本文格式為Word版，下載可任意編輯——固體物理習題解答《固體物理學》部分習題解答

《固體物理學》部分習題解答

補充：證明“晶體的對稱性定律〞。

證明：晶體中對稱軸的軸次n并不是任意的,而是僅限于n=1,2,3,4,6這一原

理稱為“晶體的對稱性定律〞。現(xiàn)證明如下:

設晶體中有一旋轉(zhuǎn)軸n通過某點O,根據(jù)前一條原理必有一平面點陣與你n垂直,而在其中必可找出與n垂直的屬于平移群的素向量a,將a作用于O得到A點將-a作用于O點得到A’點:若a=,則L()及L(-)必能使點陣復原,這樣就可得點陣點B,B’,可得向量BB’,顯然BB與a平行,由于空間點陣中任意相互平行的兩個直線點陣的素向量一定相等,因而向量BB’的長度必為素向量a的整數(shù)倍即:

BB’=ma

由圖形關系可得:

=即m=0,±1,±2

m-2-1012

所以n=1,2,3,4,6

綜上所述可得結(jié)論:在晶體結(jié)構中,任何對稱軸或軸性對稱元素的軸次只有一重,二種,三重,四重或六重等五種,而不可能存在五重和七重及更高的其它軸次,這就是晶體對稱性定律。

1

-1-0

2p

p

n23461

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《固體物理學》部分習題解答晶體的對稱性定律證明:

1.3證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。

?????????a2?a3a3?a1a1?a2解由倒格子定義b1?2????b2?2????b3?2????

a1?a2?a3a1?a2?a3a1?a2?a3?a?體心立方格子原胞基矢a1?(?i?2???a2?a32?倒格子基矢b1?2?????a1?a2?a3v0???a????a???j?k),a2?(i?j?k),a3?(i?j?k)

22a???a????(i?j?k)?(i?j?k)222???2?a2??????(j?k)??(i?j?k)?(i?j?k)?av04???2????a3?a12???(i?j)同理b2?2?????(i?k)b3?aa1?a2?a3a可見由b1,b2,b3為基矢構成的格子為面心立方格子面心立方格子原胞基矢

??????a1?a(j?k)/2???a2?a(k?i)/2

???a3?a(i?j)/2???2?????a2?a3(?i?j?k)倒格子基矢b1?2????b1?aa1?a2?a3此答案由多種版本教學資料參考整理而成，僅供參考。請勿抄襲！—By似水驕陽

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《固體物理學》部分習題解答

同理b?2?2?a(?i??j?k?)b?2????3?a(i?j?k)可見由b??,b?1,b23為基矢構成的格子為體心立方格子

(2?)31.4證明倒格子原胞的體積為v，其中v0為正格子原胞體積

0證倒格子基矢b??2?a??a?231a???

1?a2?a3?b?a?3?a12?2?a??a?a?

12?3b??a?a?1?23?2a?a??

1?2?a3倒格子體積v*??0?b1?(b2?b?3)

v*0?(2?)3??????*(2?)3v3(a2?a3)?(a3?a1)?(a1?a2)v0?0v01.5證明：倒格子矢量G??hb???11?h2b2?h3b3垂直于密勒指數(shù)為(h1h2h3)的晶面系。證：

?????CA??a1a????a?a?h?3,CB?2?3

1h3h2h3簡單證明G?????h1h2h3?CA?0G????CB?h1h2h3??0G??hb???11?h2b2?h3b3與晶面系(h1h2h3)正交。1.6假使基矢a?,b?,c?構成簡單正交系

證明晶面族(hkl)的面間距為d?1(ha)2?(klb)2?(c)2說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，簡單解理

證簡單正交系a??b??c?a??????1?ai,a2?bj,a3?ck

倒格子基矢b?a??2?a3?a??3????a?ba1a1?a21?2???2?2?a???b3?2????

1?a2?a31?a2?a3a1?a2?a3此答案由多種版本教學資料參考整理而成，僅供參考。請勿抄襲！—By似水驕陽-3-

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?2???2???2??i,b2?j,b3?kb1?abc????2??2??2??i?kj?lk倒格子矢量G?hb1?kb2?lb3?habc晶面族(hkl)的面間距d???12?Ghkl()2?()2?()2abc面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大

晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越簡單解理

1.9指出立方晶格(111)面與(100)面，(111)面與(110)面的交線的晶向解(111)面與(100)面的交線的AB－AB平移，

???A與O重合。B點位矢RB??aj?ak

??????（111）與（100）面的交線的晶向AB??aj?ak——晶

向指數(shù)?011?

??(111)面與(110)面的交線的AB

——將AB平移，A與原點O重合，B點位矢

???RB??ai?aj

??????(111)面與(110)面的交線的晶向AB??ai?aj

――晶向指數(shù)?110?

??2.1．證明兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為??2ln2.證設想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有?r???j(?1)1111?2[????...]rijr2r3r4r前邊的因子2是由于存在著兩個相等距離ri的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為111??2[1?xx3x4??n(1?x)?x????...x34當X=1時，有1?2?3?42?...]111???...??n2????n2342.3若一晶體的相互作用能可以表示為u(r)???rm??rn求1）平衡間距r02）結(jié)合能W（單個原子的）3）體彈性模量4）若取此答案由多種版本教學資料參考整理而成，僅供參考。請勿抄襲！—By似水驕陽

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《固體物理學》部分習題解答

m?2,n?10,r0?0.3nm,W?4eV，計算?,?值。

解1）晶體內(nèi)能U(r)?N2(???rm?rn)平衡條件dUm?n?n?1dr?0?)n?mr?r0rm?1?n?1?0r0?(0r0m?2)單個原子的結(jié)合能W??12u(r0)u(r??1mn??m0)?(?)n?mrm?rn)W?r?r02?(1?n)(m?3)體彈性模量K?(?2U?V2)V0?V0晶體的體積V?NAr3——A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目

晶體內(nèi)能U(r)?N2(???rm?rn)?N2(m?n?1rm?1?rn?1)3NAr2?2UN??V2?r?2?V?r[(m?rm?1?n?rn?1)13NAr2]體彈性模量K?(?2U?V2)V0?V0?2U??N129V2[?m2?n2?m?n?V2rm?n?m?V?V0rn]00r0r00由平衡條件?UNm??V?V?V02(n?1rm?1?n?1)2?00r03NAr0m?rm?n?n0r0?2U?V2?N1m2V?V029V2[??n2?m?n]0r0r0體彈性模量K?(?2U?V2)V0?VN??0U0?2(?rm?)0rn0此答案由多種版本教學資料參考整理而成，僅供參考。請勿抄襲！—By似水驕陽-5-

《固體物理學》部分習題解答

?dsV1A1/2V11/2f???????4?????????????00331/2223/2?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV2222?2????2???????????22B點能量?B??Kx?Ky??2m???2???,所以?B/?A?2??????2maa2m???????????a???3.8．有N個一致原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比于T。

證明：在k到k?dk間的獨立振動模式對應于平面中半徑n到n?dn間圓環(huán)的面積

2

L253s?2?ndn，且2?ndn?kdk?kdk即?????d?則

2?2?2?v?23s?kBT???2d??E?0e??/kBT?12?v?2?2?E)s?T2?T33sE?2?v?2??m0??DD??????????d??kBT??kBTe??/kBT?12?3?3skT??B??2?v?2?2?xDDx2dxxe?1T?0時，E?T3,?Cv?(3.9．寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為

???q?F?U0?kBT??n??

q?kBT???q?1????q證明:量子諧振子的自由能為F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT??????????經(jīng)典極限意味著（溫度較高）kBT???g

x2應用e?1?x?x?...

所以e???qkBT???q??1?????...

kBT?kBT???q2??q?????q?1因此F?U????q??kBT?n?1?1???U0?kBT?n??

2kTkT?B??B?其中U0?U?1??q?2q1??，使用德拜模型求晶體的零點振動能。23.10．設晶體中每個振子的零點振動能為

證明:根據(jù)量子力學零點能是諧振子所固有的，與溫度無關，故T=0K時振動能E0就是各振

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《固體物理學》部分習題解答

動模零點能之和。E0???m0E0???g???d?將E0????13V??和g????23?2代入積22?vs分有E0?93V94???k?得E?NkB?D，由于???N?mBD0mm23816?vs82一股晶體德拜溫度為~10K，可見零點振動能是相當大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比較．

3.11．一維復式格子

m?5?1.67?10?24g,M?4,??1.5?101N/m(即1.51?104dyn/cm),m00A求（1），光學波?max，聲學波?max。,?min（2），相應聲子能量是多少電子伏。（3），在300k時的平均聲子數(shù)。

0（4），與?max相對應的電磁波波長在什么波段。

解（1），?Axma2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s,24M4?5?1.67?10?omax2??M?m?2?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm13?1???6.70?10s2424Mm4?5?1.67?10?5?1.67?10?Amax2?2?1.5?104dyn/cm???5.99?1013s?124m5?1.67?10A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo?16（2）??max?6.58?10?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV

o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eV（3）nAmax?1eA??max/kBT?1?0.873,nOmax?1eO??max/kBT?1?0.221

Onmin?1eO??min/kBT?1?0.276

（4）??2?c??28.1?m

狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與E?及E?相應的波函數(shù)??及??。說明它們

24.1．根據(jù)k???a都代表駐波，并比較兩個電子云分布（即?）說明能隙的來源(假設Vn=Vn*)。

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解令k???a，k????a，簡并微擾波函數(shù)為??A?k0(x)?B?k0(x)

0*??E(k)?EA?VB?0n??VnA???E0?k???E??B?0取E?E?

帶入上式，其中E??E0(k)?VnV(x)《固體物理學》部分習題解答

——類似的表示共有12項

——歸并化簡后得到面心立方s態(tài)原子能級相對應的能帶

?E(k)??s?J0skyakyakxakxakzakza

?4J1(coscos?coscos?coscos)222222對于體心立方格子

――任選取一個格點為原點

——有8個最鄰近格點——最近鄰格點的位置

a?a,,?22???a,?a,?22?a?a,,?22?aa??,?,?22a?a?2,2?a??a,?2?2?a??a,??22?aa?,2?2a?,2a,2a,2a?,2a2a?2a2a?2?a?a?a?Rs?i?j?k222?sE(k)??s?J0?J1e???ik?Rs

Rs?Nearest?e???ik?Rs

?e?a?a?a????i(kxi?kyj?kzk)?(i?j?k)222?ea?i(kx?ky?kz)2kakakakakaka?(cosx?isinx)(cosy?isiny)(cosz?isinz)222222——類似的表示共有8項

歸并化簡后得到體心立方s態(tài)原子能級相對應的能帶

?E(k)??s?J0?8J1cos(kxa/2)cos(kya/2)cos(kza/2)

s4.7．有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。

（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級對應的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達式。

00（3）假使每個原子s態(tài)只有一個電子，求等于T=0K的費米能級EF及EF處的能態(tài)密度。

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?ika?ika解：(1),E(k)??s?J0?J1(e?e)??s?J0?2J1coska?E0?2J1coska

????ik?Rs??E(k)?E?J0??J(ps)e???(2),N(E)?2?Ldk2Na1N?2???2?dE?2J1asinka?J1sinka(3),N??0kF00?2NakFNa?002?(k)?2dk?2??2kF??kF?

2??2a00EF?E(kF)?E?2J1cos?2a0?a?Es,N(EF)?N?J1sin?2a??aN?J14.8(1)證明一個自由簡單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個自由電子動能比該區(qū)一邊中點大2倍．(2)對于一個簡單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個自由電子動能比該區(qū)面心上大多少？(3)(2)的結(jié)果對于二價金屬的電導率可能會產(chǎn)生什么影響7解（1）二維簡單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢A?第一布里淵區(qū)如下圖

2??2??i,B?jaa?a??a0??a

??a

區(qū)邊中點的波矢為KA?2??????????i,角頂B點的波矢為KB???i???j.a?a??a?

自由電子能量???2Kx2?Ky?Kz2?,?2m2?22?2????2???A點能量?A?Kx??????,2m2m?a?2m?a?

2

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?2???A點能量?A????;2m?a?2222?2?2????????????2?????222B點能量?B?Kx?Ky?Kz???????????????3???,

2m2m???a??a??a???2m???a???2所以?B/?A?3

(3)假使二價金屬具有簡單立方品格結(jié)構，布里淵區(qū)如圖7—2所示．根據(jù)自由電子

?22Kx2?Ky?Kz2?，F(xiàn)erM面應為球面．由(2)可知，內(nèi)理論，自由電子的能量為???2m4?切于4點的內(nèi)切球的體積

33?????，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為?a?34????V??2??N?1.047N其中V?Na3??33?a??2??3二價金屬每個原子可以提供2個自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個電子，余下的0.953個電子可填入其它狀態(tài)中．假使布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點)．這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)．然而由(b)可知，B點的能員比A點高好多，從能量上看，這種電子排列是不利的．事實上，對于二價金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭．這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向〞其次區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面．因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導電功能．實際上，多數(shù)的二價金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構，能帶出現(xiàn)重達，所以可以導電．4.9半金屬交疊的能帶

?2k2E1(k)?E1(0)?,m1?0.18m2m1

2???E2(k)?E2(k0)?(k?k0)2,m2?0.06m2m2其中E1(0)為能帶1的帶頂，E2(k0)為能帶2的帶底E1(0)?E2(k0)?0.1eV

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由于能帶的交疊，能帶1中的部分電子轉(zhuǎn)移到能帶2中，而在能帶1中形成空穴，探討T=0K的費密能級

解半金屬的能帶1和能帶2

?2k2E1(k)?E1(0)?2m1?2??2E2(k)?E2(k0)?(k?k0)2m2能帶1的能態(tài)密度

N1(E)?2V(2?)3?dS?kE?2k?kE?m1?kE??2[E1(0)?E1(k)]/m1N1(E)?2V4?k2N1(E)?23(2?)?2[E1(0)?E1(k)]/m1N1(E)?2V?2m1??2??2????2?32V(2?)3?dS?kEE1(0)?E1(k)——同理能帶2的能態(tài)密度

N2(E)?2V?2m2??2??2????2?32E2(k)?E1(k0)假使不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個能帶

由于能帶交疊，能帶1中的電子填充到能帶2中，滿足

E1(0)0EF0EF??N1(E)dE?E2(k0)?N2(E)dE

0EFE1(0)0EF2V2m13(2)2E1(0)?E1(k)dE?2(2?)?3/21E2(k0)?2V2m23(2)2E2(k)?E2(k0)dE2(2?)?03/2EF?m[E1(0)?E1(k)]3/2E1(0)0EF?m23/2[E2(k)?E2(k0)]E2(k0)

00m1[E1(0)?EF]?m2[EF?E2(k0)]

0EF?m1E1(0)?m2E2(k0)m1?0.18m,m2?0.06mE1(0)?E2(k0)?0.1eV

m1?m20EF?E2(k0)?0.075eV

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4.12．設有二維正方晶格，晶體勢為U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???.

?a??a?????,?處的能隙．a(chǎn)a??用近自由電子近似的微擾論，近似求出布里淵區(qū)頂角??,b??,?解：以ij表示位置矢量的單位矢量，以b12表示倒易矢量的單位矢量，則有，

??Gb??2?gb????yi?,G?G1br?xi12211?g2b2,g1,g2為整數(shù)。a??晶體勢能U?x,y???4Ucos??2?x??2?y?cos???.aa?????i2??x?i2??