第8章采樣控制系統(tǒng)分析8.1采樣控制系統(tǒng)的基本概念8.2采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)8.3采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)8.4采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析8.5采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.7MATLAB用于采樣系統(tǒng)分析結(jié)18.1采樣控制系統(tǒng)的基本概念8.1.1采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)8.1.2采樣過程與采樣定理8.1.3采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)28.1.1采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)在離散系統(tǒng)中，至少有一處或幾處的信號(hào)是時(shí)間ｔ的離散函數(shù)，稱其為離散信號(hào)。離散信號(hào)可通過采樣開關(guān)按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣而得到，此時(shí)，又稱為采樣信號(hào)，相應(yīng)的控制系統(tǒng)亦稱為采樣控制系統(tǒng)。采樣控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)如圖所示。3離散系統(tǒng)中，采樣開關(guān)的作用如圖所示。采樣開關(guān)每隔時(shí)間Ｔ閉合一次，Ｔ稱為采樣周期。采樣開關(guān)每次閉合的時(shí)間為τ，一般，τ<<Ｔ。4

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的連續(xù)誤差信號(hào)通過Ａ／Ｄ轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成數(shù)字量，經(jīng)計(jì)算機(jī)處理后，再經(jīng)Ｄ／Ａ轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模擬量，然后對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制。這里，若將Ａ／Ｄ和Ｄ／Ａ轉(zhuǎn)換器的比例系數(shù)合并到系統(tǒng)的其他系數(shù)中去，則Ａ／Ｄ轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開關(guān)，Ｄ／Ａ轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。在系統(tǒng)中，如果用計(jì)算機(jī)來代替脈沖控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)偏差信號(hào)的處理，就構(gòu)成了數(shù)字控制系統(tǒng)，也稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。它是采樣控制系統(tǒng)的另一種形式。58.1.2采樣過程與采樣定理１.采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過采樣后變成了一脈沖序列。采樣過程實(shí)際上可視為理想脈沖序列δＴ(t)對(duì)e(t)

幅值的調(diào)制過程。采樣開關(guān)相當(dāng)于一個(gè)載波為δＴ(t)

的幅值調(diào)制器，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:采樣函數(shù)可通過下式求得6在實(shí)際控制系統(tǒng)中，當(dāng)t<0

時(shí)，e(t)=0,所以有考慮到離散信號(hào)僅在采樣時(shí)刻有效，故采樣函數(shù)可表示為：7理想采樣過程8２.采樣定理連續(xù)信號(hào)e(t)經(jīng)過采樣后，變成一個(gè)脈沖序列e*(t),由于脈沖序列只含有采樣點(diǎn)上的信息,

而丟失了各采樣時(shí)刻之間的信息。為了使離散信號(hào)e*(t)

不失真地復(fù)現(xiàn)原信號(hào)e(t)

，必須考慮采樣角頻率ωｓ與e(t)中含有的最高次諧波角頻率ωmax之間的關(guān)系。通過對(duì)e(t)

與e*(t)

的頻譜分析可知，為了復(fù)現(xiàn)原信號(hào)e(t)

的全部信息，要求采樣角頻率ωｓ必須滿足如下關(guān)系:這就是采樣定理，又稱香農(nóng)（shannon）定理，它指明了復(fù)現(xiàn)原信號(hào)所必須的最低采樣頻率。98.1.3采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)

信號(hào)的復(fù)現(xiàn)——為了實(shí)現(xiàn)對(duì)受控對(duì)象的有效控制，把采樣信號(hào)恢復(fù)成相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。

保持器——將采樣信號(hào)準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)為原來的連續(xù)信號(hào)的裝置。在采樣控制系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單、應(yīng)用最廣泛的是零階保持器。

零階保持器采用恒值外推原理，它把前一采樣時(shí)刻的采樣值一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻，從而使采樣信號(hào)變?yōu)殡A梯信號(hào)，在kT≤t≤(k+1)T期間，。

10零階保持器的傳遞函數(shù)

零階保持器的脈沖響應(yīng)為：即：118.2采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)8.2.1ｚ變換的定義8.2.2求ｚ變換的方法8.2.3ｚ變換的基本定理8.2.4ｚ反變換8.2.5差分方程及其求解128.2.1ｚ變換的定義對(duì)離散函數(shù)求拉氏變換:其中為超越函數(shù)，引入新變量則有

稱為的z變換，并記作138.2.2求ｚ變換的方法１.級(jí)數(shù)求和法２.部分分式展開法根據(jù)定義式展開，即將F(s)展開成部分分式之和的形式，然后對(duì)各個(gè)分式求z變換，其和即為F(z)。14

例8-4

已知求原函數(shù)f(t)的Z變換式F(z)。解

其中

158.2.3ｚ變換的基本定理１.線性定理2．滯后定理3.超前定理4.位移定理5.初值定理6.終值定理168.2.4Z反變換由Z變換函數(shù)求其相應(yīng)的離散函數(shù)，稱為Z反變換，記為：Z反變換只能求出離散函數(shù)，而不能求出連續(xù)函數(shù)

1．長除法

將F(z)按升冪級(jí)數(shù)展開為：對(duì)照z變換的定義式，可知得采樣后的離散信號(hào)：17２.部分分式法３.留數(shù)法用部分分式法求ｚ反變換與求拉氏反變換的思路類同。由于Ｆ（ｚ）的分子中通常含有變量ｚ，為了方便求ｚ反變換，通常先將Ｆ（ｚ）除以ｚ，然后將Ｆ（ｚ）／ｚ展開為部分分式，再把展開式的每一項(xiàng)都乘上ｚ后，分別求ｚ反變換并求和。和拉氏反變換相似，可以用留數(shù)法求ｚ反變換18

例

求z反變換。用直接除法將化成級(jí)數(shù)形式：即用長除法只能求得有限項(xiàng)值。解1(長除法）:19解2(部分分式法）:即用部分分式法能求得任意采樣時(shí)刻的值208.2.5差分方程及其求解１.差分的定義離散函數(shù)兩數(shù)之差為差分。差分又分為前向差分和后向差分，如圖。２.差分方程如果方程中除了含有f(k)以外，還有f(k)的差分，則此方程稱為差分方程。一般系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為21３.用ｚ變換解差分方程用ｚ變換求解差分方程與用拉氏變換求解微分方程類似。例8-16

用z變換求差分方程。初始條件：解2）求z反變換，得：考慮初始條件后，有：1）求差分方程的z變換，得：228.3脈沖傳遞函數(shù)8.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義8.3.2開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)8.3.3閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)238.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)——零初始條件下，離散系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出量的Z變換與輸入量的Z變換之比，即由于在實(shí)際的采樣系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，常在輸出端假設(shè)一個(gè)同步采樣開關(guān)。248.3.2開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)１.串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)25２.串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)

如：26３.帶零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)其中：278.3.3閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

1）常見結(jié)構(gòu)采樣系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為：28２）對(duì)于不設(shè)置采樣開關(guān)來對(duì)誤差信號(hào)e(t)進(jìn)行采樣的系統(tǒng)，只能求出其輸出的象函數(shù)C(z)，而無法求得系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。29例8-21

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)例8-22

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，求系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。30

8.4采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析8.4.1采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析8.4.2閉環(huán)極點(diǎn)的位置與動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系318.4.1采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方法:⑴已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)----求出對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù);⑵求出輸出量的Z變換C(z)（輸入給定)---求輸出c(KT);⑶畫出曲線C(KT)----分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性.32設(shè):系統(tǒng)輸出的離散信號(hào):338.4.2閉環(huán)極點(diǎn)的位置與動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系采樣控制系統(tǒng)的性能分析類似于連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出特性主要由閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)來確定，下面主要討論在單位階躍信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出特性和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)為z1,z2,z3,……zn，在單位階躍輸入時(shí)，輸出的ｚ變換為34用部分分式法，可得：對(duì)上式取反變換，求得輸出響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)項(xiàng)暫態(tài)項(xiàng)35１.閉環(huán)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)極點(diǎn)２.閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)368.5采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.5.1ｚ平面內(nèi)的穩(wěn)定條件8.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)378.5.1ｚ平面內(nèi)的穩(wěn)定條件在單位階躍輸入下，采樣系統(tǒng)的閉環(huán)輸出可表示為如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則當(dāng)ｔ趨于無窮大時(shí)（相當(dāng)于ｋ趨于無窮大），系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)分量趨于零，即采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是——閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于Z平面以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，即38由ｚ平面和ｓ平面的關(guān)系也可得穩(wěn)定條件其中，ｓ是復(fù)變量，即z變量和ｓ變量的關(guān)系s平面和z平面有著如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

穩(wěn)定在z平面內(nèi)在s平面內(nèi)穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定398.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)在采樣系統(tǒng)中，由于穩(wěn)定的邊界是單位圓而不是虛軸，所以不能直接引用勞斯判據(jù)，必須進(jìn)行雙線性變換：則設(shè)則當(dāng)在Z平面單位圓內(nèi)時(shí)有在W平面則有——實(shí)部為負(fù)，左平面

40例8-25

已知采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解將代入特征方程整理得列勞斯表：第一列元素的符號(hào)變化了二次，表示方程有二個(gè)根在右半平面，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。418.6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差428.6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析單位反饋采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示:由終值定理可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。