專題15導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)與放縮的應(yīng)用同構(gòu)法是將不同的代數(shù)式(或不等式、方程)通過變形，轉(zhuǎn)化為形式結(jié)構(gòu)相同或者相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉(zhuǎn)化的方法，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．此方法常用于求解具有對數(shù)、指數(shù)等混合式子結(jié)構(gòu)的等式或不等式問題．當(dāng)然，用同構(gòu)法解題，除了要有同構(gòu)法的思想意識(shí)外，對觀察能力，對代數(shù)式的變形能力的要求也是比較高的，考點(diǎn)一部分同構(gòu)攜手放縮法（同構(gòu)放縮需有方，切放同構(gòu)一起上）【方法總結(jié)】在學(xué)習(xí)指對數(shù)的運(yùn)算時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：(1)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，有，(2)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算法則，可以得到下述結(jié)論(其中x＞0)(“ex”三兄弟與“l(fā)nx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再結(jié)合常用的切線不等式：，，，等，可以得到更多的結(jié)論(7)，．，．(8)，，(9)，，【例題選講】[例1](1)已知，則函數(shù)的最大值為________．答案－2解析．(當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＋1＝0取等號(hào))．(2)函數(shù)的最小值是________．答案1解析(當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0取等號(hào))．(3)函數(shù)的最小值是________．答案1解析(當(dāng)且僅當(dāng)x＋2lnx＝0取等號(hào))．[例2](1)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是________．答案1解析，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0等號(hào)成立．(2)不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．答案解析，當(dāng)x＋lnx＋1≤0時(shí)，原不等式恒成立，當(dāng)x＋lnx＋1＞0時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝1等號(hào)成立，所以，故．(3)不等式恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是________．答案解析．(4)已知函數(shù)，其中b＞0，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是________．答案解析，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＋blnx＝0等號(hào)成立，所以．(5)已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，則，所以．(6)已知不等式，對任意的正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案解析，由于ex≥ex，lnex≤x，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，所以，則，所以．(7)已知不等式，對任意的正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析，當(dāng)且僅當(dāng)－ax＋lnx＝0，即時(shí)等號(hào)成立，由有解，易得．(8)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析，令，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，令，在(－∞，1)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增．，．[例3](2020屆太原二模)已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析(1)定義域是，，①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在定義域上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，解得．(2)要使恒成立，只要恒成立，只要恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【對點(diǎn)精練】1．函數(shù)的最小值為________．1．答案解析，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0等號(hào)成立．2．函數(shù)的最小值為________．2．答案1解析，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0等號(hào)成立．3．函數(shù)的最大值是________．3．答案0解析(當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝0取等號(hào))．4．已知不等式，對任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．4．答案解析，由于，所以．5．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．5．答案解析，當(dāng)x＋lnx＋1≤0時(shí)，原不等式恒成立，當(dāng)x＋lnx＋1＞0時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x＋lnx＝1等號(hào)成立，所以，故．6．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．6．答案解析，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立，則，所以．7．已知a，b分別滿足，則ab＝________．7．答案e3解析同構(gòu)化處理，并利用函數(shù)的單調(diào)性．，，令，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即，即，則ab＝e3．8．已知x0是函數(shù)的零點(diǎn)，則________．8．答案2解析，所以，即，或，則．考點(diǎn)二整體同構(gòu)攜手脫衣法【方法總結(jié)】在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的同一個(gè)函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度，找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們就稱為整體同構(gòu)法．如，若F(x)≥0能等價(jià)變形為f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x)，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式（等號(hào)成立時(shí)，稱為同構(gòu)方程），簡稱同構(gòu)法．1．地位同等同構(gòu)（主要針對雙變量，合二為一泰山移）(1)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx為增函數(shù)；(2)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<eq\f(k,x1x2)(x1<x2)f(x1)－f(x2)>eq\f(k(x1－x2),x1x2)＝eq\f(k,x2)－eq\f(k,x1)f(x1)＋eq\f(k,x1)>f(x2)＋eq\f(k,x2)y＝f(x)＋eq\f(k,x)為減函數(shù)；含有地位同等的兩個(gè)變x1，x2或p，q等的不等式，進(jìn)行“塵化塵，土化土”式的整理，是一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大?。?．指對跨階同構(gòu)（主要針對單變量，左同右同取對數(shù)）(1)積型：如，，后面的轉(zhuǎn)化同(1)說明；在對“積型”進(jìn)行同構(gòu)時(shí)，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知．(2)商型：(3)和差：如；．3．無中生有同構(gòu)（主要針對非上型，湊好形式是關(guān)鍵）(1)；(2)；(3)．【例題選講】[例4](1)若，則A．B．C．D．解析設(shè)，則，故在上有一個(gè)極值點(diǎn)，即在上不是單調(diào)函數(shù)，無法判斷與的大小，故A、B錯(cuò)；構(gòu)造函數(shù)，，故在上單調(diào)遞減，所以，選C．(2)若，都有成立，則a的最大值為()A．B．1C．eD．2e解析，即，令，則在上為增函數(shù)，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，的最大值為1，選B．(3)已知，在區(qū)間內(nèi)任取兩實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析①當(dāng)p>q時(shí)，即，令，則，在遞減，即，在遞減，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②當(dāng)p<q時(shí)，同理可得出，綜上所述[例5]對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個(gè)同構(gòu)函數(shù)(1)解析，．(2)解析，．(3)解析(4)解析，．(5)解析，．[例6](1)已知不等式，對任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案解析(三種模式，只要寫一種)，由(3)得，，即，由導(dǎo)數(shù)法可得，從而所以．(2)已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．B．C．D．解析(同構(gòu))，令，由，且，知在為減函數(shù)，所以．故選C．(3)對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析(積型同構(gòu)取對數(shù))，令，則為增函數(shù)，由，得，即恒成立，令，則，易得，所以實(shí)數(shù)a的最小值為．(4)已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．解析(和差型同構(gòu))，令，顯然為增函數(shù)，則原命題等價(jià)于，由于，所以，即得．(5)對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．解析(積型同構(gòu))，令，則，，易知在上遞減，在上遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，由導(dǎo)數(shù)法易證，所以．(6)已知不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A．B．C．D．解析，令，則，易知在上遞減，在上遞增，所以，，．根據(jù)選項(xiàng)只討論a＜0的情況，當(dāng)a＜0時(shí)，，，．令，則，所以在上遞增，在上遞減，則，即，故選C．[例7]已知函數(shù).(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)若，證明：．解析(1)，令，，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減．(2)要證，即證：即證：即證：，令，即證：，由(1)，在上單調(diào)遞減，即證：．令，，在上單調(diào)遞增，，，即．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．解析(1)當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)＝ex－lnx＋1，∴f′(x)＝ex－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝e－1．∵f(1)＝e＋1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1＋e)，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，∴切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,e－1)，0))，∴所求三角形面積為eq\f(1,2)×2×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2,e－1)))＝eq\f(2,e－1)．(2)解法一：∵f(x)＝aex－1－lnx＋lna，∴f′(x)＝aex－1－eq\f(1,x)，且a>0．設(shè)g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝aex－1＋eq\f(1,x2)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，即f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a＝1時(shí)，f′(1)＝0，則f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(1,a)<1，∴<1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))f′(1)＝，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－eq\f(1,x0)＝0，且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)f′(x)<0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)f′(x)>0，∴aex0－1＝eq\f(1,x0)，∴l(xiāng)na＋x0－1＝－lnx0，因此f(x)min＝f(x0)＝aex0－1－lnx0＋lna＝eq\f(1,x0)＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2eq\r(\f(1,x0)·x0)＝2lna＋1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．綜上所述，a的取值范圍是[1，＋∞)．解法二：f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等價(jià)于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx，令g(x)＝ex＋x，上述不等式等價(jià)于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，顯然g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴又等價(jià)于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令h(x)＝lnx－x＋1，則h′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，在(0，1)上h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，∴h(x)max＝h(1)＝0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范圍是[1，＋∞)．【對點(diǎn)精練】1．已知函數(shù)，若對任意正數(shù)x1，x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．1．答案m≥0解析由得，，令，，在單調(diào)遞增，又，，在上恒成立，即，令，則，在單調(diào)遞減，(但取不到)．m≥0．2．已知函數(shù)，，當(dāng)x2＞x1時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．B．C．D．2．答案D解析由，得，令，則在上單調(diào)遞增，又，在上恒成立，即，令，則，令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，選D．3．對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個(gè)同構(gòu)函數(shù)．3．答案解析4．對方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個(gè)同構(gòu)函數(shù)．4．答案解析．5．對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的一個(gè)同構(gòu)函數(shù)．5．答案解析6．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為________．6．答案解析，令，易知在上遞增，所以，，．令，則，所以在上遞增，在上遞減，則，即．7．已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．7．答案解析，，令，顯然為增函數(shù)，則原命題等價(jià)于，令，則，所以在上遞減，在上遞增，則，所以，