四邊形點(diǎn)問題三上1．如圖，四邊ABCD中，AD∥BCAD=15，BC=25AB=DC=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿線段DA的方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線CB的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△APQ的面積；（2）若四邊形ABQP為平行四邊形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、PQ三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？分析A作AE⊥BC于E先求出等腰梯形的高AE當(dāng)t=2時(shí)可求出AP的長(zhǎng)進(jìn)而可求出△APQ的面積．（2）如果四邊形為平行四邊形則可得出AP=BQ，從而可列出關(guān)于t的方程，解即可得出t的值．（3）將AP、AQ、PQ分別用t示出來(lái)，然后討論，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分別解出的值即可得出答案．解答：解）過A作AE⊥BC于E，∵AB=DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25∴BE=（BC﹣AD）=5，在RT△ABE中，AE=當(dāng)t=2時(shí)，AP=AD﹣t=13，∴△APQ的面積=AP×AE=．（2）∵四邊形ABQP為平行四邊形，∴AP=BQ，即AD﹣t=BC﹣2t，∴15﹣t=25﹣2t，解得：t=10秒．（3）由題意可知：AP=15﹣t，

=5，AQ=

；PQ=①當(dāng)AP=AQ時(shí)，t不存在；②當(dāng)AP=PQ時(shí)，t=；

；③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，t=15（舍去=12

；1

綜上可知當(dāng)當(dāng)t=

或t=

時(shí)，以A、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．點(diǎn)評(píng)本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，也結(jié)合了一元二次方程的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，在解答此類動(dòng)點(diǎn)型題目時(shí)，要注意利用時(shí)t表示出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)線段的幾何關(guān)系列出等式．2.如圖，eq\o\ac(△,在)中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O直線BC.設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠的外角平分線于點(diǎn)F連接AEAF那么當(dāng)點(diǎn)O動(dòng)到何下時(shí)四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論。AM

NC【答案】當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或）時(shí)，四邊形AECF是矩形………………2分證明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=2，………………3分又∵M(jìn)N∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.………………5分同理，F(xiàn)O=CO………………6分∴EO=FO又OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形………………分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分∴四邊形AECF是矩形………………分2

3．如圖1，l，l，l，一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，正方形ABCD1234的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D都在這些平行線上．過點(diǎn)A作AF⊥l點(diǎn)F，交l點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CE⊥l322于點(diǎn)E，交l點(diǎn)G．（1）求證：eq\o\ac(△,3)≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面積；（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h，，h，試用h，h，12312h示正方形ABCD的面積S．3考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；正方形的性質(zhì)。解答：證明）在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S=4S+S正方形ABCD△ABH

正方HEGF=4××2×1+1×1=5；（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h=h，3由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌eq\o\ac(△,1)，∴S=4S+S正方形ABCD△ABH

正方HEGF=4×（h+h）?h+h2=2h2+2hh+h2．121211224、已知，矩形中，AB=4cm，，AC垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、，垂足為O．（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形為菱形，并求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分從A、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C止．在運(yùn)動(dòng)過程中，①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，A、CP、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為ab（單位：cm，ab≠0知A、、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．3

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)。專題：幾何綜合題；動(dòng)點(diǎn)型。分析）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)；（2）①分情況討論可知，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；②分三種情況討論可知a與b足的數(shù)量關(guān)系式．解答）證明：①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四邊形AFCE為平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形，②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得4

2

+（8﹣x）2

=x

2

，解得x=5，∴AF=5cm．（2）①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，，∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣，解得，∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

秒．②由題意得，以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上．分三種情況：i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ，即a=12﹣b，得a+b=12；ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，AQ=CP，即12﹣b=a，得a+b=12iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ，即12﹣a=b，得a+b=12綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是（ab≠04

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判與性質(zhì)，注意分類思想的應(yīng)用．5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，，DC=10，AB=，∠B=45°．動(dòng)點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC的長(zhǎng)．（2）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值．（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNC等腰三角形．分析）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求解；（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；（3）因?yàn)槿呏?，每?jī)蓷l邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．解答：解）如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BCH，則四邊形是矩形．∴KH=AD=6．在Rt△ABK中，AK=AB?sin45°=8在Rt△CDH中，由勾股定理得，

?=8，BK=AB?cos45°=8=6．

?=8．∴BC=BK+KH+HC=8+6+6=20．（2）如圖②，過D作DG∥ABBC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB是平行四邊形．∵M(jìn)N∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=6．∴GC=20﹣6=14．由題意知，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，，CM=20﹣2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴CN：：CG，即=．解得，t=．（3）分三種情況討論：①當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖③，即t=202t，∴t=．②當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖④，過NNE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得EC=MC=（20﹣2t）=10﹣t．在Rt△CEN中，cosC=EC：（10﹣t，又在Rt△DHC中，cosC=CH：CD=35，∴（10﹣t：5．解得t=5

．

解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，∴△NEC∽△DHC．∴NC：：HC即=．∴t=．③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖⑤，過MMF⊥CN于F點(diǎn)．FC=NC=t．解法一方法同②中解法一）cosC=FC：MC=t﹣2t）=，解得t=．解法二：∵∠C=∠C，