專題11:平行四邊形(簡答題專練)

1.如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=6cm,3c=/0。%，點p從點3出發(fā)，以2c加/秒的速度沿8C

向點C運動，設點P的運動時間為7秒：

(1)PC=_cm.(用，的代數(shù)式表示)

(2)當，為何值時，UABPRDCP?

(3)當點p從點8開始運動，同時，點。從點。出發(fā)，以ucm/秒的速度沿CD向點。運動，當點P到

達C點或點Q到達D點時，P、Q運動停止，是否存在這樣v的值，使得AABP與△PQC全等？若存在,

請求出u的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)PC=10-2t;(2)t=2.5,理由見解析；(3)存在，v=2.4或者v=2.

【分析】⑴根據(jù)S=vt計算線段BP=2t,利用BP+PC=BC求PC即可；

(2)根據(jù)三角形全等，得BP=PC=5,所以t=』秒；

2

(3)分BP=CQ和BA=CQ兩種情形討論求解.

【解答】(1)點尸從點8出發(fā)，以2cm/秒的速度沿5c向點。運動，點P的運動時間為，秒，

BP-It,

:.PC=W-2t.

(2)當，=2.5時，

理由：???當￡=2.5時，60=2.5x2=5

PC=10-5=5

???在ZXABP和尸中

AB=DC

?ZB=ZC=90°

BP=CP

1

??.LiA8PWDCP/S)；

(3)①當3P=CQ時，43=PC時，口/18。力。。尸；

AB=6,

.?.PC=6,

BP=10—6=4，

2r=4,

解得/=2,

CQ=BP=4,

所以2y=4,

v=2：

②當BA=CQ,PB=PC時，UABPHDCP；

???PB=PC,

：.PB=PC=、BC=5,

2

2f=5，

解得，=2.5，

,/CQ=BA=6,

解得v=2.4；

綜上所述，當v=2.4或者u=2時"BP與口OCP.

【點評】本題考查了矩形中的動點問題，熟練掌握三角形全等，靈活運用分類思想是解題的關鍵.

2.如圖，在正方形A8CD中，E是A。的中點，尸是AB上一點，且AF=，A8.

4

求證：CE1EF.

2

【答案】證明見解析

【分析】利用正方形的性質得出AB=BC=CD=DA,NA==/BCD=N￡>=90°,設出邊長為“，

進一步利用勾股定理求得CE、EF、CE的長，再利用勾股定理逆定理判定即可.

【解答】連接。尸,

A8CD為正方形

:.AB=BC=CD=DA,ZA=NB=NBCD=ND=90°.

設AB=BC=C￡>=ZM=a

是的中點，且

4

AE=ED=—a,AF——a

24

3

BF=-a.

4

在田△COE中，由勾股定理可得

CE2=CD2+DE2=a2+（-a]=-a2

UJ4

同理可得：EF2^AE2+AF2=—a2

U）UJ16

3

CF2^BF2+BC2+a2^—a2.

U)16

:EF2+CE2=CF2

：.△CEF為直角三角形

，/CEF=90。

：.CE±EF.

【點評】此題考查勾股定理的逆定理，正方形的性質和勾股定理，解題關鍵在于設出邊長為a.

3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于點F,連接DF.

(1)求證：NBAC=NDAC,/AFD=/CFE；

(2)若AB〃CD,試證明四邊形ABCD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使NEFD=NBCD,并說明理由.

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)當BEJ_CD時，/EFD=/BCD

【分析】(1)先判斷出△ABCg^ADC得到NBAC=NDAC,再判斷出△ABFg/\ADF得出NAFB=NAFD,

最后進行簡單的推算即可；

(2)先由平行得到角相等，用等量代換得出/DAC=NACD,最后判斷出四邊相等；

(3)由(2)得到判斷出ABCF絲ADCF,結合BE,CD即可.

【解答】(1)證明：在aABC和AADC中，

AB=AD

<CB=CD

AC=AC

,AABC^AADC(SSS),

?.ZBAC=ZDAC,

在AABF和AADF中，

'AB=AD

<NBAF=ZDAF

AF=AF

4

.?.△ABF^AADF(SAS),

AZAFB=ZAFD,

VZCFE=ZAFB,

.\ZAFD=ZCFE,

AZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE；

(2)證明：VAB//CD,

AZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,

AZBAC=ZACD,

AZDAC=ZACD,

???AD=CD,

\'AB=AD,CB=CD,

AAB=CB=CD=AD,

???四邊形ABCD是菱形；

(3)BE_LCD時，NBCD=NEFD；理由如下:

?四邊形ABCD是菱形，

ABC=CD,ZBCF=ZDCF,

\"CF=CF,

AABCF^ADCF,

AZCBF=ZCDF,

VBE±CD,

AZBEC=ZDEF=90°,

AZBCD=ZEFD.

4.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC、8。相交于點。，E產過點。且與A3、C。分別相交于點E、F,

連接EC

(1)求證：OE=OF；

(2)若EF_LAC,△3EC的周長是10,求平行四邊形ABC。的周長.

5

D

【答案】(1)證明見解析；(2)20.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質得出OD=OB,DC//AB,推出/FDO=/EBO,證△DFO四△BEO即

可；

(2)由平行四邊形的性質得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由線段垂直平分線的性質得出AE=CE,由己

知條件得出BC+AB=10,即可得出平行四邊形ABCD的周長.

【解答】解：(1)I?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.OD=OB,DC〃AB,

.,.ZFDO=ZEBO,

NFDO=NEBO

在△DFO和△BEO中，｛。。=OB,

NFOD=ZEOB

.,.△DFO四△BEO(ASA),

.*.OE=OF.

(2)解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD,AD=BC,OA=OC,

VEF±AC.

AE=CE,

VABEC的周長是10,

BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,

平行四邊形ABCD的周長=2(BC+AB)=20.

5.如圖1,已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是AC上一點，連結EB,過點A作AM1BE,

垂足為M,AM交BD于點F.

(1)求證：OE=OF；

(2)如圖2,若點E在AC的延長線上，AM^BE于點M,交DB的延長線于點F,其它條件不變，則結

6

論“OE=OF”還成立嗎.如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

【解答】解：(11??四邊形ABCD是正方形.

.??NBOE=NAOF=90。，OB=OA,

又,.,AM_LBE,

；?ZMEA+ZMAE=90°=ZAFO+ZMAE

AZMEA=ZAFO,

ARtABOE^RtAAOF

???OE=OF

(2)OE=OF成立

?四邊形ABCD是正方形，

AZBOE=ZAOF=90°,OB=OA

又?.?AM_LBE,

JZF+ZMBF=90°=ZE+ZOBE

又,.,NMBF=NOBE

AZF=ZE

ARtABOE^RtAAOF

???OE=OF

6.如圖將矩形ABC。沿對角線AC對折，使△ABC落在的位置，且CE與AO相交于點F,求證:EF=DE

【答案】見解析

7

【分析】先由四邊形為矩形，得出AE=C。，NE=ND,再由對頂角相等，即可證明即可.

【解答】???四邊形48co是矩形，

：.ZD=ZE,AE=CD,

又；ZAFE=ZCFD,

在和△CDF中，

NE=ND

<ZAFE=NCFD,

AE=CD

，△CDF（AAS）,

：.EF=DF.

7.（1）如圖矩形ABC。的對角線AC、BD交于點0,過點。作。尸〃OC,且DP=OC,連接CP,

判斷四邊形CODP的形狀并說明理由.

（2）如果題目中的矩形變?yōu)榱庑危Y論應變?yōu)槭裁?？說明理由.

（3）如果題目中的矩形變?yōu)檎叫危Y論又應變?yōu)槭裁?？說明理由.

圖3

【答案】（1）四邊形CODP的形狀是菱形，理由見解析；（2）四邊形CODP的形狀是矩形，理由見解析；

（3）四邊形COOP的形狀是正方形，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質證得，再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP

是平行四邊形，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證得結論；（2）根據(jù)菱形的性質可得N

DOC=90°,再由有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證得四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)有一

個角為直角的平行四邊形為矩形即可證得結論；（3）根據(jù)正方形的性質可得OD=OC,ZDOC=90°,再由有

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定即可證得

結論.

【解答】（1）四邊形COOP的形狀是菱形，

理由是：???西邊形ABCD是矩形，

/.AC-BD,0A=OC=—AC.OB=OD=—BD,

22

8

/?OC-OD，

'：DP//OC,DP=OC,

：.四邊形COOP是平行四邊形，

?：OC=OD,

...平行四邊形CO。尸是菱形；

(2)四邊形COOP的形狀是矩形，

理由是：?.?四邊形ABCO是菱形，

，AC1BD,

，ZZ)C>C=90°.

VDP//OC,DP=OC,

...四邊形CODP是平行四邊形，

NDOC=90°，

二平行四邊形CQDP是矩形；

(3)四邊形COOP的形狀是正方形，

理由是：：四邊形A8C。是正方形，

AAC1BD,AC=BD,OA=OC^-AC,OB=OD=LBD,

22

AZDOC=90°.OD=OC,

VDPIIOC,DP=OC,

二四邊形COOP是平行四邊形，

VZZ)C>C=90°.OD=OC

...平行四邊形COOP是正方形.

【點評】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定，考查學生的猜想能力和推理能力,

綜合性較強.

8.在平行四邊形ABCD中，點E在AD邊上，連接BE、CE,EB平分/AEC,

(1)如圖1,判斷4BCE的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若NA=90。，BC=5,AE=1,求線段BE的長.

9

【答案】（1）證明見解析；（2）而

【解答】（1）如圖1中，結論:△BCE是等腰三角形.

證明：?.,四邊形ABCD是平行四邊形,

，BC〃AD,

，ZCBE=ZAEB,

VEB平分NAEC,

.,.ZAEB=ZBEC,

ZCBE=ZBEC,

.?.CB=CE,

.?.△CBE是等腰三角形；

(2)如圖2中，：四邊形ABCD是平行四邊形，ZA=90°,

四邊形ABCD是矩形，

二NA=/D=90°,BC=AD=5,

在RtZ\ECD中，*.'/D=90。，ED=AD-AE=4,EC=BC=5,

AB=CD=yjEC2-DE2=A/52-42=3,

在Rt口AEB中,；/A=90°,AB=3.AE=1,

BE=A/A82+AE2=A/32+12=而.

9.如圖，在QABCD中，DE=CE,連接AE并延長交BC的延長線于點F.

(1)求證：AADE^AFCE；

(2)若AB=2BC,/F=36。，求NB的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）108°

10

【分析】(1)利用平行四邊形的性質得出AD〃BC,AD=BC,證出ZD=/ECF,由ASA即可證出△ADE

^△FCE；

(2)證出AB=FB,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出答案.

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD/7BC,AD=BC,

/.ZD=ZECF,

在4ADE和4FCE中，

ZD=ZECF

<DE=CE

NAED=NFEC

/.△ADE^AFCE(ASA)；

(2)VAADE^AFCE,

，AD=FC,

：AD=BC,AB=2BC,

，AB=FB,

二NBAF=NF=36°,

.*.ZB=180°-2x36°=108°.

【點評】運用了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質、三角形內角和定理；

熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

10.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,過點C的直線MN〃AB,。為48邊上一點，過點。作力

交直線MN于E,垂足為F,連接C。、BE.

(1)求證：CE—AD-,

(2)當。在A8中點時，四邊形8ECC是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若。為A8中點，則當NA的大小滿足什么條件時，四邊形BECQ是正方形？請說明你的理由.

【答案】(1)見解析；(2)四邊形8ECO是菱形，理由見解析；(3)當/4=45。時，四邊形8EC。是正方

形，理由見解析

11

【分析】（1）根據(jù)兩組對邊平行，證明四邊形AOEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質得到CE=AD；

（2）先根據(jù)一組對邊平行且相等，證明四邊形8ECO是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半證明CD=BD,從而證明四邊形BECD是菱形；

（3）當/A=45。時，四邊形8ECO是正方形，證明口46。是等腰直角三角形，再利用“三線合一”的性質

證明CD±AB,從而證明四邊形BECD是正方形.

【解答】（1）證明：???OEJ_8C,

，NDFB=90°,

'：ZACB=90°,

二N4CB=4DFB,

：.AC//DE,

■:MN//AB,即CE//AD,

...四邊形ADEC是平行四邊形，

：.CE^AD-.

（2）解：四邊形BECO是菱形，

理由是：???。為48中點，

：.AD=BD,

,:CE=AD,

：.BD=CE,

?：BD//CE,

二四邊形BECD是平行四邊形，

\'ZACB=90°,。為AB中點,

：.CD=BD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

二四邊形8ECQ是菱形；

（3）當/4=45。時，四邊形BECO是正方形，理由是：

解：■：ZACB=90°,NA=45°,

NABC=乙4=45°,

：.AC=BC,

?.?力為84中點，

.,.CDLAB,

12

：.ZCDB=90°,

???四邊形BEC。是菱形，

菱形BEC。是正方形，

即當NA=45。時，四邊形8ECD是正方形.

【點評】本題考查平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，直角三角

形斜邊上中線的性質，解題的關鍵是熟練利用這些性質和判定進行證明.

11.如圖，在UABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF,過點C作

AB的平行線CD,與線段EF的延長線交于點D,連接CE,BD.

（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形.

（2）若NABC=120。，AB=8C=4,則在點E的運動過程中：

①當BE=時，四邊形BECD是矩形，試說明理由；

②當BE=時，四邊形BECD是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）①2,理由見解析；②4

【分析】（1）先證明aEBF烏aDCF,可得DC=BE,可證四邊形BECD是平行四邊形；

（2）①根據(jù)四邊形BECD是矩形時，/CEB=90。，再由/ABC=120?？傻?ECB=30。，再根據(jù)直角三角形

的性質可得BE=2；

②根據(jù)四邊形BECD是菱形可得BE=EC,再由NABC=120。，可得NCBE=60。，進而可得4CBE是等邊三

角形，再根據(jù)等邊三角形的性質可得答案.

【解答】（1）：AB〃CD,

AZCDF=ZFEB,ZDCF=ZEBF,

?.,點F是BC的中點，

二BF=CF,

ZCDF=NBEF

在4DCF和AEBF中，，ZDCF=ZEBF,

FC=BF

13

/.△EBF^ADCF(AAS),

二DC=BE,

又：DC〃BE,

...四邊形BECD是平行四邊形；

（2）①BE=2,

當四邊形BECD是矩形時，ZCEB=90°,

VZABC=120°,

:.ZCBE=60°；

.?.NECB=30°,

1

.?.BE=-BC=2,

2

故答案為:2；

②BE=4,

:四邊形BECD是菱形時，BE=EC,

VZABC=120°,

:.ZCBE=60°,

/.△CBE是等邊三角形，

，BE=BC=4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了菱形和矩形的性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握菱形四邊相等，矩形四

個角都是直角.

12.如圖，在4ABC中，點D是AB邊的中點，點E是CD邊的中點，過點C作CF〃AB交AE的延長線于點F,

連接BF.

⑴求證:DB=CF；（2）如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀，并證明你的結論.

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BDCF是矩形，理由見解析.

【解析】（1）證明：：CF〃AB,

14

AZDAE=ZCFE.又；DE=CE,ZAED=ZFEC,

.,.△ADE^AFCE,，AD=CF.VAD=DB,；.DB=CF.

（2）四邊形BDCF是矩形.

證明:由（1）知DB=CF,又DB〃CF,

/.四邊形BDCF為平行四邊形.

VAC=BC,AD=DB,ACD1AB.

四邊形BDCF是矩形.

13.閱讀下面材料：

在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F,G,H依次

連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎.

小敏在思考問題時，有如下思路：連接AC.

結合小敏的思路作答：

（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2）,則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由，參

考小敏思考問題的方法解決一下問題；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接AC,BD.

①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；

②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論.

【答案】（1）是平行四邊形；（2）①AC=BD；證明見解析；②ACJ_BD.

【分析】（1）如圖2,連接AC,根據(jù)三角形中位線的性質及平行四邊形判定定理即可得到結論;

15

（2）①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG--BD,HG=—AC,于是得到當AC=BD時，F(xiàn)G=HG,

22

即可得到結論；

②若四邊形EFGH是矩形，則NHGF=90。，即GH_LGF,XGH//AC,GF//BD,則AC_L3O.

【解答】解：：（1）是平行四邊形.證明如下：

圖2

是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，

；.EF〃AC,EF=—AC,同理HG〃AC,HG=—AC,

22

綜上可得：EF〃HG,EF=HG,

故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①AC=BD.

理由如下：

由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=^BD,HG=-AC,

22

.?.當AC=BD時，F(xiàn)G=HG,

,平行四邊形EFGH是菱形；

②當ACLBD時，四邊形EFGH為矩形.

理由如下：

同（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC1BD,GH〃AC,

AGH1BD,

VGF//BD,

AGH1GF,

???ZHGF=90°,

???四邊形EFGH為矩形.

【點評】此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊同等

16

于第三邊的一半.

14.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,每個小正方

形的頂點叫做格點.

（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且NMON=90。；

（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON

面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形

ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）.

圖1圖2

【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.

【解析】試題分析：（1）過點0向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可：（2）根據(jù)

此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1所示;

圖1

（2）等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示：于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：

考點：1.作圖-應用與設計作圖；2.勾股定理.

17

15.已知：如圖，在aABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交于BE的

延長線于點F,且AF=DC,連接CF.

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.

【答案】(1)見詳解；(2)四邊形ADCF是矩形；證明見詳解.

【分析】(1)可證4AFE絲ADBE,得出AF=BD,進而根據(jù)AF=DC,得出D是BC中點的結論；

(2)若AB=AC,則4ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質知AD_LBC；而AF與DC平

行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又ADLBC,則四邊形ADCF是矩形.

【解答】(1)證明：是AD的中點，

，AE=DE.

：AF〃BC,

:.ZFAE=ZBDE,ZAFE=ZDBE.

在△AFE和4DBE中，

NFAE=NBDE

<ZAFE=NDBE

AE=DE

.,.△AFE^ADBE(AAS).

/.AF=BD,

VAF=DC,

.*.BD=DC.

即：D是BC的中點.

(2)解：四邊形ADCF是矩形；

證明：VAF=DC,AF〃DC,

四邊形ADCF是平行四邊形.

18

VAB=AC,BD=DC,

.\AD±BC即NADC=90。.

平行四邊形ADCF是矩形.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行四邊形、矩形的判定等知識

綜合運用.解題的關鍵是熟練掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性質進行證明.

16.如圖1,已知銳角△ABC中，CD、8E分別是A&4C邊上的高，M、N分別是線段BC、OE的中點.

（1）求證：MNLDE.

（2）連結OM,ME,猜想NA與NOME之間的關系，并證明猜想.

（3）當N4變?yōu)殁g角時，如圖2,上述（1）（2）中的結論是否都成立，若結論成立，直接回答，不需證明;

若結論不成立，說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）ZDME=180°-2ZA；詳見解析；（3）結論（1）成立，結論（2）不成立，詳

見解析

【分析】（1）連接ZW，ME，根據(jù)直角三角形的性質得到ME^-BC,得到=

22

根據(jù)等腰直角三角形的性質證明；

（2）根據(jù)三角形內角和定理、等腰三角形的性質計算；

（3）仿照（2）的計算過程解答.

【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，

?：CD>8E分別是A5、AC邊上的高，M是8c的中點,

19

：.DM=-BC,ME=-BC,

22

:.DM=ME，

又QN為DE中點，

:.MNtDE；

(2)在AABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

YDM=ME=BM=MC,

：.NBMD=180°-2ZABC,NCME=180°-2ZACB,

ZBMD+NCME=(180°-2ZABC)+(180°-2ZAC8),

=360°-2(ZABC+ZACB),

=360°-2(180°-ZA),

=2“

.?.ZDME=180°-2ZA：

(3)結論(1)成立，結論(2)不成立，

理由如下：如圖，

同理（1）可知：MN±DE,故結論（1）正確；

DM=ME=BM=MC,

：.NBME=2ZACB,NCMD=2ZABC,

在AABC中，NABC+NACB=180°—ZA，

ABME+NCMD=2ZACB+2ZABC=2（180°-ZA）=360°-2ZA,

ZDME=180°-（360°-2ZA）=2zTA-180°,故結論（2）不正確.

【點評】本題考查了直角三角形的性質、三角形內角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊

的一半是解題的關鍵.

17.閱讀理解：

二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當?shù)亩胃?

20

1

例如：化簡

V2-1,

解：將分子、分母同乘以正+i得：-4—=-尸&+占-=72+1.

V2-1(V2-1)(72+1)

類比應用：

1

⑴化簡：訪"T=--------------；

111

(2)化簡：及7+僅二后+…+麻蔡=------------------

拓展延伸：

寬與長的比是縣口的矩形叫黃金矩形.如圖①，已知黃金矩形A8CC的寬48=1.

2

(1)黃金矩形ABCD的長BC=；

(2)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形4BEF,得到新的矩形。CEF,猜想矩形

OCE尸是否為黃金矩形，并證明你的結論；

(3)在圖②中，連結AE,則點。到線段AE的距離為.

A

【答案】類比應用：(1)2百+而；(2)2；拓展延伸：(【)叵口；(2)矩形。CEF為黃金矩形，理

2

V10+V2

由見解析；(3)

4

【分析】類比應用:

21

（1）仿照題干中的過程進行計算；

（2）仿照題干中的過程進行計算；

拓展延伸：

（1）根據(jù)黃金矩形的定義結合AB=1進行計算；

（2）根據(jù)題意算出AD的長，從而得出DF,證明DF和EF的比值為正二'即可；

2

（3）連接AE,DE,過D作DG_LAE于點G,根據(jù)4AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長即可.

【解答】解：類比應用：

（1）根據(jù)題意可得：

12G+VTT

20-而=（26一日）（26+而）=2,3+S1：

（2）根據(jù)題意可得：

111

-------------1-----------------F…4-----------------

V2+1V3+V2囪+際

V2-1V3-V2V9-V8

二（a+1）（后一1）+（6+⑹（6一及）iT（次+網心一⑹

=5/2-1+V3—\/2+..?+^9—y/s

=\/9—1

=2；

拓展延伸：

（1）?.?寬與長的比是避二!?的矩形叫黃金矩形，

2

若黃金矩形ABCD的寬A8=l,

—7J——2亞+1

則黃金矩形A8CQ的長8c=6-1=5工=上士1；

2一

（2）矩形。CEF為黃金矩形，理由是：

由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1,

22

根據(jù)黃金矩形的性質可得：AD=BC=1+苴二1=墾1

22

:.FD=EC=AD-AF=?^+1-1=舊二］,

22

.DF_>/5—15/5—1

■.---=------j-1=-----，

EF22

故矩形OCEF為黃金矩形；

(3)連接AE,DE,過D作DG_LAE于點G,

TAB=EF=1,AD=?^+1,

2

.,.AE=712+12=V2>

在4AED中，

SAAED=—xAZ)xEF=—xAExOG，

22

即ADx￡E=AExOG,則且±lxl=J^xOG，

2

解得DG=^+佟

4

.?.點D到線段AE的距離為W十二.

4

圖②

【點評】本題考查了二次根式的性質，平方差公式，矩形的性質，正方形的性質，三角形的面積，此類問

題要認真閱讀材料，理解材料中的知識.

18.四邊形ABC。為正方形，點E為線段AC上一點，連接OE,過點E作EEJ_OE，交射線8C于點尸,

23

以OE、EF為鄰邊作矩形。EEG,連接CG.

（1）如圖，求證：矩形。EFG是正方形；

（2）若AB=2,CE=6,求CG的長度：

（3）當線段￡>E與正方形ABCO的某條邊的夾角是30。時，直接寫出NEFC的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析（2）CG=V2（3）當OE與AO的夾角為30。時，NEFC=120°；當DE與DC

的夾角為30。時，N￡FC=30°

【分析】（1）過E作EPJ_8于點尸，EQ1BC于點。，證明RtaEQF^RtUEPD,得到EF=ED，

根據(jù)正方形的判定定理證明即可；

（2）通過計算發(fā)現(xiàn)E是AC中點，點產與。重:合，由（1）可知四邊形。EFG是正方形，由此即可解決

問題.

（3）分兩種情形考慮問題即可；

【解答】解：（I）證明：過E作￡PJ_CD于點P,EQL8C于點。，如圖：

?.?四邊形ABCQ為正方形

二ZDCA=ZBCA=45°

：.EP=EQ

EFVDE

:.ZDEF=90。

'：ZPED+ZEFC=90°-APEC=45°

ZQEF+ZFEC=45°

24

ZQEF=APED

；.在RMEQF和RtDEPD

ZQEF=APED

<EP=EQ

NEQF=NEPD

：.RtDEQF^RtQEPD(ASA)

，EF=ED

?矩形DEFG是正方形.

(2)如圖：

?.?由(1)可知，在R/CABC中，AB=BC^2

，AC=2V2

CE=42

AE-CE——AC-V2

2

，C與尸重合

?.?四邊形。EFG是正方形

?*-CG=CE=y[2-

(3)①當￡>E與A。的夾角為30。時，如圖：

VZADE=30°,NZME=45°

ZD￡C=30°+45°=75°

25

，NFEC=90°—75°=15°

二Z.EFC=180°-15°-45°=120°；

②當力E與。。的夾角為30。時，如圖:

■:NCDE=30°,ZDEF=90°

：.4DHE=90°-30°=60°

/.NCHF=60°

/DCF=9Q。

:./EFC=3V.

，綜上所述，/￡7?:=120°或/瓦。=30°

故答案是：（1）證明見解析（2）CG=V2（3）當DE與4）的夾角為30。時，ZEFC=120°；當DE與

。。的夾角為30。時，=30°

【點評】本題考查正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵

是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.

19.猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF,使B,C,G三點在一條直線上，CE在

邊CD上.連結AF,若M為AF的中點，連結DM,ME,試猜想DM與ME的數(shù)量關系，并證明你的結

論.

拓展與延伸：

（1）若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,其他條件不變，則DM和ME

的關系為;

（2）如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF,使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明

（1）中的結論仍然成立.［提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半］

AB

26

【答案】猜想與證明：猜想DM與ME的數(shù)量關系是：DM=ME,證明見解析；拓展與延伸：(1)DM=ME,

DM1ME；(2)證明見解析

【分析】猜想：延長EM交AD于點H,利用AFME絲AAMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜

邊的中線等于斜邊的一半證明.

(1)延長EM交AD于點H,^iJfflAFME^AAMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜邊的中線等

于斜邊的一半證明，

(2)連接AC,AC和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

【解答】解：猜想與證明：

猜想DM與ME的數(shù)量關系是：DM=ME.

證明：如圖①，延長EM交AD于點H.

.四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形,

，AD〃BG,EF〃BG,ZHDE=90°.

.?.AD〃EF.

...NAHM=NFEM.

又：AM=FM,NAMH=/FME,

AAAMH^AFME.

，HM=EM.

又；ZHDE=90°,

.?.DM=^EH=ME；

2

(1):四邊形ABCD和CEFG是正方形，

，AD〃EF,

NEFM=/HAM,

又；NFME=NAMH,FM=AM,

在aFME和△AMH中，

27

ZEFM=ZHAM

<FM=AM,

/FME=/AMH

/.△FME^AAMH(ASA)

AHM=EM,

在RTZXHDE中，HM=