/【高效培優(yōu)】2022—2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊必考重難點突破必刷卷（人教版）【單元復(fù)習(xí)】第二十二章二次函數(shù)（知識精講+考點例析+舉一反三+實戰(zhàn)演練）溫馨提示：一分努力勤奮一份收獲，必考重難點突破是培優(yōu)最佳途徑！知識精講第二十二章二次函數(shù)一、二次函數(shù)的定義：1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.二、二次函數(shù)的解析式①一般式：(a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。②頂點式：③交點式（與x軸）：三、拋物線的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。②a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a還可以決定開口大小,a越大開口就越小,a越小開口就越大。③拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線.④對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）⑤拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P()，當(dāng)時，P在y軸上；當(dāng)時，P在x軸上。⑥二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。⑦一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：Ⅰ.當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號Ⅱ.當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。⑧常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）⑨二次函數(shù)的增減性拋物線，若a>0，當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小．拋物線的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)時，y最小(大)值=．三、二次函數(shù)，，(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()四、二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即）此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根；函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。拋物線的圖象與坐標(biāo)軸的交點：Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：（，0）和（，0）；Δ＝0，圖象與x軸交于一點：（，0）；Δ＜0，圖象與x軸無交點；五．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（小）值時，可設(shè)解析式為頂點式：．(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：．六．二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．考點例析【考點1】二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)【例1】（2022·全國·九年級期末）已知拋物線y=mx2+nx和直線y=mx+n在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像如圖，其中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題可先由二次函數(shù)圖像得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)的圖像相比較看是否一致．逐一排除．【詳解】解：A.由二次函數(shù)的圖像可知m＜0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過二、四象限，故可排除；B.由二次函數(shù)的圖像可知m＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知m、n異號，n＜0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，故可排除；C.由二次函數(shù)的圖像可知m＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知m、n異號，n＞0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、二、四象限，故可排除；D.觀察二次函數(shù)的圖像可知m＞0，n＜0，直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y＝mx+n在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等．【考點2】二次函數(shù)與一元二次方程【例2】（2022·全國·九年級期末）已知二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，對稱軸為直線，與軸的一個交點為．給出下列結(jié)論：①；②；③圖象與軸的另一個交點為；④當(dāng)時，隨的增大而減??；⑤不等式的解集是．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：①由圖象可知：拋物線與x軸有兩個交點，∴，故①錯誤；②當(dāng)時，，由圖象可知當(dāng)時，，∴，故②正確；③關(guān)于直線x=1的對稱點為，故③正確；④當(dāng)時，由圖象可知y先隨x的增大而增大，再隨x的增大而減小，故④錯誤；⑤由圖象及③可知，拋物線與x軸的交點為，，∴當(dāng)時，可，故⑤錯誤；綜上，有②，③是正確的，故有2個正確的，故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握拋物線的位置與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是正確判斷的關(guān)鍵．【考點3】實際問題與二次函數(shù)【例3】（2022·全國·九年級期末）如圖，等邊的邊長為，動點P從點A出發(fā)，以每秒的速度，沿A→B→C→A的方向運動，當(dāng)點P回到點A時運動停止．設(shè)運動時間為x（秒），，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】過C作CD⊥AB于點D，然后可得cm，cm，則分①當(dāng)點P在AB上時，即時，②當(dāng)時，即點P在線段BC上時，③當(dāng)時，即點P在線段CA上，進而問題可求解．【詳解】解：如圖，過C作CD⊥AB于點D，則cm，cm，當(dāng)點P在AB上時，，cm，cm，∴，該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線；當(dāng)時，即點P在線段BC上時，cm；則，∴該函數(shù)的圖象是在上的拋物線，且對稱軸為；當(dāng)時，即點P在線段CA上，此時，cm，則，∴該函數(shù)的圖象是在上的拋物線，且對稱軸為直線；故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是分情況討論，求出函數(shù)關(guān)系式．舉一反三一、選擇題（共4小題）1．（2022·全國·九年級期末）二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)分別是（

）A．向下，直線x=－3，(－3，1) B．向上，直線x=3，(3，1)C．向下，直線x=－3，(－3，－1) D．向上，直線x=3，(－3，1)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的特征和性質(zhì)即可作答．【詳解】二次函數(shù)，對稱軸為：直線x=h；頂點坐標(biāo)為：（h，k）∵a=2>0，∴開口向上，∵h=3，k=1，∴對稱軸為：直線x=3；頂點坐標(biāo)為：（3，1），故選：B【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點式的圖象和性質(zhì)，熟練地掌握頂點式的特征是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)，對稱軸為：直線x=h；頂點坐標(biāo)為：（h，k），當(dāng)a>0時，開口向上，否則開口向下．2．（2022·全國·九年級期末）如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C，小紅同學(xué)得出了以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐一判斷即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸交于點A、B，∴拋物線對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，即，故①正確；對稱軸為，整理得4a＋b＝0，故②正確；由圖像可知，當(dāng)y＞0時，即圖像在x軸上方時，x＜－2或x＞6，故③錯誤，由圖像可知，當(dāng)x＝1時，，故④正確．∴正確的有①②④，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級期末）小明以二次函數(shù)的圖象為靈感為某葡萄酒大賽設(shè)計了一款杯子，如圖為杯子的設(shè)計稿，若，，則杯子的高CE為（

）A．12 B．11 C．6 D．3【答案】A【分析】首先由求出D點的坐標(biāo)為（1，6），然后根據(jù)AB=4，可知B點的橫坐標(biāo)為x=3，代入拋物線方程，得到y(tǒng)=14，所以CD=14-6=8，又DE=4，所以可知杯子高度．【詳解】∵，∴D點的坐標(biāo)為(1,6)，拋物線的對稱軸為x=1，∵AB=4，∴CB=CA=2，∴B點的橫坐標(biāo)為：2+1=3，代入B點橫坐標(biāo)即可求出B點的縱坐標(biāo)，∴當(dāng)x=3時，，∴B點縱坐標(biāo)為14，∵D點的縱坐標(biāo)為6，∴CD=14-6=8，∴CE=CD+DE=8+4=12，則杯子的高度為12，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出頂點D和點B的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當(dāng)點停止運動時，點也隨之停止，連接，設(shè)運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

） B．C． D．【答案】B【分析】分別求出M在AD和在BD上時△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴當(dāng)M在AD上時，0≤t≤3，，，∴，當(dāng)M在BD上時，3＜t≤4，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．二、填空題（共4小題）5．（2022·全國·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)．若點A，B是拋物線上兩點，若點A，B的坐標(biāo)分別為則m______n（填“＞”“＜”“＝”）【答案】＞【分析】求出拋物線的對稱軸，開口方向，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：∵拋物線中，a=－2＜0，，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=－1，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，∵點A、B的坐標(biāo)分別為（3，m）、（4，n），且3＜4，∴m＞n，故答案為：＞．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·九年級期末）如圖，拋物線交軸于、兩點，交軸于點，點是拋物線上的點，則點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為_________．【答案】（0，1）【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，根據(jù)CD∥x軸即可求出點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)．【詳解】∵拋物線交軸于、兩點，交軸于點，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，∴∴OA=OC=5∴∵是拋物線上的點∴，解得當(dāng)時，與A重合；當(dāng)時，；∴CD∥x軸，∴設(shè)點關(guān)于直線的對稱點M，則∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形∴DC=CM=6∴M點坐標(biāo)為（0，1）故答案為：（0，1）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱得到△DCM是等腰直角三角形．7．（2022·全國·九年級期末）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達到最高時，飛行時間_________s．【答案】2【分析】把一般式化為頂點式，即可得到答案．【詳解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，且-5＜0，∴當(dāng)t=2時，h取最大值20，故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)一般式化為頂點式．8．（2022·遼寧·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，y隨x的增大而減?。渲姓_的結(jié)論有___________．（填寫代表正確結(jié)論的序號）【答案】①②##②①【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸位置和拋物線開口方向確定①③，根據(jù)x＝-2時判定②，由拋物線圖像性質(zhì)判定④．【詳解】解：①拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正確；②x＝-2時，函數(shù)值小于0，則4a-2b+c＜0，故正確；③與x軸交于點和點，則對稱軸，故，故③錯誤；④當(dāng)時，圖像位于對稱軸左邊，y隨x的增大而減大．故④錯誤；綜上所述，正確的為①②．故答案為：①②．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，要求熟悉掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點、頂點等點坐標(biāo)的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．二、簡答題（共2小題）9．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖1為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道的橫截面示意圖．取水平線為軸，鉛垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．運動員以速度從點滑出，運動軌跡近似拋物線．某運動員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡上設(shè)置點（與相距32m）作為標(biāo)準點，著陸點在點或超過點視為成績達標(biāo)．(1)求線段的函數(shù)表達式（寫出的取值范圍）．(2)當(dāng)時，著陸點為，求的橫坐標(biāo)并判斷成績是否達標(biāo)．(3)在試跳中發(fā)現(xiàn)運動軌跡與滑出速度的大小有關(guān)，進一步探究，測算得7組與的對應(yīng)數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖3．①猜想關(guān)于的函數(shù)類型，求函數(shù)表達式，并任選一對對應(yīng)值驗證．②當(dāng)v為多少m/s時，運動員的成績恰能達標(biāo)（精確到1m/s)？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)（8≤x≤40）(2)的橫坐標(biāo)為22.5，成績未達標(biāo)(3)①a與成反比例函數(shù)關(guān)系，，驗證見解析；②當(dāng)m/s時，運動員的成績恰能達標(biāo)【分析】（1）根據(jù)圖像得出CE的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出解析式；（2）將代入二次函數(shù)解析式，由解出x的值，比較即可得出結(jié)果；（3）由圖像可知，a與成反比例函數(shù)關(guān)系，代入其中一個點即可求出解析式，根據(jù)CE的表達式求出K的坐標(biāo)（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函數(shù)即可求出v的值．【詳解】（1）解：由圖2可知：，設(shè)CE：，將代入，得：，解得，∴線段CE的函數(shù)表達式為（8≤x≤40）．（2）當(dāng)時，，由題意得，解得

∴的橫坐標(biāo)為22.5．∵22.5＜32，∴成績未達標(biāo)．（3）①猜想a與成反比例函數(shù)關(guān)系．∴設(shè)將（100，0.250）代入得解得，∴．將（150，0.167）代入驗證：，∴能相當(dāng)精確地反映a與的關(guān)系，即為所求的函數(shù)表達式．②由K在線段上，得K（32，4），代入得，得由得，又∵，∴，∴當(dāng)m/s時，運動員的成績恰能達標(biāo)．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活運用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．10．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的橫坐標(biāo)為1或2或或(3)存在，點的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點A，點B代入拋物線解析式，解關(guān)于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，確定出，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）分Q在BC下方和Q在BC上方兩種情況，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，證明△CHM≌△HBN，由全等三角形的性質(zhì)得出CM＝HN，MH＝BN，求出H點的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線CH的解析式，聯(lián)立直線CH和拋物線解析式即可得出點Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)點，對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，即，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，，，軸，軸，，∴當(dāng)時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，，解得或或或，則點的橫坐標(biāo)為1或2或或．（3）解：①如圖，當(dāng)Q在BC下方時，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，解得，即，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立直線與拋物線解析式得，解得或（即為點），則此時點的坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)Q在BC上方時，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，同理可得：此時點的坐標(biāo)為，綜上，存在這樣的點，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用待定系數(shù)法確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．實戰(zhàn)演練一、選擇題（共4小題）1．（2022·全國·九年級期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到、的正負情況，從而可以得到一次函數(shù)的圖象，本題得以解決．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出系數(shù)的符號，再利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022·全國·九年級期末）如圖，是二次函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①；②；③二次函數(shù)最小值為；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點得到方程ax2+bx+c=0有兩個根為-1，3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可對①進行判斷；由于x=-2時，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入計算，則可對②進行判斷；由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸方程為x=1可對③進行判斷；根據(jù)x=-1時，y=a-b+c=0，以及b=-2a，計算可對④進行判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c=0有兩個根為-1，3，∴-1×3=-3<0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x=-==1，∴b=-2a，∵x=-2，y＞0，∴4a-2b+c＞0，∴8a+c＞0，故②不正確；∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，0），（3，0），∴二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-3)，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最小值，最小值為y=a(1+1)(1-3)=-4a，故③不正確；∵x=-1時，y=ax2+bx+c=a-b+c=0，而b=-2a，即a=-b，∴-b-b+c=0，整理得2c-3b=0，故④不正確；綜上，只有①正確，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．3．（2022·全國·九年級期末）如圖，點P，Q從邊長為2的等邊三角形的點B出發(fā)，分別沿著，兩邊以相同的速度在的邊上運動，當(dāng)兩點在邊上運動到重合時停止．在此過程中，設(shè)點P，Q移動過程中各自的路程為x，所得的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3兩部分討論，當(dāng)0≤x≤2時，得到，由于當(dāng)2＜x≤3時，四個選項圖象相同，根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)0≤x≤2時，作QD⊥BP，垂足為D，由題意得△BPQ是等邊三角形，∴BD=BP=x，∴QD，∴，∴當(dāng)0≤x≤2時，y是x的二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為y軸，由于當(dāng)2＜x≤3時，圖象相同，∴A選項符合條件．故選：A【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，理解題意，分類討論，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式進而確定圖象是解題關(guān)鍵．4．（2022·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點，（3，y2）是拋物線上的兩點，則y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由對稱軸為即可判斷①；根據(jù)點，（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)過點（-1，0），得出a-b+c=0，對稱軸，得出，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的對稱性即可判斷④．【詳解】解：∵對稱軸，∴b=-3a，∴3a+b=0，①正確；∵拋物線開口向上，點到對稱軸的距離小于點（3，y2）的距離，∴y1<y2，故②正確；∵經(jīng)過點（-1，0），∴a-b+c=0，∵對稱軸，∴，∴，∴3c=4b，∴4b-3c=0，故③錯誤；∵對稱軸，∴點（0，c）的對稱點為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共4小題）5．（2022·全國·九年級期末）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的部分圖象如圖所示，設(shè)m=a-b+c，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置及拋物線經(jīng)過（1，0）可得a，b，c的等量關(guān)系，然后將x=-1代入解析式求解．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴-＜0，∴b＞0，∵拋物線經(jīng)過（0，-2），∴c=-2，∵拋物線經(jīng)過（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，當(dāng)x=-1時，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案為：-4＜m＜0．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．6．（2022·全國·九年級期末）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度（米）與物體運動的時間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設(shè)表示0秒到秒時的值的“極差”（即0秒到秒時的最大值與最小值的差），則當(dāng)時，的取值范圍是_________；當(dāng)時，的取值范圍是_________．【答案】

【分析】根據(jù)題意，得-45+3m+n=0，，確定m，n的值，從而確定函數(shù)的解析式，根據(jù)定義計算確定即可．【詳解】根據(jù)題意，得-45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，當(dāng)m=50時，n=-105；當(dāng)m=10時，n=15；∵拋物線與y軸交于正半軸，∴n＞0，∴，∵對稱軸為t==1，a=-5＜0，∴時，h隨t的增大而增大，當(dāng)t=1時，h最大，且（米）；當(dāng)t=0時，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范圍是，故答案為：．當(dāng)時，的取值范圍是∵對稱軸為t==1，a=-5＜0，∴時，h隨t的增大而減小，當(dāng)t=2時，h=15米，且（米）；當(dāng)t=3時，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，函數(shù)的最值，增減性，對稱性，新定義計算，熟練掌握函數(shù)的最值，增減性，理解新定義的意義是解的關(guān)鍵．7．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點．【答案】8【分析】由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；噴頭高4m時，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，聯(lián)立可求出a和b的值，設(shè)噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，則此時的解析式為y=ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．【詳解】解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，噴頭高4m時，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，聯(lián)立可求出，，設(shè)噴頭高為h時，水柱落點距O點4m，∴此時的解析式為，將（4，0）代入可得，解得h=8．故答案為：8．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的運用，重點是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對于拋物線，，，給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點；②拋物線的對稱軸可由拋物線的對稱軸向右平移1個單位而得到；③這三條拋物線的頂點在同一條直線上；④這三條拋物線與直線的交點中，相鄰兩點之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號是_______________．【答案】①②④【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題．【詳解】將分別代入拋物線，，中，可知，這三條拋物線都經(jīng)過點C，故①正確；拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為，可由向右平移1個單位而得到，故②正確；拋物線的頂點為A拋物線的頂點為B拋物線的頂點為C，三條拋物線的頂點不在同一條直線上，故③錯誤；將分別代入三條拋物線，得0或1，0或2，0或3，可知，相鄰兩點之間的距離相