22.6三角形、梯形的中位線（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021春·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）依次連接任意凸四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個特殊四邊形，則這個圖形一定是（

）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形【答案】D【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，連接AC，根據(jù)三角形的中位線定理得到HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC，可以推出EF＝GH，EF∥GH，根據(jù)平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形的中位線，解決問題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，證明EF＝GH和EF∥GH．2．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD中，G、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、GP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動而G不動時，下列結(jié)論成立的是（

）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定【答案】C【分析】連接AG，根據(jù)三角形中位線定理可得EF=AG，因此線段EF的長不變．【詳解】解：如圖，連接AG，∵E、F分別是AP、GP的中點(diǎn)，∴EF為△APG的中位線，∴EF=AG，為定值．∴線段EF的長不改變．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AG不變，則對應(yīng)的中位線的長度就不變．二、填空題3．（2022春·上海·八年級期末）在梯形的一條底邊長為4，中位線長為7，那么另一條底邊的長為__．【答案】10【分析】根據(jù)梯形的中位線等于兩底和的一半列出方程，解方程得到答案．【詳解】設(shè)梯形的另一條底邊的長為x，由題意得：×（4+x）＝7，解得：x＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的中位線，掌握梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)校考期末）順次連接一個四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是_________________．【答案】平行四邊形【分析】根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H是四邊形的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∴四邊形EFGH是平行四邊形；故答案為：平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與三角形中位線定理，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．5．（2019春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)，都在邊上，的平分線垂直于，垂足為，的平分線垂直于，垂足為，則的長__________.【答案】1【分析】證明△ABQ≌△EBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BE=AB=5，AQ=QE，同理可求CD=AC=7，AP=PD，∴DE=CD-CE=CD-（BC-BE）=2，∵AP=PD，AQ=QE，∴PQ=DE=1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┮阎菪蔚纳系组L為，中位線長為，則它的下底為________．【答案】14【分析】根據(jù)梯形的中位線定理得：下底=中位線長的2倍-上底．【詳解】解：根據(jù)梯形的中位線定理得：下底cm．故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查梯形中位線定理，掌握梯形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．梯形中位線的長等于上底與下底和的一半．7．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，那么四邊形DBCE的周長為______．【答案】11【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)線段中點(diǎn)的概念分別求出DB、EC，計算即可．【詳解】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，AB＝AC＝5，∴DE是△ABC的中位線，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝2，∴四邊形DBCE的周長＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）已知△ABC的周長為16，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三條邊的中點(diǎn)，則△DEF的周長為__．【答案】8【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，根據(jù)三角形周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，∵△ABC的周長為16，∴AB+AC+BC＝16，∴△DEF的周長＝EF+DE+DF＝（AB+AC+BC）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，R在CD邊上，且CR＝1，P為BC上一動點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P從B向C移動時，線段EF的長度為__．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出AR得長度，在根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】如圖，連接AR，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵BC＝6，AB＝3，CR＝1，∴AD＝6，DR＝2，∴AR＝＝2，∵E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，∴EF為的中位線，∴EF＝AR＝×2＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)及勾股定理，檢驗(yàn)學(xué)生對矩形性質(zhì)和中位線性質(zhì)的理解及對勾股定理的掌握情況．10．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)校考期中）如果一個四邊形的兩條對角線長分別為7cm和12cm，那么順次聯(lián)結(jié)這個四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形的周長是______cm．【答案】19【分析】根據(jù)三角形中位線定理，新四邊形是平行四邊形，且一組鄰邊分別等于原四邊形兩條對角線的一半，據(jù)此可求周長．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，∴，∴四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=．故答案為：19【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．熟記三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上海奉賢·八年級校考期末）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為_____．【答案】2【分析】由三角形中位線定理可得DE的長，再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得DF的長，則可得EF的長．【詳解】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，∵∠AFB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理與直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握這兩個知識點(diǎn)是本題的關(guān)鍵所在．12．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）等腰梯形的腰長為6cm，它的周長是22cm，則它的中位線長為______cm．【答案】5【分析】根據(jù)等腰梯形的腰長為6cm，它的周長是22cm，即可求得此梯形兩底的和，又由梯形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：如圖AB＝CD＝6cm，AD∥BC，∵等腰梯形的周長是22cm，∴AB＋BC＋CD＋AD＝22cm，∴AD＋BC＝22?6?6＝10（cm），∴它的中位線長為：（AD＋BC）＝5（cm）．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及梯形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．13．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，分別以、為邊在軸上方作等邊和等邊，連接，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動至點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為__．【答案】5【分析】如圖，延長，交于點(diǎn)，連接．說明點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是的中位線．【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)，連接．，都是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，與互相平分，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動至點(diǎn)時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是的中位線，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動至點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動路徑的長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確判斷出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．14．（2018春·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則=_________．【答案】4【分析】根據(jù)平行四邊形與中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，，∴∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)∴；故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知中位線的性質(zhì)．15．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，梯形的對角線將中位線EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，則GH＝___．【答案】1【分析】根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，計算出EF的長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，求出EG和HF的長，從而計算出GH的長．【詳解】解：∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EFADBC，∴E、G、H、F分別為AB、BD、AC、DC的中點(diǎn)，又∵AD=7，BC=9，∴EF=（7+9）÷2=8，EG=HF=7÷2=3.5，∴GH=EF-EG-HF=8-3.5-3.5=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查梯形的中位線定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握梯形中位線定理，屬于中考?？碱}型．16．（2021春·上海松江·八年級統(tǒng)考期末）已知的周長為，點(diǎn)，，分別為三條邊的中點(diǎn)，則的周長為________．【答案】8【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF=AB，DE=AC，DF=BC，根據(jù)三角形周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，∵△ABC的周長為16，∴AB+AC+BC=16，∴△DEF的周長=EF+DE+DF=（AB+AC+BC）=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．（2021春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB=90°，AB=6，BC=10，則EF=___________．【答案】2【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，計算即可．【詳解】解：為的中位線，，，是的中點(diǎn)，，，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，是的邊的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，且，，，則的周長是____．【答案】41【分析】延長BN交AC于點(diǎn)D，易證得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N為BD的中點(diǎn)；由已知M是BC的中點(diǎn)可得MN是△BCD的中位線，可得CD的長，據(jù)AC=AD+CD可得AC的長，即可得△ABC的周長．【詳解】解：如圖，延長BN交AC于點(diǎn)D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，∴∠BAN=∠DAN，∠ANB=∠AND，在Rt△ANB和Rt△AND中，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD=AB=10，BN=DN，即N為BD的中點(diǎn)，∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6，∴△ABC的周長為：AB+AC+BC=10+（10+6）+15=41．故答案為：41．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？计谥校┮阎菪蔚拿娣e為24cm2，高為4cm，則此梯形的中位線長為____________cm．【答案】6【分析】首先表示出梯形的面積求解方法與梯形中位線的求解方法，比較即可得到：梯形的面積是梯形中位線與梯形高的積，代入數(shù)值即可求得．【詳解】解：∵S梯形ABCD=（AD+BC）?AK，EF=（AD+BC），∴S梯形ABCD=EF?AK，∵梯形的面積為24cm2，高為4cm，∴EF=6cm．∴此梯形的中位線長為6cm．故答案為6．三、解答題20．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎喝鐖D，在△ABC中，M、N分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D是邊BC延長線上的一點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)CM、DN．求證：四邊形MCDN是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得MN∥BC，且MN＝BC，再由條件可得MN＝CD，進(jìn)而可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形MCDN是平行四邊形．【詳解】證明：∵點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴MN∥BC，且MN＝BC．即：MN∥CD．又CD＝BC，∴MN＝CD．∴四邊形MCDN是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形中位線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．21．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在?ABCD外，連接BE，DE，延長AC交DE于F，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥BE；(2)若AD=2，∠ADC=60°，∠ACD=90°，AC=2CF，求BE．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，可得點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，根據(jù)F為DE的中點(diǎn)，可得OF是△DBE的中位線，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC=2OA=2OC，根據(jù)AC=2CF，可得OA=OC=CF，根據(jù)含30度角的直角三角形，可得AC的長，所以O(shè)F=AC，再根據(jù)△DBE的中位線，進(jìn)而可得結(jié)論．(1)證明：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∵F為DE的中點(diǎn)，∴OF是△DBE的中位線，∴OF∥BE，∴AF∥BE；(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA=2OC，∵AC=2CF，∴OA=OC=CF，∵∠ADC=60°，∠ACD=90°，∴∠DAC=30°，∵AD=2，∴DC=1，∴AC=，∴OF=AC=，∴BE=2OF=2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．22．（2021春·上海金山·八年級期末）已知：如圖，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F、G分別是OB、OC、AC、AB的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；（2）如果AB＝AC，OB＝OC，求證：四邊形DEFG是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到FG∥BC，F(xiàn)G=BC，DE∥BC，DE=BC，進(jìn)而得到FG∥DE，F(xiàn)G=DE，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接AO并延長交BC于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AH⊥BC，根據(jù)三角形中位線定理得到DG∥AH，根據(jù)矩形的判定定理證明即可．【詳解】解：證明：（1）∵F、G分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴FG是△ABC的中位線，∴FG∥BC，F(xiàn)G=BC，同理可得：DE∥BC，DE=BC，∴FG∥DE，F(xiàn)G=DE，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）連接AO并延長交BC于H，∵AB=AC，OB=OC，∴AH是線段BC的垂直平分線，即AH⊥BC于H，∴AH⊥DE，∵D、G分別是OB、AB的中點(diǎn)，∴DG∥AH，∴DG⊥DE，∴平行四邊形DEFG是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形、矩形的判定定理、線段垂直平分線的判定，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到AH是線段BC的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)?？计谀┮阎菪蜛BCD中，，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，如果添加一個條件，使得四邊形EFGH成為矩形，那么所添加的這個條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形中位線的性質(zhì)可得四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形判斷即可；【詳解】解：由題意作圖如下，連接AC、BD，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF是△BAC的中位線，GH是△DCA的中位線，∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，同理可得EH∥BD，EH=BD，GF∥BD，GF=BD，若BD⊥AC，∵EF∥AC，∴BD⊥EF，∵BD∥EH，∴EF⊥EH，∴∠HEF=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形，若BD=AC，無法求得平行四邊形EFGH的一個內(nèi)角為直角或?qū)蔷€相等，不能證明是矩形，若，無法求得平行四邊形EFGH的一個內(nèi)角為直角或?qū)蔷€相等，不能證明是矩形，若，無法求得平行四邊形EFGH的一個內(nèi)角為直角或?qū)蔷€相等，不能證明是矩形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形，三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)校考期中）如圖，已知等腰梯形ABCD，ABCD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結(jié)論：①BDEF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE＋EF．其中錯誤的結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、三角形的中位線等知識進(jìn)行逐個判斷解答即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，又AD=BC、AB=AB，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠BAC=∠ABD，∠ADB=∠BCA，又AC⊥BC，∴OA=OB，OC=OD，∠ADB=∠BCA=90°即BD⊥AD，∵EF⊥AD，∴BD∥EF，故①正確；∴∠AEF=∠AOD=∠BAC+∠ABD，∴∠AEF=2∠BAC，故②正確；∵BE⊥AB，∴∠BAC+∠AEB=∠ABD+∠OBE=90°，∴∠AEB=∠OBE，∴OB=OE，∴AO=OE，又OD∥EF，∴AD=DF，故③正確；∴EF=2OD=2OC，∵OA=OE=OC+CE，∴AC=OA+OC=OC+CE+OC=2OC+CE=EF+CE，故④正確，綜上，正確的結(jié)論有4個，即錯誤的結(jié)論有0個，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．3．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）某花木場有一塊如等腰梯形的空地（如圖），各邊的中點(diǎn)分別是、、、，用籬笆圍成的四邊形場地的周長為40cm，則對角線的長度為（

）A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可推出四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得其邊長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求得梯形對角線的長度．【詳解】解：連接，四邊形是等腰梯形，，各邊的中點(diǎn)分別是、、、，，四邊形是菱形，四邊形場地的周長為，，。故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及菱形的判定，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022春·上海·八年級上海市張江集團(tuán)中學(xué)?？计谥校┰谔菪蜛BCD中，ABCD（AB＜CD），中位線EF把梯形分成兩個梯形，已知這兩個梯形的面積比為3∶5，EF＝10，則AB＝________．【答案】5【分析】由梯形中位線定理可得AB+CD=2EF=20，由已知這兩個梯形的面積比為3：5，得出，進(jìn)一步計算即可得出AB的長度．【詳解】解：如圖，∵EF是梯形ABCD的中位線，EF=10，∴AB+CD=2EF=2×10=20，∵中位線EF把梯形分成兩個梯形，∴這兩個梯形的高相等，∵已知這兩個梯形的面積比為3：5，∴，∴，∴AB=5，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的面積，梯形的中位線，掌握梯形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022春·上海·八年級上海市張江集團(tuán)中學(xué)?？计谥校┰诘妊菪蜛BCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，已知對角線AC＝10，則四邊形EFGH的周長為________．【答案】20【分析】連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到BD=AC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=10，∵E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，∴EF=AC=5，GH=AC=5，EH=BD=5，GF=BD=5，∴四邊形EFGH的周長=5+5+5+5=20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，對角線AC⊥BD，且AC＝5，則梯形ABCD的中位線的長為_____．【答案】【詳解】首先求出△ACE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊的長求得斜邊的長，從而利用中位線定義求得答案．【解答】解：過C作CE∥BD交AB的延長線于E，∵AB∥CD，CE∥BD，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∴CE＝BD，BE＝CD∵等腰梯形ABCD中，AC＝BD∴CE＝AC∵AC⊥BD，CE∥BD，∴CE⊥AC∴△ACE是等腰直角三角形，∵AC＝5，∴AE＝AB+BE＝AB+CD＝AC＝10，∴梯形的中位線＝AE＝5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線定理，牢記定理是解答本題的重點(diǎn)，難點(diǎn)是題目中的輔助線的做法．7．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是_________．【答案】##．【分析】若四邊形EFGH是菱形，則，利用三角形中位線定理可知：，，，，所以四邊形ABCD還應(yīng)滿足時，四邊形EFGH是菱形．【詳解】解：若四邊形EFGH是菱形，則，∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)，∴，，，，∴當(dāng)時，利用可判定四邊形EFGH是菱形，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理．解題的關(guān)鍵是依據(jù)三角形中位線定理得到，，，，利用菱形四邊形各邊相等的性質(zhì)得到．8．（2021春·上海浦東新·八年級上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）直角梯形ABCD中，，，E點(diǎn)是CD邊上的中點(diǎn)，且滿足，，則梯形的面積為______．【答案】9【分析】連接AE，過E作交AB于點(diǎn)F，先證明，由垂直平分線的性質(zhì)，得到，然后由勾股定理求出，再求出梯形的面積即可．【詳解】解：連接AE，過E作交AB于點(diǎn)F，∵E為CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，EF是梯形ABCD的中位線，故，又∵，∴EF是AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：，∵，，∴是等腰直角三角形．由勾股定理得：，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，從而進(jìn)行解題．9．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，D為外一點(diǎn)，使，E為BD的中點(diǎn)若，則__________．【答案】##30度【分析】延長BC、AD交于F，通過全等證明C是BF的中點(diǎn)，然后利用中位線的性質(zhì)即可．【詳解】解：延長BC、AD交于F，在△ABC和△AFC中，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴BC=FC，∴C為BF的中點(diǎn)，∵E為BD的中點(diǎn)，∴CE為△BDF的中位線，∴CE//AF，∴∠ACE=∠CAF，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的定義與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）將連接四邊形對邊中點(diǎn)的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝4，且兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較短的“中對線”的長度為___．【答案】2【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得菱形EFGH，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)兩條對角線AC、BD的夾角為60°，取四邊的中點(diǎn)并連接起來，設(shè)AC與EH交點(diǎn)M．∴EH是三角形ABD的中位線，∴EH＝BD＝2，EHBD，同理，F(xiàn)G＝BD＝2，F(xiàn)GBD，EF＝AC＝2，EFAC，HG＝AC＝2，HGAC，∴EHHGAC，EF＝FG＝HG＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵EH＝BD＝2，EHBD，∴∠AOB＝60°＝∠AME，∵FEAC，∴∠FEH＝∠AME＝60°，∴△HEF為等邊三角形，∴HF＝EH＝2，∴較短的“中對線”長度為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，理解題意，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，則MN＝___．【答案】4.5【分析】作輔助線如圖所示，根據(jù)BM為∠ABC的平分線，AM⊥BM得出∠BAM=∠G，故△ABG為等腰三角形，所以AM=GM．同理AN=DN，根據(jù)三角形中位線定理即可求得MN．【詳解】解：延長AM交BC于點(diǎn)G，延長AN交BC延長線于點(diǎn)D，∵BM為∠ABC的平分線，∴∠CBM=∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MGB+∠CBM=90°，∴∠BAM=∠MGB，∴△ABG為等腰三角形，∴AM=GM．BG=AB=10，同理AN=DN，CD=AC=6，∴MN為△ADG的中位線，∴MN=DG=（BC-BG+CD）=（BC-AB+AC）=（13-10+6）=4.5．故答案為：4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的長為3，高AH的長為，那么梯形的中位線長為___．【答案】6【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)梯形的中位線定理計算，得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于，，，，四邊形為平行四邊形，，平行四邊形為矩形，，在中，，，，由勾股定理得：，同理可得：，，梯形的中位線長，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的中位線、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知線段，、是上兩點(diǎn)，且，是線段上一動點(diǎn)，在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)由點(diǎn)移動到點(diǎn)時，點(diǎn)移動的路徑長度為__【答案】4【分析】分別延長、交于點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，得出為中點(diǎn)，則的運(yùn)行軌跡的中位線，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出的長度即可．【詳解】解：如圖，分別延長、交于點(diǎn)，連接、，、分別是、的中點(diǎn)．，，，，四邊形為平行四邊形，與互相平分．為的中點(diǎn)，正好為的中點(diǎn)，即在的運(yùn)動過程中，始終為的中點(diǎn)，的運(yùn)行軌跡為的中位線，，點(diǎn)移動的路徑長度為4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點(diǎn)移動的規(guī)律，判斷出其運(yùn)動路徑，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．三、解答題14．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，BD、AC是四邊形ABCD的對角線，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AD、DB、BC、AC上的中點(diǎn)．(1)求證：線段EG、FH互相平分；(2)四邊形ABCD滿足什么條件時，EG⊥FH？證明你得到的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)AB＝CD時，EG⊥FH，證明見解析【分析】（1）連接EF、GF、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AB，EF=AB，GH∥AB，GH=AB，證明四邊形EFGH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)定理證明即可．(1)證明：連接EF、GF、GH、HE，∵點(diǎn)E、F分別是線段AD、DB的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF=AB，∵點(diǎn)G、H分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，∴GH∥AB，GH=AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴線段EG、FH互相平分；(2)解：當(dāng)AB=CD時，EG⊥FH，理由如下：∵點(diǎn)G、F分別是線段BC、BD的中點(diǎn)，∴GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF，∴平行四邊形EFGH是菱形，∴EG⊥FH．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知在梯形中，．，．是邊的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)設(shè)邊的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)．求證：四邊形是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明；（2）根據(jù)題意，首先判定四邊形是平行四邊形，然后推知其有一內(nèi)角為直角，此題得證．(1)證明：∵，∴，∵，是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；(2)證明：如圖，連接，由（1）知，四邊形是平行四邊形，則，又∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．∵在梯形中，，∴，又∵，∴，∴，即是的平分線．∵，是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了梯形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形的中位線，中點(diǎn)的定義等知識．熟練掌握矩形與平行四邊形間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·上海·八年級期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF、EG的延長線相交于點(diǎn)H．(1)求證：四邊形FBGH是平行四邊形；(2)如果AC平分∠BAH，求證：四邊形ABCH是菱形．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）由三角形中位線知識可得DF∥BG，GH∥BF，根據(jù)平行四邊形的判定的判定可得四邊形FBGH是平行四邊形．（2）連接BH，交AC于點(diǎn)O，利用平行四邊形的對角線互相平分可得OB＝OH，OF＝OG，又AF＝CG，所以O(shè)A＝OC．再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得證四邊形ABCH是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可求解．（1）證明：∵點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，∴AF＝FG＝GC，即點(diǎn)F為AG的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴DF為△ABG的中位線，∴DH∥BG，同理：EH∥BF，∴四邊形FBGH是平行四邊形；（2）如圖，連接BH，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形FBGH是平行四邊形，∴BO＝HO，F(xiàn)O＝GO．又∵AF＝FG＝GC，∴AF+FO＝GC+GO．即：AO＝CO．∴四邊形ABCH是平行四邊形．∴AH∥BC．∴∠HAC＝∠BCA．∵AC平分∠BAH，∴∠HAC＝∠BAC．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．又∵四邊形ABCH是平行四邊形，∴四邊形ABCH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．注意運(yùn)用三角形的中位線的知識．17．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知梯形ABCD中，，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在邊BC上，且．

(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；(2)連接DG，若，求證：四邊形DEGF是矩形．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）連接EF，利用梯形中位線定理證得四邊形EGCF是平行四邊形；然后根據(jù)已知條件推知四邊形DEGF的對邊EG=DF且EG//DF，易證四邊形DEGF是平行四邊形；（2）連接EF，DG相交于點(diǎn)O，先證四邊形DEGF是平行四邊形，再證EF=DG，即可得答案．(1)解：如下圖，連接EF，∵四邊形ABCD是梯形，AD//BC，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∴EF=(AD+BC)，EF//AD//BC，∵CG=(AD+BC)，∴EF=CG，∵EF//GC，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∴EG//FC，EG=FC，∵F是CD的中點(diǎn)，∴FC=DF，∴EG//DF，EG=DF，∴四邊形DEGF是平行四邊形；(2)如下圖，連接EF，DG相交于點(diǎn)O，∵∠ADG=2∠ADE，∴∠ADE=∠EDG，∵EF//AD，∴∠ADE=∠DEO，∴∠EDG=∠DEO，∴EO=DO，∵四邊形DEGF是平行四邊形，∴EO=EF，DO=DG，∴EF=DG，∴四邊形DEGF是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及梯形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是在證四邊形DEGF是矩形時，必須先說明四邊形DEGF是平行四邊形．18．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┮阎酰菍蔷€與的交點(diǎn)，是的中位線，聯(lián)結(jié)并延長與的延長線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】由□，是的中位線，易證，即可得，繼而證得四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴且，∵是的中位線，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵即，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的定義等知識．注意證得是解此題的關(guān)鍵．19．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，延長AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，聯(lián)結(jié)GC、CF．(1)求證：AE∥CF；(2)當(dāng)AC＝2AB時，求證：四邊形EGCF是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知OB＝OD，根據(jù)中點(diǎn)可求EO＝FO，根據(jù)SAS可證△AEO≌△CFO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AEO＝∠CFO，由平行線的判定定理可求解；（2）先證明四邊形EGCF是平行四邊形，再證AE⊥OB即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵點(diǎn)E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，∴EO＝OB，F(xiàn)O＝OD，∴EO＝FO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（SAS），∴∠AEO＝∠CFO，∴AE∥CF；（2）證明：∵EA＝EG，OA＝OC，∴EO是△AGC的中位線，∴EO∥GC，∵AE∥CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵AC＝2AB，AC＝2AO，∴AB＝AO，∵E是OB的中點(diǎn)，∴AE⊥OB，∴∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA．(1)求證：四邊形OFGE是平行四邊形．(2)猜想：當(dāng)______°時四邊形OFGE是菱形，并證明．【答案】(1)見解析(2)30，證明見解析【分析】（1）通過“點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA”得到、分別為、的中位線，再由中位線的性質(zhì)可以證明且，即可證明四邊形OFGE是平行四邊形．（2）根據(jù)“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”得到時四邊形OFGE是菱形，從而得到為等邊三角形，推出．（1）證明：∵矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，∴，又∵點(diǎn)E、F和G分別平分線段AB、OD和OA，∴OE為的中位線，F(xiàn)G為的中位線，∴，，，，∴，，∴四邊形OFGE是平行四邊形．（2）解：由（1）知，四邊形OFGE是平行四邊形當(dāng)四邊形OFGE是菱形時，則∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴當(dāng)時，四邊形OFGE是菱形．故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．21．（2022春·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，，．(1)判斷四邊形OEFG的形狀，并證明．(2)若，，求四邊形OEFG的面積．【答案】(1)矩形，證明見解析(2)6【分析】（1）由三角形中位線定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解；（2）由勾股定理可求AB的長，得到AD、AE的長，再由中位線定理求得OE、FG的長，在Rt△AEF和Rt△OBG中，由勾股定理，，利用EF=OG得到BG方程，求得BG，進(jìn)一步得到OG的長，利用矩形面積公式，即得答案．【詳解】（1）解：四邊形OEFG是矩形．證明如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴DO＝BO，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，OE是△ABD的中位線∴OE∥AB，∴OE∥FG，又∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴四邊形OEFG是矩形．（2）解：∵四邊形ABCD是菱形∴，，，，∴∠AOB=90°∴△AOB是直角三角形由勾股定理得，∴，∵E是AD中點(diǎn)，∴，∵，E是AD中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線∴，∵四邊形OEFG是矩形，∴，，，∴，在Rt△AEF和Rt△OBG中，由勾股定理得，，∴，即，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，矩形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．22．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是斜邊AC上的一點(diǎn)，，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作交FD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形CBDE是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)BE、AE，如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，由平行四邊形的判定則可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得出，得出，由角平分線的定義證得，則可得出結(jié)論．【詳解】解：證明：（1），是等腰三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2），點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂