第三章不等式3.4基本不等式

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽ADBCEFGHab

圖片說明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有形的角度數(shù)的角度

當(dāng)a=b時(shí)

a2+b2－2ab=(a－b)2=0當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立一.重要不等式:替換后得到：即：即：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).二.基本不等式:你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab三.常用不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立1.(1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時(shí)x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值_______.1.(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號成立

因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m時(shí)，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值_______；結(jié)論1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號).14(簡記：積定和最小)(簡記：和定積最大)四.最值問題:7.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，

(1)求ab的取值范圍；

(2)求a+b的取值范圍.＞2.（2009山東理12T)設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)

（0，>0）的最大值為12，則的最小值為（）A.B.C.D.4xy02-22(4,6)A作業(yè)(2)求函數(shù)f(x)=x

(4-x)(0<x<4)的最大值___.(3)若x>-1，則函數(shù)的最小值___.9已知：0＜x＜，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值.4.某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站______千米處.答案:5

某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?解:設(shè)底面的長為xm,寬為ym,水池總造價(jià)為z元.根據(jù)題意,有:由容積為4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得即

當(dāng)x=y,即x=y=40時(shí),等號成立所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低總造價(jià)為297600元.變式1：x>0,y>0

且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法一：由題意得2x+8y=xy變式1：x>0,y>0

且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法二：由題意得3.已知x＞0，y＞0，若不等式m2+6m-x-y＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【變式備選】（1）若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是_______．【解析】令xy=t2（t＞0）,可得注意到t＞0，解得故xy的最小值為18.答案：18【典例】（2012·浙江高考）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是()【規(guī)范解答】

由x+3y=5xy可得當(dāng)且僅當(dāng)x=1,時(shí)取等號，故3x+4y的最小值是5.2.（2013·太原模擬）函數(shù)的最小值為()(A)6(B)7(C)8(D)9【解析】選B.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號.1.已知正整數(shù)a,b滿足4a+b=30，則使得取得最小值的有序數(shù)對（a,b）是()(A)（5，10）(B)（6，6）(C)（7，2）(D)（4，14）【解析】選A.依題意得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5,b=10時(shí)取等號.∴使得取得最小值的有序數(shù)對（a,b）是（5，10）.故選A.3.已知x＞0，y＞0，若不等式m2+6m-x-y＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【