內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市克什克騰旗土城子鎮(zhèn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知雙曲線中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其圖像過(guò)點(diǎn)（1，2）且離心率為，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為A．

B．3

C．2

D．6參考答案：C3.設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的A、充分而不必要條件

B、必要而不充分條件

C、充分必要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：C略4.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組

則目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值的積為A．

B．

C．

D．參考答案：A5.我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤參考答案：D【分析】直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊恳怀叩闹亓繕?gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為．即金錘共重15斤，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，意在考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知直線⊥平面α，直線平面β，給出下列命題：①α∥βl⊥m

②α⊥βl∥m

③l∥mα⊥β

④l⊥mα∥β其中正確命題的序號(hào)是

（

）A.①②③

B.②③④

C.①③

D.②④參考答案：C略7.已知和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m=（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B8.設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)的最大值為，若，則整數(shù)n的值為（

）A.-2 B.-1 C.0 D.1參考答案：C【分析】先對(duì)f（x）求導(dǎo)，得，令再求導(dǎo)得單調(diào)性，進(jìn)而求出f（x）極值點(diǎn)最大值的范圍.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得=0的根，設(shè)，得，=0的根，所以當(dāng)x<-2時(shí)，<0,當(dāng)x>-2時(shí)，>0,

所以在遞減，在遞增.所以在x=-2處取得最小值，所以,時(shí)，，且，所以在上遞減，在上遞增.，.所以（-2,-1）使得；（0,1）使得，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減.

所以x=為極大值點(diǎn)，x=為極小值點(diǎn).的極值點(diǎn)的最大值為，若，所以，整數(shù)n=0.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的范圍，屬于中檔題.9.已知集合，則(

)A．(1,3)

B．(1,3]

C．[－1,2)

D．(－1,2)參考答案：C10.若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：①；②，③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

（

）

A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：B畫(huà)圖可知選B.①x2﹣y2=1是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②=，在x=

和x=﹣

處的切線都是y=﹣，故②有自公切線．③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．故答案為B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2015?泰州一模）袋子里有兩個(gè)不同的紅球和兩個(gè)不同的白球，從中任取兩個(gè)球，則這兩個(gè)球顏色相同的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】：排列組合．【分析】：從中任取兩個(gè)球共有紅1紅2，紅1白1，紅1白2，紅2白1，紅2白2，白1白2，共6種取法，其中顏色相同只有2種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可解：從中任取兩個(gè)球共有紅1紅2，紅1白1，紅1白2，紅2白1，紅2白2，白1白2，共6種取法，其中顏色相同只有2種，故從中任取兩個(gè)球，則這兩個(gè)球顏色相同的概率P==；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了古典概型概率的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題12.已知銳角A，B滿足tan(A＋B)＝2tanA，則tanB的最大值是

▲

．參考答案：13.存在實(shí)數(shù)x，使，則a的取值范圍是_________參考答案：略14.已知銳角△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于鈍角△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，其中，若，則的最大值為

.

參考答案：15.如圖，BD是半圓O的直徑，A在BD的延長(zhǎng)線上，AC與半圓相切于點(diǎn)E，AC⊥BC，若，AE=6，則EC=

．

參考答案：3考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：計(jì)算題．分析：連結(jié)OE，由切線的性質(zhì)定理得到OE⊥AC，從而可得OE∥BC．根據(jù)切割線定理得AE2=AD?AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例線段加以計(jì)算得到AC長(zhǎng)，從而可得EC的長(zhǎng)．解答： 解：連結(jié)OE，∵AC與半圓相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割線定理，得AE2=AD?AB，即36=，解得AB=，因此，半圓的直徑BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案為：3點(diǎn)評(píng)：本題給出半圓滿足的條件，求線段EC之長(zhǎng)．著重考查了切線的性質(zhì)定理、切割線定理與相似三角形等知識(shí)，屬于中檔題．16.某大學(xué)對(duì)1000名學(xué)生的自主招生水平測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖(如圖)，則這1000名學(xué)生在該次自主招生水平測(cè)試中不低于分的學(xué)生數(shù)是

．參考答案：60017.設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為1，則的最小值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分14分）如圖傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；（2）若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明為定值，并求此定值．參考答案：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，從而．因此焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，又準(zhǔn)線方程的一般式為．從而所求準(zhǔn)線的方程為．（2）解法一：如圖作，，垂足分別為，則由拋物線的定義知，．記的橫坐標(biāo)分別為，，則，解得．類似地有，解得．記直線與的交點(diǎn)為，則．所以．故．解法二：設(shè)，，直線的斜率為，則直線方程為．將此式代入得，故．記直線與的交點(diǎn)為，則，，故直線的方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故．從而為定值．19.已知F1，F(xiàn)2為橢圓：的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓的外部，試求k的取值范圍．參考答案：（1）（2）【分析】（1）由橢圓的定義及點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程可求得a、b，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，代入得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可得k的取值范圍。【詳解】解：（1）由題可知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，由，得，由韋達(dá)定理得：，，由得或.又因?yàn)樵c(diǎn)在線段為直徑的圓外部，則，，即，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為20.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=，圓C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)，r＞0）（Ⅰ）求圓心C的極坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)r為何值時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3．參考答案：考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題．分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的普通方程，得出圓心的直角坐標(biāo)后再化面極坐標(biāo)即可．（2）由點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值，最后列出關(guān)于r的方程即可求出r值．解答： 解：（1）由ρsin（θ+）=，得

ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直線l：x+y﹣1=0．由得C：圓心（﹣，﹣）．∴圓心C的極坐標(biāo)（1，）．（2）在圓C：的圓心到直線l的距離為：∵圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3，∴．r=2﹣∴當(dāng)r=2﹣時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為3．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線距離公式、三角變換等內(nèi)容．21.(本小題滿分12分)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．(1)求證：AB1⊥平面A1BD；(2)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD∥平面ABC時(shí)，求的值．參考答案：(1)取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，B1M，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，ABC為正三角形，所以AM⊥BC，22.（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)的最小值和函數(shù)的最小值都是函數(shù)R的零點(diǎn).（1）用含的式子表示，并求出的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：（1），；（2）最大值為，最小值為.試題分析：（1）先求函數(shù)和的最小值，再利用函數(shù)的零點(diǎn)即可得用含的式子表示，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程的根的分布情況即可得的取值范圍；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.試題解析：（1）解：由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.

…1分，當(dāng)時(shí)，.………2分∵，∴，.由于，結(jié)合題意，可知，方程的兩根是，，

………3分故，.

………4分∴.∴.

………5分而方程的一個(gè)根在區(qū)間上，另一個(gè)根在區(qū)間上.令，則

………6分即解得

………7分∴.

………8分∴，.求的取值范圍的其它解法：另法1：由，得，

………6分∵，∴．………７分∵，∴．………8分另法2：設(shè)，，

則，………6分故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．∴．………７分∴．