2022-2023學(xué)年上海市延安中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，則__________．【答案】【分析】直接解出，，利用交集含義即可得到答案.【詳解】，解得或，，，故，故.故答案為：.2．角是第__________象限角．【答案】三【分析】利用終邊相同的角的表示判斷出與的終邊相同，即可判斷.【詳解】因為，所以與的終邊相同，為第三象限角.故答案為：三3．用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示__________．【答案】【分析】直接根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化以及其運算法則即可得到答案.【詳解】，故答案為：.4．不等式的解集為___________.【答案】【分析】將不等式變形為，利用分式不等式的解法解此不等式即可得解.【詳解】原不等式即為，等價于，解得，因此，原不等式的解集為.故答案為：.5．冪函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及其圖像與性質(zhì)，求的值即可.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時，，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格減函數(shù)，當(dāng)時，，不滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格減函數(shù)，所以.故答案為：2.6．已知，用表示__________．【答案】##【分析】根據(jù)換底公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】，故答案為：7．函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)__________．【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義求出的反函數(shù)即可，要注意反函數(shù)的定義域.【詳解】因為開口向上，對稱軸為，，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，由得，解得，因為，所以，所以.故答案為：.8．若函數(shù)的定義域是R，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】由二次不等式恒成立解對應(yīng)的不等式即可.【詳解】當(dāng)時，要滿足恒成立，即，解得，故答案為：9．當(dāng)時，函數(shù)的函數(shù)值總大于1，則函數(shù)在區(qū)間________上是嚴格增函數(shù)【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)的函數(shù)值總大于1，且，所以單調(diào)遞增，所以，所以，由解得，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).故答案為：.10．函數(shù)的圖像恒過定點，若點的坐標滿足方程，則的最小值__________．【答案】【分析】先判斷出，代入得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【詳解】令，解得：.由可得：函數(shù)的圖像恒過定點.因為點的坐標滿足方程，所以.因為，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）所以的最小值為.故答案為：11．點是平面直角坐標系上的兩點，定義到的曼哈頓距離，已知點，點在上，則的最小值是__________．【答案】3【分析】根據(jù)定義列，再根據(jù)絕對值定義化簡以及二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故此時當(dāng)時，，則時，此時最小值為，當(dāng)時，此時最大值為，故此時.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，當(dāng)，故此時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故此時綜上最小值為3.故答案為：3.12．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為__________．【答案】【詳解】作出的圖象如下：結(jié)合圖像可知，，故令得：或，令得：，且等號取不到，故，故填.點睛：一般討論函數(shù)零點個數(shù)問題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題或兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來解決，轉(zhuǎn)化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數(shù)圖像處理能力要求較高.二、單選題13．下列同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷兩函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需要判斷兩者的定義域與對應(yīng)法則是否相同即可.【詳解】對于A，，顯然與的對應(yīng)法則不同，故A錯誤；對于B，因為的定義域為，的定義域為，故B錯誤；對于C，因為的定義域為，的定義域為，故C錯誤；對于D，顯然的解析式一樣，則其定義域與對應(yīng)法則相同，故D正確.故選：D.14．下列函數(shù)在定義域內(nèi)不是嚴格增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、對鉤函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)是實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于，所以函數(shù)是實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于，所以函數(shù)是正實數(shù)集上的嚴格增函數(shù)；因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然函數(shù)在定義域內(nèi)不是嚴格增函數(shù)，故選：D15．某位喜歡思考的同學(xué)在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)時提出了如下兩個命題：已知函數(shù)的定義域為．①若當(dāng)時，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．②若當(dāng)時，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列判斷正確的是（

）A．①和②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①和②都是假命題 D．①是假命題，②是真命題【答案】C【分析】舉出反例即可得解．【詳解】解：設(shè)函數(shù)，滿足①若時，都有，但該函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯誤；設(shè)函數(shù)，滿足②若時，都有，但該函數(shù)不單調(diào)遞增，故②錯誤．故選：C．16．對于表示不超過的最大整數(shù)，定義在上的函數(shù)，若，則中所有元素的和為（

）A．12 B．3 C．14 D．15【答案】D【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的元素，進而求得正確答案.【詳解】當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)，，；當(dāng)時，，，所以，所以中所有元素的和為.故選：D三、解答題17．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令，原不等式可化為：，解出的范圍，即可求出的范圍；（2）令，原不等式可化為：，解出的范圍，即可求出的范圍.【詳解】（1）令，則原不等式可化為：，解得：，所以.解不等式，解得：，所以原不等式的解集為（2）令，則原不等式可化為：，解得：或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為.18．已知函數(shù)(1)函數(shù)在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，求的取值范圍；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)軸法即可得解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論對稱軸的位置即可得解.【詳解】（1）因為，所以開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)，則，所以，即的取值范圍為.（2）由（1）得開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或（舍去），故；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，解得或，因為，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，即，解得或（舍去），故；綜上：或.19．已知函數(shù)(1)作出函數(shù)的大致圖像；(2)結(jié)合圖像討論函數(shù)的零點個數(shù)情況（無需證明）．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先由函數(shù)奇偶性的定義證得為偶函數(shù)，再分類討論與兩種情況，得到的解析式，結(jié)合一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可作出在上的圖像，從而得到的大致圖像；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的圖像的交點個數(shù)，結(jié)合圖像分類討論即可.【詳解】（1）因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故在上是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，故考慮在上的圖像即可，因為，所以，而，所以當(dāng)時，，所以，易得一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即；當(dāng)時，，所以，易得反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，且；由此可作出在上的圖像，而在上的圖像則由在上的圖像沿著軸翻折而得，又，所以在的圖像如圖1，.（2）令，則，所以與的圖像的交點個數(shù)即為的零點個數(shù)，如圖2，當(dāng)時，與的圖像沒有交點，即沒有零點；當(dāng)時，與的圖像有1個交點，即有1個零點；當(dāng)時，與的圖像有4個交點，即有4個零點；當(dāng)時，與的圖像有2個交點，即有2個零點；當(dāng)時，與的圖像沒有交點，即沒有零點；綜上：當(dāng)或時，沒有零點；當(dāng)時，有1個零點；當(dāng)時，有2個零點；當(dāng)時，有4個零點.20．新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時，;當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時,，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？【答案】(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元.【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)量的不同取值范圍討論利潤y關(guān)于產(chǎn)量x的不同對應(yīng)關(guān)系即可求解.(2)分別求出分段函數(shù)的最大值比較大小即可求出利潤的最大值.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，y取得最大值，最大值為850萬元；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，y取得最大值，最大值為1300萬元.綜上，當(dāng)產(chǎn)量為80萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中獲得利潤最大，最大利潤為1300萬元.21．對于函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，那么稱為的生成函數(shù)．(1)下面給出兩組函數(shù)，是否分別為的生成函數(shù)？并說明理由．第一組：第二組：；(2)設(shè)，生成函數(shù)．若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，取，生成函數(shù)的圖像的最低點坐標為．若對于任意正實數(shù)且，試問是否存在最大的常數(shù)，使得恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用“生成函數(shù)”的定義直接求解；（2）先求出，令，把題意轉(zhuǎn)化為.利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出實數(shù)的取值范圍.（3）先求出.設(shè)，整理得，設(shè)，.利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求出.即可求出最大的常數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時.假設(shè)存在實數(shù)，使得，所以，所