“，(-1/式V

(x+y)(2x—y)5的展開式中x3/的系數(shù)

是(2x-y)s展開式中的系數(shù)與》3天的系數(shù)之和.

令r=3,可得,r2y3的系數(shù)為C^22(-l)3=-40；

令r=2,可得」。的系數(shù)為或23(-1)2=80；

故(x+y)(2x—y1的展開式中/y，的系數(shù)為80-40=40.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)4+。3=4+%并結(jié)合已知可求出鬼，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得s嚴(yán)整烏2=7a4,即可求

出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?+%=包+。5，所以2+%=%+。5，所以%=2,

所以57=駕?=7%=14,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

利用韋達(dá)定理可得a+尸=1,3=-1,結(jié)合。“=a"+￡"可推出an+l=4+,再計(jì)算出4=1,4=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,夕是方程/%_1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+4=1,3=-1,

因?yàn)?=〃+￡",

所以4+1=。田+夕田

=(〃+/T)a+(a"+/?")/?—爐a-"

=(a"+4")(a+/3｝-a(3(an-'+伊一)

=(a"+夕)+(a"T+/i)=4+%,

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛。“｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

222

又q=a+J3-l,a2=a+J3=(cr+yff)-2aB=3,

所以q=a2+a1=4,4-a3+a2=7,%=4+%=11,

以此類推，即可知數(shù)列｛%｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛6,｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由q=1,4=3,依次計(jì)算可知，

數(shù)列｛??｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期，

故數(shù)列｛??｝中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

12.D

【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè)，滿足條件的有7個(gè)，相除得到概率.

【詳解】

因?yàn)閄，)'是整數(shù)，所以所有滿足條件的點(diǎn)M(x,y)是位于圓f+/=10(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，滿足條件/+]0

的整數(shù)點(diǎn)有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)37個(gè)，

7

滿足x+y2百的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，則所求概率為三.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.15

【解析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得〃的值，由此寫出展開式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.

【詳解】

的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為2"=64,得〃=6,

所以，+的展開式通項(xiàng)為?(五=愛了等,

令葭-=o,得r=2,因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為c；=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.2a2

【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出AC,利用三角形的邊表示向量AP，然后利用向量的數(shù)量積求解AP-BC即可.

【詳解】

7171

?.?△ABC中，AB=2,B=—,C=-,

46

ACAB

：.----=-----,

sinBsinC

可得AC=20

因?yàn)辄c(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，

所以Q屈」(通+宿屈」(福+同?(而-麗」k-L通2

2222

=-x(2V2)2--x22=2

22

故答案為：20；2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.①(D③

【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】

tan25Q+tan350

(1)Vtan60°=tan(25°+35°)=上,

\-tan250tan350

tan250+tan3504-5/3tan25°tan35°；

百(1-九25°S〃35°)+V3tan25°tan35°,

=5/3，

②2(sin35ocos25°+cos35ocos65°)=2(sin350cos25°+cos35°sin250),

=2sin60°=^3

1+tan\50tan450+tani50

tan(45°+15°)=tan60°=V3;

1-taiA5°\-tan450tan450

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.

16.3

【解析】

試題分析：由已知得(l+x)4=l+4x+6x2+4/+/,故(q+x)(i+1)4的展開式中X的奇數(shù)次事項(xiàng)分別為4or,

4辦3,X,6d，其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）…+1；⑵而物.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)公差為。，列出關(guān)于4，"的方程組，求解的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得

111

-----=-r——即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.

44+1--〃+1〃+2

4q+6d=14

試題解析：（1）設(shè)公差為d.由已知得｛/一，、2/，7解得d=l或4=0（舍去），所以6=2,故4=〃+1.

（4+2d）=%（q4-6（7）

..]_]__1_____1_

⑵++n+1〃+2，

.111111n

'/=-----------+--I---------------=-------------------

'"2334…?+1n+22（〃+2）

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.

丫2115

18.（1）線G的普通方程為\+y2=i,曲線的直角坐標(biāo)方程為f+（y—1）2=1；（2）而r+兩？=不

【解析】

X-pcosO

試題分析：（1）（1）利用cos2O+sin20=l,即可曲線Ci的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而利用產(chǎn).即可化為極坐

y—psin6

標(biāo)方程，同理可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）由叫區(qū)過(guò)/+（廠1）2=1的圓心，得OP_LOQ得OA_LOB,設(shè)A（〃，。），+

1111022，,

FT存+萬(wàn)不透=彳+彳代入㈡^+「1/6=1中即可得解.

IOA.||OB|PiP?4

試題解析：

（1）曲線G的普通方程為二+9=1，化成極坐標(biāo)方程為巨竺”+「2亙1?。=1

44

曲線C2的直角坐標(biāo)方程為V+Q—1）2=1

(2)在直角坐標(biāo)系下，必(0,1),M2(2,0),必必：》+2廣2=0

恰好過(guò)V+0—1)2=］的圓心，

V-2

.?./尸0。=90°由02_10。得。4_103A,8是橢圓土+丁=1上的兩點(diǎn),

在極坐標(biāo)下，設(shè)ASI，。)，+分別代入左苧N+0：sin26=l中,

有左詈2+ojsin?。=1和金郎

+屋邛+訃1

4

1cos2。與皿+cos沿

+sin20,

P14

115115

即----T-*---------7=—

P\Pi4|。4『4

19.(1)乙同學(xué)正確

3

(2)分布列見解析，E(X)=-

【解析】

(1)由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)丘,1)代入驗(yàn)證，即可得出結(jié)論：

(2)根據(jù)(D中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的可能值，并求出

概率，得到分布列，即可求解.

【詳解】

(1)已知變量乂丁具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確,

vx=6.5,y=79,代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確,

故回歸方程為：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

X456789

y898382797467

y898581777369

“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的取值為:0,1,2,3.

1c[c29

p(x=0)=當(dāng)P(X==])=當(dāng)

)Cl-20,)C；20

C2cl

9=i)=G匾1

p(x=2)=當(dāng)P(X=

)cl-20,=20

于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列

X0123

1991

p

20202020

,-.E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

v'202020202

【點(diǎn)睛】

本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)

計(jì)算能力，屬于中檔題.

2

20.(1)P=-；(2)見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián)；(3)分布列見解析,

E(X)=1

【解析】

(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù)，即可求出概率;

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出K?的觀測(cè)值，對(duì)照表格，即可得出結(jié)論;

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值為0,1,2,分別求出概率，列出隨

機(jī)變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.

【詳解】

2211

(1)由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對(duì)新高考了解的概率尸=否二百，

中老年對(duì)新高考了解的概率尸=2=;.

205

(2)2x2列聯(lián)表如圖所示

了解新高考不了解新高考總計(jì)

中青年22830

老年81220

總計(jì)302050

50X(22X12-8X8)^

K2=556>3841>

30x20x20x30

所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).

(3)年齡在［55,65)的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人,

則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)X可能取值為0,1,2,

C°C31c'd63

貝"。=0)=言=6P(X=1)

Cl-lo-5

c2c'3

P(X=2)=-^

C510

所以X的分布列為

X012

133

P

10510

133