波利亞的《怎樣解題》美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（GeorgePolya,1887-1985）先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。正因?yàn)槿绱?，?dāng)波利亞93歲高齡時(shí)，還被國際數(shù)學(xué)教育大會聘為名譽(yù)主席。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。”他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？……”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程。實(shí)際上是他解決研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時(shí)的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們在解題時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了。現(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識重要得多的東西。波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書”。波利亞強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是指發(fā)現(xiàn)解法，而且也包括數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。他把闡述自己“對解題的理解、研究和講授”的書取名為《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，我想大概就是這個(gè)原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)大師歐拉發(fā)現(xiàn)凸多面體的歐拉公式（頂點(diǎn)數(shù)—棱數(shù)+面數(shù)=2）的全過程，生動地再現(xiàn)了歐拉如何一步一步地進(jìn)行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)，照原樣提供給我們。展示教學(xué)家創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的思維活動過程，自然而生動地顯示歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，這在教科書和一般的數(shù)學(xué)著作中是極少見到的，而這對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學(xué)習(xí)證明，而且要學(xué)習(xí)猜想。也就是不僅要培養(yǎng)和提高解題能力，而且要學(xué)習(xí)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力。波利亞解題表一、弄清題意1)已知是什么?2)未知是什么?3)題目要求你干什么?4)可否畫一個(gè)圖形?5)可否數(shù)學(xué)化?二、擬定方案(核心)1)

你能否一眼看出結(jié)果?2)

是否見過形式上稍有不同的題目?3)

你是否知道與此有關(guān)的題目,是否知道用得上的定義,定理,公式?4)

有一個(gè)與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目,你能利用它嗎?5)

已知條件A,B,C……可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個(gè)等式或不等式?6)

你能否引入輔助元素?7)如果你不能解這個(gè)題,可先解一個(gè)有關(guān)的題,你能否想出一個(gè)較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?三、執(zhí)行方案1)把你想好的解題過程具體地用術(shù)語,符號,圖形,式子表述出來.2)修正解題方向以及原來擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨?3)

解題要求是:嚴(yán)密具有邏輯性.四、檢驗(yàn)回顧1)

你能擬定其它解題方案嗎?2)

你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎?你能用它的方法嗎?3)

你能找到什么方法檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎? 附錄：波利亞教我們怎樣解題北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系王敬庚每個(gè)同學(xué)差不多都有過這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“老師是怎么想出這個(gè)解法的？”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢？”美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（GeorgePolya,1887-1985）對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。這些書被譯成很多國家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。正因?yàn)槿绱耍?dāng)波利亞93歲高齡時(shí)，還被國際數(shù)學(xué)教育大會聘為名譽(yù)主席。波利亞1887年出生在匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語和定理。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，不愧為一位杰出的數(shù)學(xué)家。波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學(xué)生的解題能力。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃”。他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？……”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程。實(shí)際上是他解決研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時(shí)的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們在解題時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到罷了?，F(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識重要得多的東西。波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊以上。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關(guān)于怎樣解題的思想對于廣大中學(xué)生同樣也是非常需要的和有益的。波利亞強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是指發(fā)現(xiàn)解法，而且也包括數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。他把闡述自己“對解題的理解、研究和講授”的書取名為《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，我想大概就是這個(gè)原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)大師歐拉發(fā)現(xiàn)凸多面體的歐拉公式（頂點(diǎn)數(shù)—棱數(shù)+面數(shù)=2）的全過程，生動地再現(xiàn)了歐拉如何一步一步地進(jìn)行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)，照原樣提供給我們。展示教學(xué)家創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的思維活動過，自然而生動地顯示歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，這在教科書和一般的數(shù)學(xué)著作中是極少見到的，而這對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學(xué)習(xí)