注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)1函數(shù)(1)函數(shù)的定義注意:僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)規(guī)律和定義域均相同時(shí)它們才是同一函數(shù)例:f(x)=e與g(x)=x不是同一函數(shù)(2)函數(shù)的性質(zhì):有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。(3)反函數(shù)(4)初等函數(shù):由常數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)。注意:熟練地將初等函數(shù)拆成若干個(gè)常數(shù)函數(shù)和基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算或函數(shù)復(fù)合2極限1)數(shù)列極限:limx=A性質(zhì):若數(shù)列{x3}收斂,則{xn}必有界,反之不一定成立。2)函數(shù)極限(1)當(dāng)x→m時(shí),f(x)的極限:limf(x)=Alimf(x)-=A<limf(x)=limf(x)=A(2)當(dāng)x→>x時(shí),f(x)的極限:limf(x)=Alimf(x)=A<>limf(x)=limf(x)=A3)無窮小與無窮大(1)無窮小與無窮大的定義(2)無窮小的比較:設(shè)lima(x)=0,limp(x)=0.a(x)若P()O.稱a(x)是比B(x)高階的無窮小,記作ax(x)=o(B(x);若lmp(s)=,稱2()是比B()低價(jià)的無窮小若m2(x=c(c≠0),稱a()與P(x)為同階無窮小B(r)特別地,若c=1,稱a(x)與B(x)是等價(jià)無窮小,記作a(x)口(x)(3)等價(jià)無窮小代換定理若aa,Bp,且imB存在,則有:im=m幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小:x→>0時(shí),sinxuxtanxux,arcsinxux,arctanxux,In(+x)ux,x,1-cosx口4)函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則5)兩個(gè)重要極限llim(1+x)=e6)一個(gè)重要結(jié)論liaox+a-rIb={0.n<mx→∞bx"+bxm+…+bnn>1.7)幾種常用的求極限的方法(1)利用兩個(gè)重要極限求極限(2)利用無窮小的性質(zhì)“無窮小與有界函數(shù)的乘積是無窮小”求極限(3)利用等價(jià)無窮小代換求極限(4)利用洛必達(dá)法則求極限例1limx(e=lim-=1x0n(1+x2)1-costx例21imlirtanxx-+0x22例3lim(xsin=+sin2x)不存在因?yàn)?limrsin=limx.==2,limsin2x不存在例4limxsin-=0(利用“無窮小與有界函數(shù)乘積是無窮小”性質(zhì))例5lim-limlim13連續(xù)1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)工連續(xù)的定義:limf(x)=f(x)∫(x)在點(diǎn)x連續(xù)<imf(x)=limf(x)=f(x)2)函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(1)點(diǎn)x為f(x)間斷點(diǎn)(不連續(xù)點(diǎn)):若滿足下述三條中的任何一條a)f(x)在點(diǎn)x沒定義b)limf(x)不存在)limf(x)≠f(x0)2)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):若imf(x)和limf(x)均存在,稱間斷點(diǎn)x為f(x)的第一類間斷點(diǎn)特別地,若limf(x)存在,稱間斷點(diǎn)x為可去間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn):不是第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。特別地,若limf(x)=∞,稱間斷點(diǎn)x為無窮型間斷點(diǎn)3)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。4)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)有界性定理(2)最值定理(3)介值定理(4)零值點(diǎn)定理例設(shè)f(x)={x+10<x≤1要使f(x)在x=1處連續(xù),則a=?k(x-1)+3,x>1解:limf(x)=lim(+a)=2+ax→)-x+1limf(x)=lim[k(x-1)+3]=3,f(1)=2+a2+a=3,ar-4.x≥0例2f(x)=11的連續(xù)區(qū)間是:(-∞,0)∪(0,例3f(x)1x<0,在(-O,+∞)上連續(xù),則a=0.x2+a,x≥04x=0是f(x)的何種類型間斷點(diǎn)