虛位移原理虛位移原理目錄概述約束和約束方程虛位移·自由度虛功·理想約束虛位移原理廣義坐標(biāo)·廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理目錄概述概述概述

虛位移原理是質(zhì)點系靜力學(xué)的普遍原理，它將給出任意質(zhì)點系平衡的充要條件，這和剛體靜力學(xué)的平衡條件不同，在那里給出的剛體平衡的充要條件，對于任意質(zhì)點系的平衡來說只是必要的，但并不是充分的（參閱剛化原理）。概述虛位移原理是質(zhì)點系靜力學(xué)的普遍原理，它將給出任

非自由質(zhì)點系的平衡，可以理解為主動力通過約束的平衡。約束的作用在于：

一方面阻擋了受約束的物體沿某些方向的位移，這時該物體受到約束反力的作用；而另一方面，約束也容許物體有可能沿另一些方向獲得位移。

當(dāng)質(zhì)點系平衡時，主動力與約束反力之間，以及主動力與約束所許可位移之間，都存在著一定的關(guān)系。這兩種關(guān)系都可以作為質(zhì)點系平衡的判據(jù)。概述非自由質(zhì)點系的平衡，可以理解為主動力通過約束的

而虛位移原理則將利用后一種情況，他通過主動力在約束所許可的位移上的表現(xiàn)（通過功的形式）來給出質(zhì)點系的平衡條件。

剛體靜力學(xué)利用了前一種情況，通過主動力和約束力之間的關(guān)系表出剛體的平衡條件。

因此，在虛位移原理中，首先要研究加在質(zhì)點系上的各種約束，以及約束所許可的位移的普遍性質(zhì)。概述而虛位移原理則將利用后一種情況，他通過主動力約束和約束方程約束和約束方程

約束對質(zhì)點系運動的限制可以通過質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標(biāo)和速度以及時間的數(shù)學(xué)方程來表示。這種方程稱為約束方程。

對非自由質(zhì)點系的位置、速度之間預(yù)先加入的限制條件，稱為約束。約束和約束方程約束對質(zhì)點系運動的限制可以通過質(zhì)點系中各質(zhì)點

點M被限制在以固定點O為球心、l為半徑的球面上運動。這就是加于球面擺的約束方程。如取固定參考系Oxyz，則點M的坐標(biāo)x，y，z滿足方程olyzxθφM球面擺約束實例點M被限制在以固定點O為球心、l為半徑的球面上運動曲柄連桿機構(gòu)

式中xA，yA和xB，yB分別為A，B兩點的直角坐標(biāo)。上述方程表明這四個坐標(biāo)并非都獨立?？梢韵テ渲械哪橙齻€，從而只剩下一個獨立坐標(biāo)，這一坐標(biāo)完全確定了此質(zhì)點系的位置。以后我們改稱系統(tǒng)的位置為位形。這個質(zhì)點系的約束方程可表示成yxOlABrφ約束實例曲柄連桿機構(gòu)式中xA，yA和xB，yB分別為曲面

圖示質(zhì)點A在曲面上運動，質(zhì)點A的約束方程就是曲面的曲面方程：A（x,y,z)xyzxyz約束實例曲面圖示質(zhì)點A在曲面上運動，質(zhì)點A的其約束方程的一般形式為按照約束對質(zhì)點系運動限制的不同情況，可將約束分類如下：1.完整約束和非完整約束式中n為系統(tǒng)中質(zhì)點的個數(shù)，s為約束方程的數(shù)目。約束的類型其約束方程的一般形式為按照約束對質(zhì)點系運動限制的不同情況，可約束的類型

●顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)的約束方程是微分方程，如果這方程不可積分成有限形式，則相應(yīng)的約束稱為非完整約束（或非全定約束）只要質(zhì)點系中存在一個非完整約束，這個系統(tǒng)便稱為非完整系統(tǒng)。

●如果約束方程可以積分成有限形式，則這樣的約束稱為完整約束。方程中不顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)的約束為幾何約束。當(dāng)然，幾何約束也屬于完整約束。幾何約束的一般形式為：約束的類型●顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)的約束方程是微分1.完整約束和非完整約束完整約束yxA約束方程：約束的類型1.完整約束和非完整約束完整約束yxA約束方程：約束的類非完整約束約束方程：x，y、z為球心坐標(biāo)。θ、φ、ψ為歐拉角。1.完整約束和非完整約束約束的類型非完整約束約束方程：x，y、z為球心坐標(biāo)。θ、φ、ψ為歐非完整約束1.完整約束和非完整約束

導(dǎo)彈追蹤敵機的可控系統(tǒng)，要求導(dǎo)彈A的速度vA始終指向敵機B，即vA

//AB，約束方程為：

這個微分方程不可積分成有限形式，因此，導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。OxAxAxByAyBBvAy約束的類型非完整約束1.完整約束和非完整約束導(dǎo)彈追蹤

●如果約束方程中不含時間t，這種約束稱為定常約束或穩(wěn)定約束。2.定常約束和非定常約束

●如果約束方程中含時間t，這種約束稱為非定常約束或不穩(wěn)定約束。定常約束一般形式為約束的類型●如果約束方程中不含時間t，這種約束稱為定常約束或穩(wěn)定定常約束非定常約束2.定常約束和非定常約束約束的類型定常約束非定常約束2.定常約束和非定常約束約束的類型3．雙面約束和單面約束

●

由不等式表示的約束稱為單面約束（或可離約束）?！裼傻仁奖硎境龅募s束稱為雙面約束（或不可離約束）。約束的類型3．雙面約束和單面約束●由不等式表示的約束稱為單面雙面約束3．雙面約束和單面約束約束的類型雙面約束3．雙面約束和單面約束約束的類型單面約束3．雙面約束和單面約束約束的類型單面約束3．雙面約束和單面約束約束的類型虛位移·自由度虛位移·自由度

質(zhì)點或質(zhì)點系在給定瞬時不破壞約束而為約束所許可的任何微小位移，稱為質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移。真實位移

—實際發(fā)生的位移，用dr表示，它同時滿足動力學(xué)方程、初始條件和約束條件?？赡芪灰?/p>

—約束允許的位移，用Δr表示，它只需滿足約束條件。

定常約束情況下的可能位移，非定常情況下假想約束“凍結(jié)”時的可能位移，用r表示。虛位移也可表述為：虛位移質(zhì)點或質(zhì)點系在給定瞬時不破壞約束而為約束所許

●虛位移僅與約束條件有關(guān)，在不破壞約束情況下，具有任意性。而實位移是在一定時間內(nèi)真正實現(xiàn)的位移，具有確定的方向，它除了與約束條件有關(guān)外，還與時間、主動力以及運動的初始條件有關(guān)。虛位移與實位移的區(qū)別：

●與實際發(fā)生的微小位移（簡稱實位移）不同，虛位移是純粹幾何概念，是假想位移，只是用來反映約束在給定瞬時的性質(zhì)。它與質(zhì)點系是否實際發(fā)生運動無關(guān)，不涉及運動時間、主動力和運動初始條件。虛位移●虛位移僅與約束條件有關(guān)，在不破壞約束情況下，具有任意性。

例如，一個被約束固定曲面上的質(zhì)點，它的實際位移只是一個，而虛位移在它的約束面上則有任意多個。drδrδrδr虛位移與實位移的區(qū)別：虛位移例如，一個被約束固定曲面上的質(zhì)點，它的實際位

在定常約束的情況下，約束性質(zhì)不隨時間而變，因此，實位移只是所有虛位移中的一個。但對非定常約束，實位移不會和某個虛位移相重合。約束方程實位移虛位移虛位移是約束被“凍結(jié)”后此瞬時約束允許的無限小位移，與時間t的變化無關(guān)

(

t0)?？赡芪灰铺撐灰婆c實位移的區(qū)別：虛位移在定常約束的情況下，約束性質(zhì)不隨時間而變，因

設(shè)有質(zhì)點M被約束在斜面上運動，同時此斜面本身以勻速v作水平直線運動，這里，斜面構(gòu)成了非定常約束。vδrMtdrδrM't+△t虛位移與實位移的區(qū)別：虛位移設(shè)有質(zhì)點M被約束在斜面上運動，同時此斜面本身虛位移與實位移的區(qū)別：虛位移與實位移虛位移虛位移與實位移的區(qū)別：虛位移與實位移虛位移

虛位移必須是約束所允許的。如何理解？

圖1中機構(gòu)，如果先給A點圖示虛位移，那么B

點的虛位移就是錯的，是約束不允許的。

圖2中機構(gòu)，如果先給A點圖示虛位移，那么B

點的虛位移就是錯的，是約束不允許的。圖1OABφψrδrA

δrB

圖2OABφψrδrA

δrB

虛位移虛位移必須是約束所允許的。如何理解？

實位移——用dr

表示，其投影用dx

，dy

，dz

表示。

虛位移——用r

表示，其投影用

x

，

y

，

z

表示。以上r

和

x

，

y

，

z

表示等時變分。虛位移實位移——用dr表示，其投影用dx，dy等時變分微分等時變分等時變分運算與微分運算類似，但t=0。

將矢徑進行等時變分就是虛位移，將幾何約束方程進行等時變分就可以得到虛位移之間的關(guān)系。虛位移等時變分微分等時變分等時變分運算與微分運算類似，但t

在應(yīng)用虛位移原理過程中，求出系統(tǒng)各虛位移間的關(guān)系是關(guān)鍵，常用方法有：

1.幾何法

在定常約束的情況下，實位移是虛位移的一個，可用求實位移的方法求虛位移間的關(guān)系，特別是實位移正比于速度，所以可通過各點速度間的關(guān)系來確定對應(yīng)點的虛位移關(guān)系。

如平動剛體上各點的虛位移相等，定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點虛位移與其到轉(zhuǎn)軸的距離成正比；平面運動剛體則一般可用速度投影定理和速度瞬心法求兩點虛位移間關(guān)系等。虛位移在應(yīng)用虛位移原理過程中，求出系統(tǒng)各虛位移間的

以圖曲柄連桿機構(gòu)為例，由于連桿AB可作平面運動，其速度瞬心為點P。虛位移δrA與δrB方向如圖所示。PyxOlABrφδrAδrB所以虛位移δrA與δrB大小間關(guān)系為虛位移以圖曲柄連桿機構(gòu)為例，由于連桿AB可作平面運2.解析法

對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，各點的虛位移間關(guān)系比較復(fù)雜，這時可建立一固定直角坐標(biāo)系，將系統(tǒng)放在一般位置，寫出各點的直角坐標(biāo)（表示為某些獨立參變量的函數(shù)），然后進行變分運算，求及各點虛位移的投影。這種確定虛位移間關(guān)系的方法稱為解析法?；蜻x取適當(dāng)?shù)墓潭ㄗ鴺?biāo)系，寫出約束方程并進行變分，即可求得各點的虛位移間的關(guān)系。虛位移2.解析法對于較復(fù)雜的系統(tǒng)，各點求變分，有考慮到有關(guān)系，，所以有

上面式子給出了A，B兩點虛位移的投影δxA，δyA、δxB與虛位移δφ的關(guān)系。例如在圖中，設(shè)曲柄長OA=r，連桿長AB=l。ψyxOlABrφ則點A和B的坐標(biāo)為虛位移求變分，有考慮到有關(guān)系，等時變分剛性桿例如圖示單擺，約束方程為虛位移等時變分剛性桿例如圖示單擺，約束方程為虛位移

一般情況，一個由n個質(zhì)點的質(zhì)點系在空間的位形用直角坐標(biāo)來確定需要3n個坐標(biāo)，即xi，yi，zi（i=1，2,…,n）。如果系統(tǒng)受到有s個完整約束，其約束方程為

則系統(tǒng)的3n各坐標(biāo)并不完全獨立，只有k=3n-s個坐標(biāo)是獨立的，故確定該質(zhì)點系的位形只需3n-s個坐標(biāo)，我們說該質(zhì)點系有3n-s個自由度。因此，確定受完整約束的質(zhì)點系位形的獨立坐標(biāo)數(shù)目稱為系統(tǒng)的自由度。自由度一般情況，一個由n個質(zhì)點的質(zhì)點系在空間的位形例如曲柄連桿機構(gòu)：

式中xA，yA和xB，yB分別為A，B兩點的直角坐標(biāo)。上述方程表明這四個坐標(biāo)并非都獨立?？梢韵テ渲械哪橙齻€，從而只剩下一個獨立坐標(biāo)，這一坐標(biāo)完全確定了此質(zhì)點系的位置。因此該質(zhì)點系有1個自由度。這個質(zhì)點系的約束方程可表示成yxOlABrφ自由度例如曲柄連桿機構(gòu)：式中xA，yA和xB，

點M被限制在以固定點O為球心、l為半徑的球面上運動。如取固定參考系Oxyz,則球面擺的約束方程為例如球面擺:質(zhì)點M的自由度？olyzxθφM自由度點M被限制在以固定點O為球心、l為半徑的球面上運動虛功·理想約束虛功·理想約束

力在虛位移上所做的功稱為虛功，記為δW。因為虛位移是假想位移，所以虛功也是假想的概念。一般來說，主動力和約束力都可以做虛功。

因為虛位移是微小量，所以虛功計算與元功計算類似。例如力F在虛位移δr上所做的虛功為虛功力在虛位移上所做的功稱為虛功，記為δW。因為虛位

如果質(zhì)點系所受的約束力在任意虛位移上所做虛功之和恒等于零，則這樣的約束稱為理想約束。式中FNi

是作用在第i個質(zhì)點上的約束力。故理想約束條件可表示成理想約束如果質(zhì)點系所受的約束力在任意虛位移上所做虛功

這些約束包括固定的或運動著的光滑支撐面、鉸鏈、始終拉緊而不可伸長的軟繩、剛性連接，以及作純滾動剛體所在的支撐面等等。理想約束是大量實際情況的理論模型。

動能定理里曾列舉了約束力在質(zhì)點系實位移上元功之和恒等于零的各種情況。由于在定常約束情況下，實位移可以從虛功轉(zhuǎn)化而來，彼此具有相同的幾何性質(zhì)，所以，那里所講的各種情況也屬于理想約束。理想約束這些約束包括固定的或運動著的光滑支撐面、鉸鏈虛位移原理虛位移原理

具有雙面、定常、理想約束的靜止質(zhì)點系，其平衡的必要和充分條件是：所有主動力在任何虛位移上的虛功之和等于零。表達式為在實際應(yīng)用時，常將式寫成解析式，得相應(yīng)的平衡條件上式稱為靜力學(xué)普遍方程或虛功方程。虛位移原理具有雙面、定常、理想約束的靜止質(zhì)點系，其平衡

必要性證明:

由剛體靜力學(xué)知，此時作用在系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點Ai上的主動力Fi和約束反力FNi之矢量和必等于零，即滿足條件對每個質(zhì)點選取虛位移δri，則對應(yīng)的虛功之和等于零，即證明:對全體i求和，得由于理想約束的假設(shè)，所以原式成立。虛位移原理必要性證明:由剛體靜力學(xué)知，此時作

充分性證明：采用反證法。設(shè)在題示條件下質(zhì)點系并不平衡，則必有些質(zhì)點（至少一個）上作用有非零的合力FRi=Fi+FNi，由于運動是從靜止開始的，故它的實位移dri必與FRi同向，所以FRi將做正功，即對全系統(tǒng)求虛功和，并考慮到理想約束條件，將得到但是，在定常約束條件下，可取實位移dri相重合虛位移δri，于是有它和原設(shè)條件式矛盾，可見，質(zhì)點系中沒有任可質(zhì)點能在此條件下進入運動，故充分性得證。虛位移原理充分性證明：采用反證法。設(shè)在題示條件下質(zhì)點系并不平確定研究對象：常選定整體為研究對象；5.列出虛功方程并求解。2.約束分析：是否理想約束？3.受力分析：

求主動力之間的關(guān)系或平衡位置時：只畫主動力，求約束反力時：解除約束，視約束反力作為主動力。4.給出系統(tǒng)一組虛位移，找出它們之間的關(guān)系；應(yīng)用虛位移原理解題的步驟確定研究對象：常選定整體為研究對象；5.列出虛功方程并求解曲柄連桿機構(gòu)靜止在如圖所示位置上，已知角度φ和ψ。不計機構(gòu)自身重量，求平衡時主動力FA

和FB

的大小應(yīng)滿足的關(guān)系。OABφψrFAFB例題6-1曲柄連桿機構(gòu)靜止在如圖所示位置上，已知角度φ和ψ。不計機構(gòu)自

以δrA

和δrB

分別代表主動力FA

和FB

作用點的虛位移，如圖所示。解：可見A，B

兩點的虛位移大小之比等于根據(jù)虛位移原理的平衡方程，有從而解得OABφψrFAFBδrA

δrB

因AB

是剛桿，兩端位移在AB

上的投影應(yīng)相等，即例題6-1以δrA和δrB分別代表主動力FA連桿AB長為l，桿重和滑道、鉸鏈上的摩擦均忽略不計。求在圖示位置平衡時，主動力F1和F2之間的關(guān)系。ylABxF1F2O例題6-2連桿AB長為l，桿重和滑道、鉸鏈上的摩擦均忽略不計。求在圖示系統(tǒng)為理想約束系統(tǒng)。由速度投影定理：由虛功原理：lABxF1F2O應(yīng)用幾何法解:例題6-2系統(tǒng)為理想約束系統(tǒng)。由速度投影定理：由虛功原理：lABxF約束方程：變分得：由虛功原理：lABxF1F2O應(yīng)用解析法例題6-2約束方程：變分得：由虛功原理：lABxF1F2O應(yīng)用解析法

在圖示臺秤結(jié)構(gòu)中，杠桿COA取水平位置時，力F與G之間的關(guān)系與物體在秤臺DI上的位置無關(guān)。設(shè)JE:JH=3，求OC:OB

及F:G。CDAJFGHIBOE思考題在圖示臺秤結(jié)構(gòu)中，杠桿COA取水平位置時，力解:機構(gòu)要求COA水平時,秤臺DI亦水平。給A點虛位移δrA，由虛位移原理得到：找虛位移之間的關(guān)系：δrH=δrD=δrB由

JE:JH=3，可得δrE=3δrD(重物與砝碼之間的關(guān)系就可由秤桿上的刻度數(shù)值聯(lián)系起來。)δrE=δrCCDAJFGHIOδrAδrCδrBδrHδrEEδrD思考題B解:機構(gòu)要求COA水平時,秤臺DI亦水平。給A點虛位移δrA已知圖所示結(jié)構(gòu)，各桿都以光滑鉸鏈連接，且有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在點G作用一鉛直方向的力F，求支座B的水平約束反力FBx。ABCDEGFθθ例題6-3已知圖所示結(jié)構(gòu)，各桿都以光滑鉸鏈連接，且有AC=CE=BC=例題6-3例題6-3

此題可用虛位移原理來求解。用約束力FBx代替水平約束，并將FBx當(dāng)作主動力。其變分為因坐標(biāo)

設(shè)B，G二點沿x，y的虛位移為δxB和δyG

，根據(jù)虛位移原理，有(b)解：代入式（a），得(a)消去δθ，解得例題6-3ABCDEGFθθxFBxδxBδyGysFGFC此題可用虛位移原理來求解。用約束力FBx代替

如果此題在G，C二點之間再連上一根彈簧，彈簧剛度為k，且在圖示瞬時彈簧已有伸長量δ0

。此彈簧對G，C二點的拉力FG，F(xiàn)C為系統(tǒng)內(nèi)力，如圖所示。其變分為令s=GC，由圖有(c)

討論例題6-3ABCDEGFθθxFBxδxBδyGysFGFC如果此題在G，C二點之間再連上一根彈簧，彈簧消去δθ

，解得有彈簧時，B處的水平約束反力為

圖示位置，彈簧有伸長量δ0，則彈簧拉力為FC=FG=FCG=k

δ0。當(dāng)G，C二點間有相對伸長的虛位移δs時，彈簧力所作虛功為負。根據(jù)虛位移原理，將式（b），（c）代入上式，注意FCG=k

δ0

，得ABCDEGFθθxFBxδxBδyGysFGFC例題6-3消去δθ，解得有彈簧時，B處的水平約束反力為

裝在汽車上的升降臺由四根長2b的均質(zhì)桿AC,BD,DE,CG及平臺GE組成,除B，E兩處可沿光滑水平面滑動外,其它地方均為光滑鉸鏈連接，升降臺靠液壓缸的伸縮控制升降。已知各桿重量均為W,平臺重量F，DJ=CH=b/2,在圖示位置處于平衡,試求作用在液壓缸上的力。

ABO1DEGFααACO2O32W2WJHyx液壓缸討論1裝在汽車上的升降臺由四根長2b的均質(zhì)桿AC,

1.解除液壓缸對升降臺的約束，代之以相應(yīng)的約束力F1、F2，并視為主動力。

2.以整體為研究對象，用解析法確定虛位移關(guān)系。取坐標(biāo)軸x、y,

則

3.建立虛功方程。ABO1DEGFααACO2O32W2WF2F1JHyx液壓缸解：解得討論11.解除液壓缸對升降臺的約束，代之以相應(yīng)的約束力F1、F

如圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力F及力偶矩M作用下鉸B的約束力。ABMFCD例題6-4如圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力F及力偶矩M作用

例題6-4例題6-4

例題6-4例題6-4解：1.求鉸B的水平約束力。解除鉸B的水平約束，換成水平輥軸再加上水平約束力FBx，系統(tǒng)具有一個自由度。

三鉸拱是一個受完全約束的結(jié)構(gòu)，使用虛位移原理時，必須首先解除約束，賦予運動自由度。虛位移原理給出：

給曲桿AC一微小轉(zhuǎn)角δθ

，曲桿BC的轉(zhuǎn)動中心在C*

，可得各力作用點的虛位移分別為FBxDAMFCaaaarDrBrCC*B例題6-4解：1.求鉸B的水平約束力。解除鉸B的水平2.

求鉸B的垂直約束力。解除鉸B的垂直約束，換成垂直輥軸再加上垂直約束力FBy。給桿AC一微小轉(zhuǎn)角δθ

，桿BC的轉(zhuǎn)動中心在A，可得有關(guān)虛位移為

表示在x軸的投影。虛位移原理給出BMFCAFByDrBrCrD例題6-42.

求鉸B的垂直約束力。解除鉸B的垂直約束，換成垂直輥某廠房結(jié)構(gòu)受載荷如圖所示，求支座C的約束反力。

BCDEKF1F2F3AGH55510101010F討論2某廠房結(jié)構(gòu)受載荷如圖所示，求支座C的約束反力。解:1.解除支座C的約束，代之以約束反力FNC

,并視之為主動力。2.機構(gòu)運動分析。當(dāng)機構(gòu)有虛位移時，BGC剛架繞B點定軸轉(zhuǎn)動,而AF剛架作瞬時平動,HD剛架作平面運動。3.分析各虛位移之間關(guān)系。給C點虛位移δrC

。設(shè)BG剛架繞B點轉(zhuǎn)過微小角度

，HD剛架繞速度瞬心CHD轉(zhuǎn)過微小角度。BCHDCDEKF1F2F3AGHFNCδrGδrCδrDδrHδrK55510101010F討論2解:1.解除支座C的約束，代之以約束反力FNC,并視之

分析H點虛位移。δrH=BH·δθ1=CHDH·δθ2

再分析各力作用點E、K、G、C點虛位移。BCHDCDEKF1F2F3AGHFNCδrGδrCδrDδrHδrK55510101010F討論2分析H點虛位移。δrH=BH·δθ1=CHD4.建立虛功方程。解得BCHDCDEKF1F2F3AGHFNCδrGδrCδrDδrHδrK55510101010F討論24.建立虛功方程。解得BCHDCDEKF1F2F3AGH如圖所示為連續(xù)梁。載荷F1=800N

，F(xiàn)2=600N

，F(xiàn)3=1000N

，尺寸a=2m

，b=3m

，求固定端A的約束力。aaaaaabABCDEFGHF1F2F3例題6-5如圖所示為連續(xù)梁。載荷F1=800N，F(xiàn)2=6例題6-5例題6-5用幾何法求各點的虛位移。由圖可知：1.為了求出固定端A的約束力偶MA，可將固定端換成鉸鏈，而把固定端的約束力偶視作為主動力。(a)解：ABCDEFGHF1F2F3δφφδyF1δyB1δyG1δyD1δyH1yMA

設(shè)桿系的虛位移用廣義坐標(biāo)的獨立變分δφ表示，有例題6-5用幾何法求各點的虛位移。由圖可知：1.為了求因廣義坐標(biāo)的獨立變分δφ為任意微量代入式(a)得故ABCDEFGHF1F2F3δφφδyF1δyB1δyG1δyD1δyH1yMA例題6-5因廣義坐標(biāo)的獨立變分δφ為任意微量代入式(a)得故ABCDE例題6-5例題6-5

用幾何法求各點的虛位移。因桿AB只能平動，故：2.為了求出固定端A的約束力FA，應(yīng)將A端約束換成鉛直滾輪，而把固定端的鉛直約束力FA視作為主動力。(b)

設(shè)桿系的虛位移用廣義坐標(biāo)的獨立變分δyA表示yABCDEFGHF1F2F3δyAδyF2δyB2δyG2δyD2δyH2FA例題6-5用幾何法求各點的虛位移。因桿AB只能平動，故代入式（b）得因，故ABCDEFGHF1F2F3δyAδyF2δyB2δyG2δyD2δyH2FA例題6-5代入式（b）得因，故ABCD杠桿式壓力機簡圖如圖所示。手柄O1A通過拉桿BC帶動連桿機構(gòu)OCD，推動壓板D進行擠壓。試求在圖示位置平衡時，垂直于手柄的主動力F與FN壓力間的關(guān)系。OO1BACDlαφψFNF例題6-6杠桿式壓力機簡圖如圖所示。手柄O1A通過拉桿BC帶動連桿機構(gòu)例題6-6例題6-6

根據(jù)剛體不變形的性質(zhì)，剛體上任意兩點的虛位移在兩點連線上的投影必定相等。對于桿CD，有

選取機構(gòu)為研究對象，圖上僅畫出作用在質(zhì)點系上的主動力F和FN。δrA，δrB

，δrC和δrD分別表示A，B，C和D點的虛位移，均畫在圖上。

主動力在虛位移的元功之和為零，有F·

δrA–FN

·δrD=0

(a)OO1BACDlδrAαφψδrBδrCδrDFNF解：例題6-6根據(jù)剛體不變形的性質(zhì)，剛體上任意兩點的虛位移或?qū)τ跅UBC，有(b)或(c)OO1BACDlδrAαφψδrBδrCδrDFNF例題6-6或?qū)τ跅UBC，有(b)或(c)OO1BACDlδrAαφψ

其中n為長度O1A與O1B的比值。由（b），（c），（d）三式可得δrA與δrD的關(guān)系為對于桿AB，有(d)(e)例題6-6OO1BACDlδrAαφψδrBδrCδrDFNF其中n為長度O1A與O1B的比值。由（b）

由此可知。為了用較小的推力F產(chǎn)生較大的壓力FN，應(yīng)當(dāng)使φ和ψ盡量小。

將式（e）代入（a），可得F，F(xiàn)N兩力的比為例題6-6OO1BACDlδrAαφψδrBδrCδrDFNF由此可知。為了用較小的推力F產(chǎn)生較大的壓力F圖中兩根勻質(zhì)剛桿各長2l

，質(zhì)量為m

，在B

端用鉸鏈連接，A

端用鉸鏈固定，而自由端C

有水平力F作用，求系統(tǒng)在鉛直面內(nèi)的平衡位置。mgmgF例題6-7圖中兩根勻質(zhì)剛桿各長2l，質(zhì)量為m，在B端用鉸鏈

本例的系統(tǒng)具有兩個自由度，它的位置可以用角1和2

(以順時針為正)來表示。各主動力的作用點有關(guān)坐標(biāo)是解：這就是約束方程。當(dāng)角1和2

獲得變分1和2

時，各點的有關(guān)虛位移是mgmgF例題6-7本例的系統(tǒng)具有兩個自由度，它的位置可以用角根據(jù)虛位移原理的平衡方程，有即mgmgF例題6-7根據(jù)虛位移原理的平衡方程，有即mgmgF例題6-7因為1

和2是彼此獨立的，所以上式可以分解成兩個獨立方程從而求得平衡時的角度1

和2

mgmgF例題6-7因為1和2是彼此獨立的，所以上式可以分解成兩廣義坐標(biāo)·廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理廣義坐標(biāo)·廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理例如在圖中，選為φ廣義坐標(biāo)，則有1.定義2.注意在具體問題中，廣義坐標(biāo)的選取要視問題的性質(zhì)和方便而定。3.例子用以確定質(zhì)點系位形的一組獨立參變數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。yxOlABrφ廣義坐標(biāo)例如在圖中，選為φ廣義坐標(biāo)，則有1.定義2.注意在具例如在圖中球面擺。olyzxθφM可以選任意合適的變量作為廣義坐標(biāo)。選為θ，φ為廣義坐標(biāo)，則有廣義坐標(biāo)例如在圖中球面擺。olyzxθφM可以選任意合適的變量作為廣

一般情況下，由n個質(zhì)點A1，A2，…,An組成的系統(tǒng)，受到s個約束（即有s個獨立的約束方程）時，總可以選取k=3n-s個廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qk來確定它的位形。于是，質(zhì)點系內(nèi)任一點Ai的矢徑可表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即取變分，可得虛位移間的廣義坐標(biāo)變換式廣義坐標(biāo)的等時變分稱為廣義虛位移，記為δqj。1.定義2.虛位移間的廣義坐標(biāo)變換式廣義虛位移一般情況下，由n個質(zhì)點A1，A2，…,A求變分，有例子：設(shè)曲柄長OA=r，連桿長AB=l，則點A和B的坐標(biāo)為矢徑可表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)取變分，可得虛位移間的廣義坐標(biāo)變換式y(tǒng)xOlABrφψ廣義虛位移求變分，有例子：設(shè)曲柄長OA=r，連桿長AB=l，則點A和B

對于完整系統(tǒng)，獨立的廣義坐標(biāo)變分數(shù)目（即廣義虛位移數(shù)）等于系統(tǒng)的獨立的虛位移的個數(shù)，因而也等于系統(tǒng)的自由度數(shù)目。3.一個結(jié)論廣義虛位移對于完整系統(tǒng)，獨立的廣義坐標(biāo)變分數(shù)目（即廣義令式中的將前面所得虛位移間的廣義坐標(biāo)變換式1.定義代入虛位移原理有則上式為稱為對應(yīng)廣義坐標(biāo)

qj的廣義力。廣義力令式中的將前面所得虛位移間的廣義坐標(biāo)變換式1.定義代入虛位2.廣義力的量綱廣義力的量綱由它對應(yīng)的廣義虛位移δqj

而定。廣義力

當(dāng)δqi的量綱是長度時，Qj的量綱就是力量綱；當(dāng)δqj量綱是角度時，Qj的量綱就是力矩的量綱。廣義力2.廣義力的量綱廣義力的量綱由它對應(yīng)的廣義虛位移δqj因故如果用直角坐標(biāo)，將Ai的坐標(biāo)xi，yi，zi用廣義坐標(biāo)表示成3.廣義力Qj的解析表達式例子：設(shè)曲柄長OA=r，連桿長AB=l。yxOlABrφψ廣義力因故如果用直角坐標(biāo)，將Ai的坐標(biāo)xi，yi，zi用廣義坐因而廣義力Qj的表達式可寫成解析式又廣義力因而廣義力Qj的表達式可寫成解析式又廣義力對于完整系統(tǒng)，各個廣義系統(tǒng)的變分δqi都是獨立的，故得即受雙面、定常、理想、完整約束的質(zhì)點系，其平衡的必要和充分的條件是，系統(tǒng)的所有廣義力都等于零。上式表示一組方程，是彼此獨立的，其數(shù)目等于廣義坐標(biāo)的數(shù)目，也恰好等于系統(tǒng)的自由度。廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理對于完整系統(tǒng)，各個廣義系統(tǒng)的變分δqi都是獨立的，故得即受雙●

應(yīng)用廣義力定義求廣義力的方法●應(yīng)用廣義力定義求廣義力的方法

特別指出，求廣義力時并不一定要從定義即出發(fā)。在解決具體問題是時，從元功出發(fā)直接求廣義力往往更為方便。注意到各廣義坐標(biāo)q1,q2,…,qk是彼此獨立的，因此為求某個廣義力Qt可以取一組特殊的虛位移，只令，而其余的，從而寫成式中表示僅虛位移δqt非零時系統(tǒng)上主動力的虛功之和。于是，求得對應(yīng)廣義坐標(biāo)qt的廣義力●應(yīng)用虛功求廣義力的方法特別指出，求廣義力時并不一定要從定義即出發(fā)主動力在坐標(biāo)軸上的投影分別為于是廣義力表達式可寫成

在主動力均為有勢力的情形下，廣義力Qj有更簡明的表達形式。由系統(tǒng)有勢能函數(shù)主動力均為有勢力的情形下的廣義力主動力在坐標(biāo)軸上的投影分別為于是廣義力表達式可寫成亦即，當(dāng)主動力有勢時，對應(yīng)于每個廣義坐標(biāo)的廣義力等于勢能函