PAGEPAGE8Ａ卷Ａ卷2006—2007學(xué)年第1學(xué)期《數(shù)值計(jì)算方法》期末試卷標(biāo)準(zhǔn)答案專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)開課系室數(shù)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系考試日期2006-12-28題號(hào)一二三四五六總分得分閱卷人一.填空題（每空2分，共40分）1.設(shè)是真值的近似值，則有

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位有效數(shù)字。2.用二步法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為，進(jìn)行兩步后根所在區(qū)間為。3.設(shè)，則差商，。4.形如的插值型求積公式,其代數(shù)精度至少可達(dá)次，至多可達(dá)次。5.向量，,矩陣，則___3_____，Cond。6．對(duì)矩陣A作如下的Doolittle分解：，則，7.設(shè)，則

。8.解初值問題的改進(jìn)歐拉法是階方法。9.設(shè)是次Lagrange插值基函數(shù)，則。10.已知是三次樣條函數(shù)，則，，。11.寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式為，迭代矩陣為。此迭代法是否收斂收斂。二.（12分）取步長(zhǎng)，求解初值問題用改進(jìn)的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格—庫塔法求的值。解：改進(jìn)的歐拉法：（3分）所以；（6分）經(jīng)典的四階龍格—庫塔法：（9分），所以。（12分）三.(12分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式，并寫出其余項(xiàng)的表達(dá)式01212324123解：（5分）（8分）（10分）令，作輔助函數(shù)則在上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個(gè)零點(diǎn)：反復(fù)利用羅爾定理可得：，所以(10分)四.（16分）1.（8分）用Gauss列主元消去法解方程組：解：（3分）(6分)(8分)2.(8分)給定數(shù)據(jù)x0.10.20.35.12345.30535.5684求一次最小二乘擬合多項(xiàng)式解：五．（12分）求積公式又知其誤差余項(xiàng)為試確定系數(shù)，使該求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，指出其代數(shù)精確度的次數(shù)并確定誤差式中的值。解：將分別代入公式得：（6分）當(dāng)時(shí)，左邊等于，右邊等于，所以求積公式最高代數(shù)精度為2。（9分）將代入有誤差項(xiàng)中的積分式中（12分）六.（下列2題任選一題，8分）1．設(shè)，試建立計(jì)算的牛頓迭代公式，并分析其收斂性。2．推導(dǎo)求解常微分方程初值問題形式為的公式，使其精度盡量高，并指出方法的階數(shù)。(其中)解：1.解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)換為求解的正根。牛頓迭代公式為（2分）下面證明對(duì)任何初值迭代過程收斂。根據(jù)定理2.8,對(duì)于任何，迭代公式收斂。（5分）當(dāng)時(shí)，由f的單調(diào)性知對(duì)任何初值迭代過程收斂。（8分）2.局部截?cái)嗾`差=

（4分）令，得，，

計(jì)算公式為，i=0,1,2,…(6分)局部截?cái)嗾`差為＝，方法是二階方法。（8分）

1．（6分）．求解按最小二乘法擬合三點(diǎn)的直線。解：設(shè)直線方程為超定方程組為