/專題30和角平分線有關(guān)的計(jì)算1．已知，（1）如圖1，、分別平分和，若，則是；（2）如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)（寫推理過程）．（3）若、分別平分和，，則的度數(shù)是（在稿紙上畫圖分析，直接填空）．2．我們學(xué)過角的平分線的概念．類比給出新概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的三分線．顯然，一個(gè)角的三分線有兩條，例如：如圖1，若，則是的一條三分線．（1）如圖1，若，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，若，是的兩條三分線．①求的度數(shù)；②現(xiàn)以為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，則求的值．（3）如圖3，若，是的一條三分線，，分別是與的平分線，將繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線恰好是的三分線，則此時(shí)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少秒？（直接寫出答案即可，不必說明理由）3．如圖，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)（寫出求解過程）；（3）若將條件中“平分，平分．平分”改為“，”，且，求的度數(shù)（寫出求解過程）．4．如圖，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）若射線繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，試求當(dāng)時(shí)的值；（3）若繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，平分，平分，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出其值：若改變，說明理由．5．根據(jù)閱讀材料，回答問題．材料：如圖所示，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角和，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．這時(shí)，（或．問題：平面內(nèi)一定點(diǎn)在直線的上方，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，作射線，，．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持，，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)時(shí)，若平分，求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)，時(shí)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，，直接寫出此時(shí)的度數(shù)．6．我們已學(xué)習(xí)了角平分線的概念，那么你會用它們解決有關(guān)問題嗎？（1）如圖1所示，將長方形筆記本活頁紙片的一角折過去，使角的頂點(diǎn)落在處，為折痕．若，求的度數(shù)．（2）在（1）條件下，如果又將它的另一個(gè)角也斜折過去，并使邊與重合，折痕為，如圖2所示，求的度數(shù)．7．如圖，已知，以為頂點(diǎn)，為一邊畫，若，與的平分線分別為，．（1）如圖1，若射線在的內(nèi)部，求的度數(shù)．（2）如圖2，若射線在的外部，求的度數(shù)．（3）由（1）、（2）題結(jié)果中的規(guī)律，若把“改為為銳角）”，其余條件不變，的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若變化，請求的度數(shù)；若不變，請說明理由．8．如圖1，，，平分（1）若，則（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，求和的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）的條件下，在內(nèi)部是否存在射線，使，且？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．9．如圖1，已知，，是內(nèi)部的一條射線，且平分．（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則（用含的式子表示）．（4）當(dāng)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，請把圖補(bǔ)充完整；此時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．10．已知，，若射線繞點(diǎn)在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，平分．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請直接寫出和的度數(shù)：；；（2）請分別求出當(dāng)和時(shí)，的度數(shù)（利用備用圖，畫出圖形并寫出簡要的過程）；（3）若，請用含的式子表示的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）．11．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們要不斷地歸納，思考和遷移，這樣才能提高我們解決問題的能力：規(guī)律發(fā)現(xiàn)：在學(xué)完《數(shù)軸》這節(jié)課后，小明的作業(yè)有兩道小題，請你幫他把余下的兩空完成：（1）點(diǎn)表示的數(shù)是2，點(diǎn)表示的數(shù)是6，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是7，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．直接運(yùn)用：將數(shù)軸按如圖（1）所示從某一點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，則值為，若將從圖中位置向右滾動(dòng)，則數(shù)字2014對應(yīng)點(diǎn)將與的頂點(diǎn)重合．類比遷移：如圖（2）：，，，若射線繞點(diǎn)每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問：運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？12．已知，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，的度數(shù)是；如圖2，若恰好平分，則的度數(shù)是；（2）當(dāng)從圖1的位置開始，繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，作射線平分，射線平分，在旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)的度數(shù)保持不變．①的度數(shù)是；②請選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．13．已知，是銳角，平分，平分．（1）如圖1若，求的度數(shù)？（2）若射線繞著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部（如圖，在（1）的條件下求的度數(shù)；（3）若，，請用含有，的式子直接表示上述兩種情況的度數(shù)．14．已知，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．射線、分別平分、．（1）如圖①，如果秒，求的度數(shù)；（2）如圖①，若射線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）射線從出發(fā)時(shí)，射線也同時(shí)從出發(fā)，繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線、在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請你借助圖②和備用圖進(jìn)行分析后，直接寫出的值．15．已知如圖1，平分，平分．（1）如果，，那么是多少度？（2）如果，，那么是多少度？（3）通過（1）、（2）的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？（4）拓展：如圖2，已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，試判斷線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．【問題提出】已知，，，求的度數(shù)．【問題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．（1）當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，①若射線在內(nèi)部，如圖1，可求的度數(shù)，解答過程如下：設(shè)，，，，，，，問：當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，②若射線在外部，如圖2，請你求出的度數(shù)；【問題延伸】（2）當(dāng)射線在的外部時(shí)，請你畫出圖形，并求的度數(shù)．【問題解決】綜上所述：的度數(shù)分別是．17．如圖1，將一副三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)放到一塊，，，，分別是，的角平分線．（1）當(dāng)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線與重合時(shí)（如圖，則的大小為；（2）如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求的大小，寫出解答過程；（3）在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，．18．一副三角尺（分別含，，和，，按如圖1所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角尺的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)時(shí)，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)是度；（2）如圖2，若在三角尺開始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)，．①用含的代數(shù)式表示：；；當(dāng)為何值時(shí)，？②從三角尺與三角尺第一對直角邊和斜邊重疊開始起到另一對直角邊和斜邊重疊結(jié)束止，經(jīng)過的時(shí)間為秒．19．如圖1，對于線段和，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，射線在內(nèi)部，如果，則稱線段是的伴隨線段，是線段的伴隨角．例如：，，若，則線段的伴隨角．（1）當(dāng)，時(shí)，若，試求的伴隨線段的長．（2）如圖2，對于線段和，，．若點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，，分別是線段，的中點(diǎn)，，，分別是線段，，的伴隨角，則在點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過程中（不與，重合），的大小是否會發(fā)生變化？如果會，請說明理由；如果不會，請求出的大?。?）如圖3，已知是任意銳角，點(diǎn)，分別是射線，上的任意一點(diǎn)，連接，的平分線與線段相交于點(diǎn)．對于線段和，線段是的伴隨線段，點(diǎn)和點(diǎn)能否