./測控1005班齊偉25〔18號(hào)實(shí)驗(yàn)一差分方程、卷積、z變換實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^該實(shí)驗(yàn)熟悉matlab軟件的基本操作指令,掌握matlab軟件的使用方法,掌握數(shù)字信號(hào)處理中的基本原理、方法以及matlab函數(shù)的調(diào)用。實(shí)驗(yàn)設(shè)備微型計(jì)算機(jī)1臺(tái)；matlab軟件1套實(shí)驗(yàn)原理Matlab軟件是由mathworks公司于1984年推出的一套科學(xué)計(jì)算軟件,分為總包和若干個(gè)工具箱,其中包含用于信號(hào)分析與處理的sptool工具箱和用于濾波器設(shè)計(jì)的fdatool工具箱。它具有強(qiáng)大的矩陣計(jì)算和數(shù)據(jù)可視化能力,是廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析與處理中的功能強(qiáng)大且使用簡單方便的成熟軟件。Matlab軟件中已有大量的關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的運(yùn)算函數(shù)可供調(diào)用,本實(shí)驗(yàn)主要是針對數(shù)字信號(hào)處理中的差分方程、卷積、z變換等基本運(yùn)算的matlab函數(shù)的熟悉和應(yīng)用。差分方程〔differenceequation>可用來描述線性時(shí)不變、因果數(shù)字濾波器。用x表示濾波器的輸入,用y表示濾波器的輸出。a0y[n]+a1y[n-1]+…+aNy[n-N]=b0x[n]+b1x[n-1]+…+bMx[n-M]<1>ak,bk為權(quán)系數(shù),稱為濾波器系數(shù)。N為所需過去輸出的個(gè)數(shù),M為所需輸入的個(gè)數(shù)卷積是濾波器另一種實(shí)現(xiàn)方法。y[n]=∑x[k]h[n-k]=x[n]*h[n]<2>等式定義了數(shù)字卷積,*是卷積運(yùn)算符。輸出y[n]取決于輸入x[n]和系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h[n]。傳輸函數(shù)H<z>是濾波器的第三種實(shí)現(xiàn)方法。H<z>=輸出/輸入=Y<z>/X<z>〔3即分別對濾波器的輸入和輸出信號(hào)求z變換,二者的比值就是數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。序列x[n]的z變換定義為X<z>=∑x[n]z-n<4>把序列x[n]的z變換記為Z{x[n]}=X<z>。由X<z>計(jì)算x[n]進(jìn)行z的逆變換x[n]=Z-1{X<z>}。Z變換是Z-1的冪級(jí)數(shù),只有當(dāng)此級(jí)數(shù)收斂,Z變換才有意義,而且同一個(gè)Z變換等式,收斂域不同,可以代表不同序列的Z變換函數(shù)。這三種數(shù)字濾波器的表示方法之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換。實(shí)驗(yàn)步驟1、熟悉matlab軟件基本操作指令。讀懂下列matlab程序指令,鍵入程序并運(yùn)行,觀察運(yùn)行結(jié)果。Conv.m%計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積；%clear;N=5;M=6;L=N+M-1;x=[1,2,3,4,5];h=[6,2,3,6,4,2];y=conv<x,h>;nx=0:N-1;nh=0:M-1;ny=0:L-1;subplot<231>;stem<nx,x,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x<n>'>;gridon;subplot<232>;stem<nh,h,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'h<n>'>;gridon;subplot<233>;stem<ny,y,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'y<n>'>;gridon;filter.m;%求一個(gè)離散系統(tǒng)的輸出；clear;x=ones<100>;t=1:100;b=[.001836,.007344,.011016,.007374,.001836];a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,.55075];y=filter<b,a,x>;clear;impz.m%計(jì)算濾波器的沖擊響應(yīng)b=[.001836,.007344,.011016,.007374,.001836];a=[1,-3.0544,3.8291,-2.2925,.55075];[h,t]=impz<b,a,40>;subplot<221>stem<t,h,'.'>;gridon;ylabel<'h<n>'>xlabel<'n'>filter.m%計(jì)算濾波器的階躍響應(yīng)x=ones<100>;t=1:100;y=filter<b,a,x>;subplot<222>plot<t,x,'g.',t,y,'k-'>;gridon;ylabel<'x<n>andy<n>'>xlabel<'n'>freqz.m%用來在已知B<z>,A<z>的情況下求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；%求如下三個(gè)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)；b1=[1/2,1/2];b2=[1/2,-1/2];b3=[101];b3=b3/2;[H1,P]=freqz<b1>;subplot<331>;plot<P/2/pi,abs<H1>>;gridon;[H2,P]=freqz<b2>;subplot<332>;plot<P/2/pi,abs<H2>>;gridon;[H3,P]=freqz<b3>;subplot<333>;plot<P/2/pi,abs<H3>>;gridon;zplane<b,a>;%求并畫出所給系統(tǒng)的極零圖b=[1-1.71.53-0.68];a=1;subplot<222>;zplane<b,a>;%求并畫出第二個(gè)系統(tǒng)的極零圖、2,程求出下列問題的解1、濾波器的差分方程為：y[n]=x[n]-0.8x[n-1]-0.5y[n-1]求出此濾波器脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的前十個(gè)采樣值。b=[1,-.8,];a=[1,.5];[h,t]=impz<b,a,10>;subplot<221>stem<t,h,'.'>;gridon;ylabel<'h<n>'>;xlabel<'n'>;x=ones<1,10>;t=1:10;y=filter<b,a,x>;subplot<222>stem<t,y>;gridon;ylabel<'x<n>andy<n>'>;xlabel<'n'>;2、系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為h[n]=e-n<u[n]-u[n-3]>,用卷積求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。N=25;M=3;L=N+M-1;x=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];h=[1,.3679,.1353];y=conv<x,h>;nx=0:N-1;nh=0:M-1;ny=0:L-1;subplot<231>;stem<nx,x,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x<n>'>;gridon;subplot<232>;stem<nh,h,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'h<n>'>;gridon;subplot<233>;stem<ny,y,'.k'>;xlabel<'n'>;ylabel<'y<n>'>;gridon;五、實(shí)驗(yàn)討論和分析1、差分方程、卷積、z變換和傅里葉變換之間如何進(jìn)行轉(zhuǎn)換？答：差分方程;a0y[n]+a1y[n-1]+a2y[n-2]+`````+aNy[n-N]=b0x[n]+b1x[n-1]+……+bMx[n-M]卷積是由輸入x[n]所引起的全部輸出y[n]是所有這些加權(quán)脈沖相應(yīng)之和。即y{n}=x[n]*h[n]只要知道脈沖響應(yīng)和輸入就可以得到輸出Z變換是把時(shí)域信號(hào)向頻域進(jìn)行轉(zhuǎn)換X〔z=∑x[n]zˇ-nY〔z=∑y[n]zˇ-n脈沖響應(yīng)是傳輸函數(shù)的逆z變換傅里葉變換X〔Ω=∑x[n]eˇ-jnΩ2、邊界效應(yīng)是如何產(chǎn)生的？它對信號(hào)的濾波效果有何影響？答：多數(shù)情況下,采樣開始之前的輸入情況是未知的,當(dāng)脈沖響應(yīng)與未知的的輸入采樣點(diǎn)重疊時(shí),由于實(shí)際的輸出值可能受采樣開始之前輸入信號(hào)的影響,所以無法準(zhǔn)確的計(jì)算輸出。計(jì)算的開始和末尾都存在這種現(xiàn)象。僅當(dāng)輸入序列與脈沖響應(yīng)完全重疊時(shí),計(jì)算才有意義,這種現(xiàn)象就是邊界效應(yīng)。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)開始運(yùn)行或條件改變時(shí),輸出需要一些時(shí)間過渡到新的穩(wěn)態(tài)。邊界效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生輸出的暫態(tài)部分和穩(wěn)態(tài)部分,會(huì)影響濾波效果,并且會(huì)導(dǎo)致失真現(xiàn)象出現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)二數(shù)字濾波器綜合設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^該設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)掌數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般步驟,掌握利用matlab軟件設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法,熟悉sptool工具箱的使用方法。實(shí)驗(yàn)設(shè)備微型計(jì)算機(jī)1臺(tái)；matlab軟件1套實(shí)驗(yàn)原理一、濾波器的形狀及重要參數(shù)理想濾波器的形狀是矩形,圖1給出非理想濾波器。圖1通帶：增益高的頻率圍,信號(hào)可以通過,稱為濾波器的通帶。阻帶：增益低的頻率圍,濾波器對信號(hào)有衰減或阻塞作用,稱濾波器的阻帶。濾波器截止頻率：增益為最大值的0.707倍時(shí)所對應(yīng)的頻率為濾波器截止頻率增益通常用分貝〔dB表示。增益〔dB=20log<增益增益為0.707時(shí)對應(yīng)-3dB,因此截止頻率常被稱為-3dB。濾波器的帶寬：對于低通濾波器寬帶是從0~-3dB對于高通濾波器寬帶是從-3dB~采樣頻率的一半對于帶通濾波器帶寬是截止頻率之間的頻率距離二加窗低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)1.在過渡帶寬度的中間,選擇通帶邊緣頻率<Hz>:f1=所要求的通帶邊緣頻率+<過渡帶寬度>/22.計(jì)算Ω1=2πf1/fs,并將此值代入理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)h1[n]中：h1[n]=sin<nΩ1>/nπ3.從表中選擇滿足阻帶衰減及其他濾波器要求的窗函數(shù),用表中N的公式計(jì)算所需要的非零項(xiàng)數(shù)目。選擇奇數(shù)項(xiàng),這樣脈沖響應(yīng)可以完全對稱,避免了濾波器產(chǎn)生相位失真,對于|n|≤<N-1>/2,計(jì)算窗函數(shù)w[n]。4.對于|n|≤<N-1>/2,從式h[n]=h1[n]w[n]計(jì)算〔有限脈沖響應(yīng),對于其他n值h[n]=0,此脈沖響應(yīng)是非因果的。5.將脈沖響應(yīng)右移<N-1>/2,確保第一個(gè)非零值在n=0處,使此低通濾波器為因果的。三、設(shè)計(jì)低通巴特沃斯濾波器：1>確定待求通帶邊緣頻率fp1Hz、待求阻帶邊緣頻率fs1Hz和待求阻帶衰減-20logδsdB<或待求阻帶增益20logδsdB>。通帶邊緣頻率對應(yīng)–3dB增益。2>用式Ω=2πf/fs把由Hz表示的待求邊緣頻率轉(zhuǎn)成由弧度表示的數(shù)字頻率,得到Ωp1和Ωs1。3>計(jì)算預(yù)扭曲模擬頻率以避免雙線性變化帶來的失真。由ω=2fstan<Ω/2>求得ωp1和ωs1,單位是弧度/秒。4>由已給定的阻帶衰減-20logδs<或增益-20logδs>確定阻帶邊緣增益δs。5>計(jì)算所需濾波器的階數(shù)n取整數(shù)。6把ωp1代入n階模擬巴特沃斯濾波器傳輸函數(shù)H<s>中,并對H<s>進(jìn)行雙線性變換得到n階數(shù)字傳輸函數(shù)H<z>。濾波器實(shí)現(xiàn)所需的差分方程可直接從傳輸函數(shù)H<s>求出。。四、低通切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)：1確定待求的通帶與阻帶邊緣頻率fp1和fs1、待求的通帶邊緣增益20log<1-δp>和待求的阻帶衰減-20logδs〔或待求的阻帶增益20logδs。2用公式Ω=2πf/fs將待求的邊緣頻率轉(zhuǎn)換為數(shù)字頻率〔用弧度表示,得到Ωp1和Ωs1。3對數(shù)字頻率采用預(yù)扭曲以避免雙線性變換引起的誤差。由ω=2fstan<Ω/2>得到ωp1和ωs1,單位是弧度/秒。4由指定的通帶邊緣增益20log<1-δp>,確定通帶邊緣增益1-δp。計(jì)算參數(shù)ε。5由指定的衰減-20logδs〔或增益20logδs,確定阻帶邊緣增益δs。6計(jì)算所需的階數(shù)n。7將ωp1和δp代入n階模擬切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數(shù)H<s>,并對其進(jìn)行雙線性變換,得到n階數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H<z>。實(shí)現(xiàn)濾波器所需的差分方程可由傳輸函數(shù)H<z>直接得到。四、實(shí)驗(yàn)步驟任選第9、10章后濾波器設(shè)計(jì)題各2題,利用matlab編程完成濾波器的設(shè)計(jì),并畫出濾波器的脈沖響應(yīng)、幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)圖。習(xí)題9.15f1=4000;%信號(hào)頻率Hzf2=5000;%信號(hào)頻率Hzf3=6000;%信號(hào)頻率Hzfs=12000;%采樣頻率HzN=32;%采樣點(diǎn)數(shù)t=<0:N-1>/fs;%采樣時(shí)間x1=sin<2*pi*f1*t>;%信號(hào)采樣值x2=sin<2*pi*f2*t>;%信號(hào)采樣值x3=sin<2*pi*f3*t>;%信號(hào)采樣值x=x1+x2+x3;y=filter<h,1,x>;f1=3000+250;fs=12000;w=2*f1/fs;n=3.32*fs/500;h=makelp<n,w,'hanning'>;[mag,phase,w]=dtft<h>;plot<t,x,'g',t,y,'k-'>習(xí)題9.20：h=makelp<19,0.625,'hamming'>;[mag,phase,w]=dtft<h>;plotdtft<mag,phase,w,2>stem<0:18,h,'.'>ylabel<'h<n>'>;xlabel<'n'>;習(xí)題10.12n=buttord<0.25,0.375,3,44>;[b,a]=butter<n,0.25>;[mag,phase,w]=dtft<b,a>;plotdtft<mag,phase,w,1>;[h,t]=impz<b,a,40>;subplot<111>stem<t,h,'.'>;gridon;ylabel<'h<n>'>xlabel<'n'>習(xí)題10.15n=cheb1ord<0.64,0.72,3,21.94>;[b,a]=cheby1<n,3,0.64>;[mag,phase,w]=dtft<b,a>;plotdtft<mag,phase,w,1>;[h,t]=impz<b,a,40>;>>subplot<111>stem<t,h,'.'>;gridon;ylabel<'h<n>'>；xlabel<'n'>；實(shí)驗(yàn)討論和分析1、設(shè)計(jì)得到的濾波器與設(shè)計(jì)要求有無差別？如果有,請分析誤差產(chǎn)生的原因。答：有差別。在設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí),我們不可能得到理想的濾波器,而是要選用合適的窗函數(shù),來滿足阻帶衰減要求,加窗后濾波器形狀就不是理想的了,并且在它的通帶和阻帶有波紋,還有就是濾波器系數(shù)自身的量化,如果選用比特?cái)?shù)少,就會(huì)產(chǎn)生大的誤差,量化也會(huì)影響IIR的穩(wěn)定性,IIR濾波器不能保證無相位失真FIR濾波器