Dr.Feng高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式第八節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用—用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒(Taylor)

第二章高數(shù)泰勒公式特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式若是非多項式函數(shù)，問是否可用一個n次多項式來近似表示高數(shù)泰勒公式由誤差即為一次多項式＋的高階無窮小試問是否成立？即是否求出特例：高數(shù)泰勒公式即為拋物線與更為接近問類似方法可得右邊的多項式在0的附近可以無限的接近于如何用高次多項式來近似表示已給函數(shù)，并給出誤差公式呢?高數(shù)泰勒公式1.求

n

次近似多項式要求:故令則高數(shù)泰勒公式2.余項估計令(稱為余項),則有高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項

.泰勒中值定理:階的導數(shù),時,有①其中②則當高數(shù)泰勒公式公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項

.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立高數(shù)泰勒公式特例:(1)當n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差高數(shù)泰勒公式稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式高數(shù)泰勒公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中高數(shù)泰勒公式其中高數(shù)泰勒公式42246420246泰勒多項式逼近高數(shù)泰勒公式42246420246泰勒多項式逼近高數(shù)泰勒公式五、小結(jié)高數(shù)泰勒公式五、小結(jié)高數(shù)泰勒公式五、小結(jié)高數(shù)泰勒公式五、小結(jié)高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式高數(shù)泰勒公式類似可得其中高數(shù)泰勒公式其中高數(shù)泰勒公式已知其中類似可得高數(shù)泰勒公式1.利用泰勒公式求極限例1計算解:原式三、泰勒公式的應(yīng)用高數(shù)泰勒公式例2求解：用函數(shù)的麥克勞林展開式求此極限高數(shù)泰勒公式解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項,例3.

求高數(shù)泰勒公式例4

設(shè)求解高數(shù)泰勒公式2.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:高數(shù)泰勒公式例5

設(shè)當，有證明在時，至少有一個實根。在處展開成一階泰勒公式因此，根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點而此使得的一個實根。證明將定理可知，至少存在一點為2.利用泰勒公式證明方程根的存在性高數(shù)泰勒公式內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.高數(shù)泰勒公式2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P139~P140)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù),高數(shù)泰勒公式作業(yè)P1411（2）;3；4;5;6；7高數(shù)泰勒公式泰勒

(1685–1731)英國數(shù)學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.高數(shù)泰勒公式麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).高數(shù)泰勒公式4、設(shè)，且，證明證明由已知極限式得利用泰勒公式有從而高數(shù)泰勒公式6.

設(shè)函數(shù)在上三階可導,且設(shè)使