2022-2023學(xué)年廣東省惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，將集合分別用如下圖中的兩個(gè)圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個(gè)數(shù)恰好為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圖象求得正確答案.【詳解】，所以:A選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.B選項(xiàng)，陰影部分表示，符合題意.C選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.D選項(xiàng)，陰影部分表示，不符合題意.故選：B2．若函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BD，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)即可排除A.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故排除BD，當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除A，而C滿足題意故選：C.3．已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由全稱命題的否定轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以在上有解，所以，而一元二次函數(shù)在時(shí)取最大值，即解得，故選：A4．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以只需把函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就可以得到函數(shù)的圖象.故選：A5．用二分法判斷方程在區(qū)間內(nèi)的根（精確度0.25）可以是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．0.825 B．0.635 C．0.375 D．0.25【答案】B【分析】設(shè)，由題意可得是上的連續(xù)函數(shù)，由此根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】設(shè)，，，，在內(nèi)有零點(diǎn)，在內(nèi)有零點(diǎn)，方程根可以是0.635.故選：B．6．函數(shù)在上的最小值為（

）A．－1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦型三角函數(shù)在區(qū)間上的最值的求解方法得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故選：B.7．三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代的過(guò)程中，利用“生物死亡后體內(nèi)碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14含量隨時(shí)間（單位：年）變化的數(shù)學(xué)模型：表示碳14的初始量）.2020年考古學(xué)家對(duì)三星堆古遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的，據(jù)此推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年【答案】B【分析】設(shè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是x年，由求解.【詳解】設(shè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是x年，則，即，所以，解得，所以推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是年.故選：B8．已知，則的值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】由，代入已知條件解方程即可.【詳解】，由，則，解得，由三角函數(shù)的值域可知，不成立，故.故選：B二、多選題9．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．的值域是C．是偶函數(shù) D．在上是減函數(shù)【答案】AB【分析】求出冪函數(shù)的解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)，∵的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，從而可得，的定義域?yàn)?，值域是，既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，故A、B正確；C、D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知函數(shù)，則（

）A．為的一個(gè)周期 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．的一個(gè)零點(diǎn)為【答案】AD【分析】對(duì)于A，直接利用周期公式求解即可；對(duì)于B，直接把代入解析式中驗(yàn)證即可；對(duì)于C，求出的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；對(duì)于D，把代入計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)知最小正周期為，正確.當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的對(duì)稱性知，錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；，，故正確.故選：AD【點(diǎn)睛】此題考查余弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】AC【分析】利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4，故A正確；對(duì)于B，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最大值為，故B不正確；對(duì)于C，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；有最大值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，，所以，所以，有最小值，無(wú)最大值，故D不正確．故選：AC．12．心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值．記某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓，t為時(shí)間，其函數(shù)圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A． B．收縮壓為C．舒張壓為 D．每分鐘心跳80次【答案】BCD【分析】由正弦型函數(shù)的圖像，即可求出周期與最值，進(jìn)而求出頻率，即可判斷正誤.【詳解】由題圖知，，所以，可得，故選項(xiàng)A不正確；所以，由題圖知在一個(gè)周期內(nèi)最大值為120，最小值為70，所以收縮壓為，舒張壓為，故選項(xiàng)BC正確；每分鐘心跳數(shù)為頻率，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知為第二象限角，，則____________.【答案】##【分析】由正切二倍角公式及所在象限得到，再由誘導(dǎo)公式，化弦為切，代入即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，故，因?yàn)?，所以，故，解得：或（舍去），，分子分母同除以得?故答案為：14．已知函數(shù)，若，則__________．【答案】或或【分析】分兩種情況，化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】若或，得或；若.綜上，或或.故答案為：或或15．魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái).如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該魯洛克斯三角形的面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】由弧長(zhǎng)公式可求得等邊的邊長(zhǎng)，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個(gè)扇形的面積減去2個(gè)的面積，結(jié)合扇形和三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：由題意可知，設(shè)，則弧的長(zhǎng)度為，所以，設(shè)弧所對(duì)的扇形的面積為，，則該魯洛克斯三角形的面積為.故答案為：.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)題意將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由變形可得：，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，不等式可以變形為，即，所以，則；當(dāng)時(shí)，不等式可以變形為，即，所以，則（舍去）；綜上，不等式的解集為，故答案為：.四、解答題17．（1）化簡(jiǎn)：（2）求值：．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出結(jié)果；（2）借助誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化，結(jié)合和差公式，即可求得本題答案．【詳解】（1）（2）18．已知集合，.(1)若，求；(2)在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.若_________，求實(shí)數(shù)的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)；(2)選①；若選②.【分析】(1)代入的值，求出集合B，用并集的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.(2)若選①，即，則對(duì)的值進(jìn)行分類討論，根據(jù)集合包含關(guān)系即可得到的取值范圍.若選②，對(duì)的值進(jìn)行分類討論，依次根據(jù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），即，而，即，所以；（2）若選①即時(shí)，，即，要滿足題意則，與前提矛盾，舍；時(shí)，，即，符合題意；時(shí)，，即，要滿足題意則，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.若選②，若，時(shí)，，即，要滿足題意則，則滿足，解得，則；若時(shí)，，即，滿足；時(shí)，，即，要滿足題意則解得，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．某小區(qū)要建一座八邊形的休閑公園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字型地獄，計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為元/m2，在四個(gè)相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價(jià)為元/m2，再在四個(gè)角上鋪草坪，造價(jià)為元/m2.設(shè)總造價(jià)為元，AD的長(zhǎng)為.(1)試建立關(guān)于的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，最小，并求出這個(gè)最小值.【答案】(1)，.(2)當(dāng)m時(shí)，最小，最小值為元【分析】（1）設(shè)，根據(jù)面積得到，再計(jì)算總造價(jià)得到解析式.（2）利用均值不等式計(jì)算得到最值.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，所以，.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為元.20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1),(2)【分析】（1）先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)為，然后利用正弦函數(shù)的取值范圍可求出的值域；（2）由解出的范圍就是所要求的遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以所以的值域?yàn)椋唬?）由，得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的恒等變換公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.21．某公司為了提升銷售利潤(rùn)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案．公司規(guī)定獎(jiǎng)勵(lì)方案中的總獎(jiǎng)金額y（單位：萬(wàn)元）是銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的函數(shù)，并且滿足如下條件：①圖象接近圖示；②銷售利潤(rùn)x為0萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為0萬(wàn)元；③銷售利潤(rùn)x為30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為3萬(wàn)元．現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供公司選擇：A．；B．；C．．(1)請(qǐng)你幫助該公司從中選擇一個(gè)最合適的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由；(2)根據(jù)你在（1）中選擇的函數(shù)模型，解決如下問(wèn)題：①如果總獎(jiǎng)金不少于9萬(wàn)元，則至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)多少萬(wàn)元？②總獎(jiǎng)金能否超過(guò)銷售利潤(rùn)的五分之一？【答案】(1)模型C,理由見(jiàn)解析(2)①210萬(wàn)元;②不會(huì).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可選擇模型；（2）①令解對(duì)數(shù)不等式求解，②即，結(jié)合函數(shù)圖象的增長(zhǎng)速度解釋.【詳解】（1）模型A．，因?yàn)?，所以勻速增長(zhǎng)，模型B．，因?yàn)椋嚷罂煸鲩L(zhǎng)，模型C．，因?yàn)?，先快后慢增長(zhǎng)，所以模型C最符合題意.（2）因?yàn)殇N售利潤(rùn)x為0萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為0萬(wàn)元，所以，即，又因?yàn)殇N售利潤(rùn)x為30萬(wàn)元時(shí)，總獎(jiǎng)金y為3萬(wàn)元，所以，即，由解得，所以，①如果總獎(jiǎng)金不少于9萬(wàn)元，即，即，即，解得，所以至少應(yīng)完成銷售利潤(rùn)210萬(wàn)元.②設(shè)，即，因?yàn)榕c有交點(diǎn)，且增長(zhǎng)速度比慢，所以當(dāng)時(shí)，恒在的下方，所以無(wú)解，所以總獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)銷售利潤(rùn)的五分之一.22．已知為上的奇函數(shù)，為上的偶函數(shù)，且.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）由，根據(jù)函數(shù)奇偶性列方程組求函數(shù)解析式，用定義法判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）原不等式在上恒成立，等價(jià)于在