第三章時域響應分析

第一節(jié)引言

時域分析方法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，采用拉氏變換法直接解出系統(tǒng)的時間響應，再根據(jù)時間響應來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準確性和快速性能。用時域分析系統(tǒng)性能具有直接、準確、易于接受的特點，是經(jīng)典控制理論中進行系統(tǒng)性能分析的一種重要方法。第三章時域響應分析

第二節(jié)典型輸入信號在時域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號，建立分析比較的基礎(chǔ)，這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。因為系統(tǒng)對典型輸入信號的響應特性，與系統(tǒng)對實際輸入信號的響應特性之間存在著一定的關(guān)系，所以采用典型輸入信號來評價系統(tǒng)的性能是合理的。第三章時域響應分析為便于進行理論分析與試驗研究，對典型輸入信號有如下要求：

(1)能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情況下；

(2)形式簡單，便于解析分析；

(3)在實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。工程中經(jīng)常采用的典型輸入信號有單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、諧和函數(shù)和單位加速度函數(shù)等。其數(shù)學描述與圖形如圖3-1所示。第三章時域響應分析

第三節(jié)一階系統(tǒng)的時域響應控制系統(tǒng)的時間響應由兩部分組成：瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。瞬態(tài)響應是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)響應是指當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。一階慣性系統(tǒng)是一階系統(tǒng)的典型代表，其傳遞函數(shù)標準形式是：第三章時域分析法一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍輸入Xi(t)=1(t)，對其進行拉氏變換得，Xi(S)=1/S，則對上式進行拉氏反變換，得

第三章時域響應分析

得出如下重要結(jié)論：

(1)一階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩；

(2)系統(tǒng)響應由兩部分組成，穩(wěn)態(tài)響應1(t)和瞬態(tài)響應組成,瞬態(tài)響應隨著時間的增加逐漸衰減為0；

(3)經(jīng)過時間T曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的0.632高度。反之，用實驗方法測出的時間響應曲線到達穩(wěn)態(tài)值的0.632時所用的時間，即是一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T；第三章時域響應分析重要結(jié)論：

(4)經(jīng)過時間3T-4T，響應曲線已達到穩(wěn)態(tài)值的95%-98%，可以認為其調(diào)整過程已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時間為（3-4）T；

(5)在t=0處，響應曲線的切線斜率為1/T;(6)若通過實測某系統(tǒng)單位階躍響應yo(t)，將[1-yo(t)]標在半對數(shù)坐標紙上，如果得出一條直線，則可判定該系統(tǒng)為一階環(huán)節(jié)。第三章時域響應分析

二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應

一階系統(tǒng)的單位斜坡響應.doc

當t充分大時，系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號的誤差為T。顯然，慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)越小，則該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應是一條由零開始逐漸變?yōu)榈人僮兓那€，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入同斜率，但滯后一個時間常數(shù)，即存在跟蹤誤差，其數(shù)值大小也等于T。第三章時域響應分析

三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應一階系統(tǒng)的單位斜坡響應.doc

一階系統(tǒng)的典型輸入響應特性與時間常數(shù)密切相關(guān)，時間常數(shù)越小、單位脈沖響應的衰減越快，單位階躍響應的調(diào)整時間越小，單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差及滯后時間也越小。

例3-1

p79第三章時域響應分析

第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式,即：式中，ξ為系統(tǒng)的阻尼比wn為無阻尼振蕩頻率，簡稱固有頻率（也稱自然振蕩頻率）

第三章時域響應分析閉環(huán)特征方程為：其特征根即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點為1、當0<ξ<1時，此時系統(tǒng)特征方程具有一對負實部的共軛復根

系統(tǒng)的單位階躍響應具有衰減振蕩特性，稱為欠阻尼狀態(tài)。(如圖a)

第三章時域響應分析2、當ξ=1時，特征方程具有兩個相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。（如圖b）3、當ξ>1時，特征方程具有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)。（如圖c）4、當ξ=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應作等幅振蕩，稱為無阻尼或零阻尼狀態(tài)。（如圖d）分過阻尼（包括臨界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）兩種情況，來研究二階系統(tǒng)的單位階躍響應。第三章時域響應分析二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1、過阻尼情況。當ξ>1時，二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個不相等的負實根，這時閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為第三章時域響應分析

式中：過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)的串聯(lián)。當系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)時，第三章時域響應分析則系統(tǒng)的輸出量為拉氏反變換得：第三章時域響應分析響應曲線如圖：起始速度小，然后上升速度逐漸加大，到達某一值后又減小，響應曲線不同于一階系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要是調(diào)節(jié)時間ts，根據(jù)公式求ts的表達式很困難，一般用計算機計算出的曲線確定ts。第三章時域響應分析2.欠阻尼情況當0<ξ<1,二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為Wn無阻尼振蕩頻率或固有頻率，也叫自然振蕩頻率。第三章時域響應分析當系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出量為第三章時域響應分析曲線：第三章時域響應分析欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)定值的，衰減速度取決于特征值實部-ξwn的大小，而衰減振蕩的頻率，取決于特征根虛部wd的大小。第三章時域響應分析

上圖繪出了不同ξ值下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。直觀地看，ξ越大，超調(diào)量MP%越小，響應的振蕩性越弱，平穩(wěn)性越好；反之，ξ越小，振蕩性越強，平穩(wěn)性越差。當ξ＝0時，系統(tǒng)的零阻尼響應為：

等幅振蕩曲線，振蕩頻率為wn.

wn稱為無阻尼振蕩頻率。第三章時域響應分析

另外，若ξ過大，如，系統(tǒng)響應遲緩，調(diào)節(jié)時間ts長，快速性差；若ξ過小，雖然響應的起始速度較快，tr和tp小，但振蕩強烈，響應曲線衰減緩慢，調(diào)節(jié)時間ts亦長。四、二階系統(tǒng)的性能指標

控制系統(tǒng)的時域性能指標，是根據(jù)系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的時間響應——單位階躍響應確定的，通常以h(t)表示。實際應用的控制系統(tǒng)，多數(shù)具有阻尼振蕩的階躍響應，如圖4-1所示：

1、上升時間tr響應曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h(∞)所需的時間，稱為上升時間。對于響應曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。延遲時間td:響應曲線第一次到達終值一半所需的時間。2、峰值時間tp響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值h(∞)達到第一個峰值所需的時間。3、調(diào)節(jié)時間ts在穩(wěn)態(tài)值h(∞)附近取一誤差帶，通常取

響應曲線開始進入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間。ts越小，說明系統(tǒng)從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。4、超調(diào)量MP%響應曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即

超調(diào)量表示系統(tǒng)響應過沖的程度，超調(diào)量大，不僅使系統(tǒng)中的各個元件處于惡劣的工作條件下，而且使調(diào)節(jié)時間加長。5、振蕩次數(shù)N在調(diào)節(jié)時間以內(nèi)，響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。tr,tp和ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號的快速性，而σ%和N反映系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。即系統(tǒng)的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的兩個動態(tài)性能的指標。具體討論欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標。

1、上升時間tr

由定義知：tr為輸出響應第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間，所以應取n=1。

當wn一定時，ξ越小，tr越??；當ξ一定時，wn越大，tr越小。2、峰值時間tp①②對①式兩邊求導，并令其=0，得：代入得：∴tp為輸出響應達到第一個峰值所對應的時間所以應取n=1。于是當wn一定時，ξ越小，tp越??；當ξ一定時，wn越大，tp越小。3、超調(diào)量MP%

所以超調(diào)量是阻尼比ξ的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率wn的大小無關(guān)。MP%與ξ的關(guān)系曲線

ξ增大，MP%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ξ取在0.4-0.8之間,相應的超調(diào)量25%-2.5%。

4、調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)定義：不易求出ts，但可得出wn、ts與ξ的關(guān)系曲線：調(diào)節(jié)時間不連續(xù)的示意圖ξ值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時間ts顯著的變化。

當ξ=0.68（5%誤差帶）或ξ=0.76（2%誤差帶），調(diào)節(jié)時間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設(shè)計成欠阻尼的。曲線的不連續(xù)性，是由于ξ值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時間顯著變化而造成的。近似計算時，常用阻尼正弦振蕩的包絡(luò)線衰減到誤差帶之內(nèi)所需時間來確定ts。當ξ<=0.8時,常把這一項去掉。寫成即

在設(shè)計系統(tǒng)時,

ξ通常由要求的最大超調(diào)量決定,而調(diào)節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率wn來決定?？山票硎緸椋簝蛇吶?shù),得：

5、振蕩次數(shù)NN的定義:在調(diào)節(jié)時間內(nèi),響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。

Td為阻尼振蕩的周期。例1:已知單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計算放大器增益KA=200時,系統(tǒng)輸出響應的動態(tài)性能指標。當KA增大到1500時或減小到KA=13.5,這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何?解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式,可以求得:

由此可見,KA越大,ξ越小,wn越大,tp越小,MP%越大,而調(diào)節(jié)時間ts無多大變化。