勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）勾股定理是一個(gè)初等幾何定理，是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一?！肮慈伤南椅濉笔枪垂啥ɡ碜罨镜墓健９垂蓴?shù)組方程a2+b2二c2的正整數(shù)組（a,b,c）。（3,4,5）就是勾股數(shù)。也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a?+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理的逆定理命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形。【證法1】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.■/RtADAH9RtAABE,.".ZHDA二ZEAB.■/ZHAD+ZHAD二90°，二ZEAB+ZHAD二90°，.ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.■/EF二FG=GH=HE二b—a,ZHEF二90°..EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b—a的正方形，它的面積等于.【證法2】（課本的證明）做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形?從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a+b，所以面積相等.即，整理得.【證法3】（1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.■/RtAEAD9RtACBE,.ZADE二ZBEC.■/ZAED+ZADE二90°，二ZAED+ZBEC二90°..ZDEC二180°—90°二90°..ADEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于?又???ZDAE二90°,ZEBC二90°，二AD〃BC..ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁粗灰?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫?wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為“總統(tǒng)?！弊C法。【證法4】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CL丄DE,交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L.VAF二AC,AB二AD,ZFAB二ZGAD,/.AFAB9AGAD,■/AFAB的面積等于，AGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，二矩形ADLM的面積二?同理可證，矩形MLEB的面積=.■/正方形ADEB的面積二矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積，即?【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)點(diǎn)C作CD丄AB，垂足是。.在厶ADC和厶ACB中，■/ZADC二ZACB二90,ZCAD二ZBAC,AAADCsAACB..■.AD：AC二AC:AB，即.同理可證，ACDBsAACB,從而有??■?,即【證法6】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.■/RtAHAE9RtAEBF,.".ZAHE二ZBEF.■/ZAEH+ZAHE二90°，二ZAEH+ZBEF二90°./.ZHEF二180°—90°二90°.???四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c2.■/RtAGDH9RtAHAE,.".ZHGD二ZEHA.■/ZHGD+ZGHD二90°，二ZEHA+ZGHD二90°.又TZGHE二90°，二ZDHA二90°+90°二180°..ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，它的面積等于.■■?■■【證法7】（利用切割線(xiàn)定理證明）在RtAABC中，設(shè)直角邊BC二a,AC二b,斜邊AB二c.如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)分別于D、E，則BD二BE二BC二a.因?yàn)閆BCA二90°，點(diǎn)C在OB上,所以AC是0B的切線(xiàn).由切割線(xiàn)定理，得二二二，即，..【證法8】（作直角三