學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2講概率及其與統(tǒng)計(jì)的交匯問(wèn)題高考定位1。以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用,同時(shí)滲透互斥事件、對(duì)立事件;2。概率常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合在一起命題,主要以解答題形式呈現(xiàn)，中檔難度。真題感悟1。(2016·全國(guó)Ⅱ卷）某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(）A.eq\f(7,10) B.eq\f(5，8)C。eq\f（3,8） D。eq\f（3，10)解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f（40－15,40）＝eq\f（5，8）.答案B2。（2016·全國(guó)Ⅰ卷)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（)A.eq\f(1,3） B.eq\f（1,2）C.eq\f（2，3） D.eq\f（5,6）解析從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白-黃紫、紅紫—白黃、黃白-紅紫、黃紫—紅白、白紫-紅黃,共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白-黃紫、黃紫-紅白、白紫—紅黃，共4種。故所求概率為P＝eq\f(4,6）＝eq\f(2,3)。答案C3。(2017·全國(guó)Ⅱ卷）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（)A。eq\f(1，10) B。eq\f(1，5)C。eq\f（3,10） D。eq\f（2，5)解析如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù)123451(1，1）（1,2)（1，3）(1,4)(1，5）2（2，1）(2,2）(2，3)(2，4）（2，5)3(3，1)(3，2）(3,3）（3，4）（3，5)4(4，1）（4，2)（4，3）（4，4）(4，5)5（5，1）(5,2)（5，3)（5,4）(5，5)總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種，所以所求概率為eq\f(10，25)＝eq\f（2,5).答案D4.（2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1，4) B.eq\f(π,8）C.eq\f(1，2) D.eq\f（π,4)解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則面積S正方形＝4。又正方形內(nèi)切圓的面積S＝π×12＝π.所以根據(jù)對(duì)稱性,黑色部分的面積S黑＝eq\f(π，2)。由幾何概型的概率公式,概率P＝eq\f（S黑，S正方形）＝eq\f（π，8）。答案B考點(diǎn)整合1。古典概型的概率（1)公式P（A）＝eq\f（m,n）＝eq\f（A中所含的基本事件數(shù)，基本事件總數(shù)).(2）古典概型的兩個(gè)特點(diǎn):所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。2。幾何概型的概率（1)P（A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積)，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積)）。（2）幾何概型應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件）有無(wú)限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。3。概率的性質(zhì)及互斥事件的概率（1)概率的取值范圍:0≤P(A）≤1.（2）必然事件的概率：P（A)＝1。（3)不可能事件的概率：P（A)＝0.（4）若A，B互斥,則P（A∪B)＝P(A）＋P(B）,特別地P(A)＋P(eq\o(A，\s\up15（－,）））＝1.熱點(diǎn)一幾何概型【例1】（1）(2016·全國(guó)Ⅰ卷)某公司的班車在7:30，8:00，8：30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是（)A。eq\f(1，3) B.eq\f（1，2）C。eq\f(2，3) D.eq\f(3,4）（2）（2017·日照質(zhì)檢）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f（1,2)x＋1,x＜0))的圖象上。若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（)A。eq\f（1，6) B.eq\f（1，4)C。eq\f（3,8) D。eq\f（1，2)解析(1）如圖所示,畫出時(shí)間軸:小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40）＝eq\f(1,2）.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，B（1，0）且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直線y＝x＋1和y＝－eq\f(1，2)x＋1上，所以C(1,2),D（－2，2），E(0，1),則A(－2,0）.因此S矩形ABCD＝6，S陰影＝eq\f(1，2）×1·|CD｜＝eq\f(3，2）。由幾何概型,所求事件的概率P＝eq\f（\f（3，2），6）＝eq\f(1，4).答案（1）B（2）B探究提高1。幾何概型適用條件：當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解。2。求解關(guān)鍵:尋找構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。易錯(cuò)警示在計(jì)算幾何概型時(shí),對(duì)應(yīng)的是區(qū)間、區(qū)域還是幾何體,一定要區(qū)分開(kāi)來(lái)，否則結(jié)論不正確.【訓(xùn)練1】(1）（2017·榆林二模)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（ex，0≤x<1，,lnx＋e,1≤x≤e））在區(qū)間[0,e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是（)A。eq\f（1，e） B。1－eq\f(1,e）C.eq\f(e，1＋e） D.eq\f（1，1＋e)(2)（2016·全國(guó)Ⅱ卷)從區(qū)間［0，1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1,y2,…，yn,構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1，y1)，（x2,y2）,…，（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè),則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(）A。eq\f(4n，m) B。eq\f(2n,m)C.eq\f(4m，n） D。eq\f(2m,n）解析(1）當(dāng)0≤x〈1時(shí)，恒有f(x)＝ex〈e，不滿足題意.當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）＝lnx＋e。由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率P＝eq\f(e－1,e）＝1－eq\f(1，e).(2）如圖，數(shù)對(duì)（xi，yi）（i＝1，2,…，n）表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界），兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分）內(nèi).由幾何概型的概率公式可得eq\f(m,n)＝eq\f（\f（1，4）π，12),故π＝eq\f(4m，n).答案(1）B(2)C熱點(diǎn)二古典概型的概率【例2】(2016·山東卷）某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)。參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)。設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若xy≤3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若xy≥8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)。（1）求小亮獲得玩具的概率；（2）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.解(1)用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S＝{（x，y）｜x∈N,y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4｝一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16.所以基本事件總數(shù)n＝16。(1）記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，1）,（1，2），(1，3)，(2，1),(3，1)，所以P（A）＝eq\f（5,16）,即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16)。(2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C。則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè).即(2，4），(3，3），(3，4),（4，2）,（4,3），(4,4)。所以P(B)＝eq\f（6，16）＝eq\f（3,8).事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè)，即(1，4),（2，2)，（2，3），(3,2），(4，1）。所以P（C)＝eq\f(5，16).因?yàn)閑q\f(3,8）＞eq\f(5,16），所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率。探究提高1。求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù)。2。兩點(diǎn)注意：（1)對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏。（2)當(dāng)直接求解有困難時(shí),可考慮求其對(duì)立事件的概率.【訓(xùn)練2】(2017·昆明診斷）某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50）,［50，60)，［60，70)，［70，80)，［80，90），［90,100］進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖（如下)。(1）體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好"。已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生,試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；（2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況,現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60，70）和［80，90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的概率.解(1)由折線圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有14＋3＋13＝30(人）。所以該校高一年級(jí)中，“體育良好"的學(xué)生人數(shù)大約有1000×eq\f(30,40)＝750(人)。（2）設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60，70)"為事件M，記體育成績(jī)?cè)赱60，70)的數(shù)據(jù)為A1,A2，體育成績(jī)?cè)赱80，90)的數(shù)據(jù)為B1，B2，B3,則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有10種，即（A1，A2),（A1,B1)，（A1，B2)，（A1，B3），(A2,B1）,(A2,B2），（A2，B3），(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).而事件M的結(jié)果有7種，即(A1，A2）,(A1，B1），(A1，B2)，（A1，B3)，(A2，B1），（A2，B2)，(A2，B3)。因此事件M的概率P（M）＝eq\f（7，10）.熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題【例3】(2017·合肥質(zhì)檢）一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x，得到如下的頻率分布表：x［11，13)[13，15）[15，17）［17，19)［19，21）[21，23）頻數(shù)2123438104(1）作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)；(2）若x<13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率.解(1)頻率分布直方圖為估計(jì)平均數(shù)為eq\o(x，\s\up15(－，）)＝12×0。02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0。38＋20×0。10＋22×0。04＝17.08。由頻率分布直方圖，x∈[17，19)時(shí),矩形面積最大，因此估計(jì)眾數(shù)為18.（2）記技術(shù)指標(biāo)值x〈13的2件不合格產(chǎn)品為a1，a2，技術(shù)指標(biāo)值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1，b2，b3，b4，則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，（a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，（a2，b2），（a2，b3），（a2,b4)，(b1，b2),（b1，b3）,(b1，b4)，(b2,b3)，（b2，b4)，(b3，b4)，共15個(gè)基本事件.記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M，則事件M包含如下基本事件(a1，b1），（a1，b2），（a1，b3),（a1，b4)，(a2,b1),（a2，b2)，（a2,b3)，(a2，b4),共8個(gè)基本事件.故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P＝eq\f(8，15）.探究提高1。概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等，在解題中首先要處理好數(shù)據(jù),如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等，即把數(shù)據(jù)分析清楚，然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.2.在求解該類問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：（1)明確頻率與概率的關(guān)系,頻率可近似替代概率.(2）此類問(wèn)題中的概率模型多是古典概型，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成?！居?xùn)練3】(2017·成都診斷）某省2017年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制。各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上,記為A等；分?jǐn)?shù)在[70，85)內(nèi)，記為B等;分?jǐn)?shù)在［60，70）內(nèi),記為C等；60分以下，記為D等。同時(shí)認(rèn)定A，B，C等為合格，D等為不合格.已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50，100］內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50，60），［60，70),［70，80)，［80，90），［90，100]的分組作出甲校樣本的頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級(jí)為C，D的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖2所示。(1)求圖中x的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲、乙兩校的合格率；（2）在乙校的樣本中，從成績(jī)等級(jí)為C，D的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,求抽出的2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D的概率。解(1)由題意，可知10x＋0。012×10＋0.056×10＋0。018×10＋0.010×10＝1,∴x＝0。004，∴甲學(xué)校的合格率為(1－10×0.004）×100%＝0。96×100%＝96%.∴乙學(xué)校的合格率為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（2,50)))×100％＝0。96×100%＝96％?！嗉?、乙兩校的合格率均為96％。(2)由題意，將乙校的樣本中成績(jī)等級(jí)為C的4名學(xué)生記為C1，C2，C3，C4，成績(jī)等級(jí)為D的2名學(xué)生記為D1，D2，則隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有{C1，C2}，{C1,C3}，｛C1，C4}，｛C1，D1｝,{C1，D2}，{C2，C3｝，{C2，C4}，{C2，D1},{C2，D2｝，{C3,C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4,D1},｛C4，D2｝，｛D1，D2}，共15個(gè)基本事件。其中“至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D”包含{C1，D1｝，{C1,D2}，{C2，D1｝，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2｝,{C4，D1},{C4，D2},{D1，D2｝，共9個(gè)基本事件。∴抽取的2名學(xué)生中至少有1名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為D的概率為P＝eq\f(9，15)＝eq\f(3,5）.1。幾何概型的概率計(jì)算主要考查與構(gòu)成事件區(qū)域的長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題?？疾殡y度不大，與平面區(qū)域、空間幾何體、函數(shù)等結(jié)合是命題的一個(gè)方向。2。古典概型中基本事件數(shù)的探求方法（1)列舉法：將基本事件按一定的順序一一列舉出來(lái),適用于求解基本事件個(gè)數(shù)比較少的概率問(wèn)題。(2)樹(shù)狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序"與“無(wú)序"區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.3。當(dāng)某事件的概率不易直接求解,但其對(duì)立事件的概率易求解時(shí)，可運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式（若事件A與事件B為對(duì)立事件，則P（A）＋P（B)＝1），即用間接法求概率。一、選擇題1.（2016·天津卷）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f（1,2）,甲獲勝的概率是eq\f(1,3），則甲不輸?shù)母怕蕿?）A。eq\f(5，6） B.eq\f(2，5）C.eq\f(1,6） D。eq\f(1，3)解析設(shè)“兩人下成和棋”為事件A，“甲獲勝"為事件B.事件A與B是互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蔖＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝eq\f（1,2）＋eq\f（1，3）＝eq\f(5,6）.答案A2。（2016·全國(guó)Ⅲ卷）小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母,第二位是1，2，3,4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是(）A.eq\f（8,15) B。eq\f（1,8)C.eq\f（1,15） D.eq\f（1,30)解析小敏輸入密碼的所有可能情況如下：（M，1），（M，2），（M,3)，（M,4)，（M,5），（I,1)，(I，2），（I，3），（I，4),(I，5)，(N，1)，（N,2)，(N，3），(N，4）,（N，5），共15種.而能開(kāi)機(jī)的密碼只有一種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率為eq\f（1,15)。答案C3。（2017·莆田質(zhì)檢）從區(qū)間(0，1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)度不大于1的概率是(）A.eq\f(π，8) B。eq\f(π，4)C。eq\f（1，2） D.eq\f（3，4)解析任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)（不包括x，y軸）.故所求概率P＝eq\f（\f(1，4)π×12，1×1)＝eq\f(π，4）.答案B4。（2017·天津卷)有5支彩筆（除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(）A.eq\f（4，5） B.eq\f(3，5)C。eq\f（2，5） D。eq\f(1,5)解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種.所以所求概率P＝eq\f（4,10）＝eq\f（2,5).答案C5。有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A。eq\f（1,3） B.eq\f（2,3）C.eq\f（3,4） D.eq\f(1,4)解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1,由幾何概型，則P1＝eq\f（V半球,V圓柱)＝eq\f(\f（2π,3)×13，π×12×2）＝eq\f(1，3）。故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f（1，3)＝eq\f(2,3）.答案B二、填空題6。（2017·江蘇卷)記函數(shù)f（x)＝eq\r（6＋x－x2)的定義域?yàn)镈。在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是________.解析由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3].∴所求事件的概率P＝eq\f(3－（－2),5－（－4））＝eq\f（5，9)。答案eq\f(5,9）7。(2017·黃山二模改編)從集合A＝｛2，4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝｛1，3｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b，則f(x）＝eq\f(1,2）ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是減函數(shù)的概率為_(kāi)_______.解析依題意，數(shù)對(duì)（a，b）所有取值為（2，1），(2，3)，（4，1），（4，3）共4種情況。記“f(x)在區(qū)間(－∞,－1］上是減函數(shù)"為事件A.則A發(fā)生時(shí)，x＝－eq\f（b,a)≥－1，即a≥b∴事件A發(fā)生時(shí)，有（2，1），（4，1），(4，3）共3種情況。故所求事件的概率P（A）＝eq\f(3,4）.答案eq\f（3，4)8。（2016·山東卷）在區(qū)間[－1，1］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓（x－5）2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______。解析直線y＝kx與圓（x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5,0）到直線y＝kx的距離小于3。則eq\f(|5k－0｜，\r(k2＋12))＜3，解之得－eq\f（3，4）＜k＜eq\f（3，4),故所求事件的概率P＝eq\f（\f（3,4)－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,4)))，1－（－1))＝eq\f（3，4）。答案eq\f（3，4）三、解答題9。（2017·山東卷）某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游。(1）若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解（1）由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：｛A1，A2｝,{A1，A3},｛A1,B1}，｛A1，B2}，{A1，B3｝，{A2，A3｝,{A2，B1｝，{A2，B2}，{A2，B3｝，｛A3,B1},｛A3，B2}，{A3，B3｝，{B1,B2}，｛B1，B3},｛B2，B3｝，共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有｛A1,A2｝，{A1，A3｝,｛A2，A3}，共3個(gè).則所求事件的概率為P＝eq\f(3，15)＝eq\f（1,5）.(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1},｛A1，B2｝,｛A1，B3}，{A2，B1},{A2，B2}，｛A2，B3},｛A3，B1｝，{A3,B2}，{A3,B3}，共9個(gè)。包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有｛A1，B2｝,{A1,B3}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝eq\f(2，9）。10.（2016·全國(guó)Ⅱ卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0。85a1.251.51。752隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1）記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”。求P(A）的估計(jì)值；（2）記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160％"。求P(B)的估計(jì)值；（3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)的估計(jì)值。解(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為e