3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算山東省臨沂第二中學(xué)———共線向量與共面向量回顧aOBb結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都可平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量.因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們.ba一、空間向量數(shù)乘運(yùn)算1.實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量.當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

與向量方向相同；

與向量方向相同；

是零向量.當(dāng)時(shí)，（1）方向：（2）大小：

的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍.2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律問(wèn)題2：平面向量中，的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使能否推廣到空間向量中呢？問(wèn)題1：若則所在直線有那些位置關(guān)系?零向量與任意向量共線.二、共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作由此可判斷空間中兩直線平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題

共線向量定理:

對(duì)空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使性質(zhì)判定如圖，l

為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量的直線，a對(duì)空間任意一點(diǎn)O,所以即

若在l上取則有①和②都稱(chēng)為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量唯一決定.由此可判斷空間任意三點(diǎn)共線。.alABPO若點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，則

由知存在唯一的t,滿足①②因?yàn)?/p>

所以

特別的，當(dāng)t=時(shí)，則有aABPO進(jìn)一步，t1-tP點(diǎn)為A,B的中點(diǎn)練習(xí)1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，下列命題正確的是：A.若，則P、A、B共線B.若，則P是AB的中點(diǎn)C.若，則P、A、B不共線D.若，則P、A、B共線A、B、P三點(diǎn)共線AOABP三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使

如果空間向量與兩不共線向量，共面，那么可將三個(gè)向量平移到同一平面，則有那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？反過(guò)來(lái)，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量，，如果，那么向量與向量,有什么位置關(guān)系？C2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量

，不共線，

則向量與向量，共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y使推論:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使C對(duì)空間任一點(diǎn)O,有填空：1-x-yxyC③

式稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量唯一確定.③由此可判斷空間任意四點(diǎn)共面練習(xí)2.若對(duì)任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，且有

則x+y+z=1是四點(diǎn)P、A、B、C共面的（）A.必要不充分條件C.充要條件B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件CP與A,B,C共面解析：由共面向量定理知，要證明P、A、B、C四點(diǎn)共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）使得例1.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABC外的任一點(diǎn)O，確定在下列各條件下，點(diǎn)P是否與A、B、C一定共面？例2.如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線OA、OB、OC、OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E、F、G、H，并且使求證：⑴四點(diǎn)E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

OBAHGFECD

共線向量

共面向量定義向量所在直線互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推論運(yùn)用判斷三點(diǎn)共線，或兩直線平行判斷四點(diǎn)共線，或直線平行于平面小結(jié)共面作業(yè)：課本89頁(yè)第2題3.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算W=|F||s|cos

根據(jù)功的計(jì)算,我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運(yùn)算.一旦定義出來(lái),我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算非常有用,它能解決有關(guān)長(zhǎng)度和角度問(wèn)題.回顧1)兩個(gè)向量的夾角的定義:OAB知新類(lèi)似地，可以定義空間向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的夾角是惟一確定的！2）兩個(gè)向量的數(shù)量積注:①兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量;②規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.A1B1BAA1B1BA數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積.3)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)注：性質(zhì)②是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)③是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù).(4)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律思考1..思考2.思考3.思考4.課堂練習(xí)解：3.

另外,空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系,證兩直線垂直線常可轉(zhuǎn)化為證明以這兩條線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零.證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量,只要證為逆命題成立嗎?分析:同樣可用向量,證明思路幾乎一樣,只不過(guò)其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析.分析：要證明一條直線與一個(gè)平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.例3(試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理)

已知直線m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線,如果⊥m,⊥n,求證:⊥.mng

取已知平面內(nèi)的任一條直線g,拿相關(guān)直線的方向向量來(lái)分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)?怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系?

共面向量定理,有了!mng證:在內(nèi)作不與m,n重合的任一直線g,在上取非零向量因m與n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一實(shí)數(shù),使

通過(guò)學(xué)習(xí),體會(huì)到我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下問(wèn)題：

1.證明兩直線垂直;2.求兩點(diǎn)之間的距離或線段長(zhǎng)度;3.證明線面垂直;4.求兩直線所成角的余弦值等等.小結(jié)3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo問(wèn)題：

我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示（平面向量基本定理）.對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類(lèi)似的結(jié)論呢？xyzOQP一、空間向量的坐標(biāo)分解

給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量且設(shè)為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)P在所確定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空間向量的坐標(biāo)分解xyzQPO

由此可知,如果是空間兩兩垂直的向量,那么,對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱(chēng)為向量在上的分向量.空間向量基本定理：都叫做基向量注:

如果三個(gè)向量不共面,那么對(duì)空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使（1）任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底.特別提示：對(duì)于基底{a,b,c},除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：（2由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著它們都不是.（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不同概念.推論：設(shè)O、A、B、C是不共線的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面。二、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底e1,e2,e3,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1,e2,e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O--xyzxyze1e2e3O

在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對(duì)空間任一向量,平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)o重合,得到向量OP=P由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使P=xe1+ye2+ze3

此時(shí)向量P的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系o-xyz中的坐標(biāo)(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo).xyzOP(x,y,z)e1e2e3

在空間直角坐標(biāo)系O–x

y

z

中，對(duì)空間任一點(diǎn)P,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標(biāo)，就是點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是說(shuō),以O(shè)為起點(diǎn)的有向線段(向量)的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.

我們說(shuō),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),記作P(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo).e1e2e3例題講解55答案練習(xí)2561、已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．例1練習(xí)33.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示z單位正交基底，空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)xyO(x,y,z)PQ啟示：空間向量OP

=(x,y,z)

OP=OQ+QP=復(fù)習(xí)則1.復(fù)習(xí)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)

類(lèi)比平面向量,空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是怎樣的呢?則類(lèi)比可得空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)2.平面向量的數(shù)量積、距離與夾角1.距離公式2.夾角公式類(lèi)比可得空間向量的數(shù)量積、距離與夾角1.距離公式2.夾角公式數(shù)量積運(yùn)算的證明：所以利用向量數(shù)量積的分配律及得到：解:三．例題講解:應(yīng)用()1.已知（1）（4）（2）