第七章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第一節(jié)矢量法運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的幾何量隨時(shí)間的變化規(guī)律運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)中涉及的主要參量：位置位移路程軌跡速度加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)可分為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)一、矢量法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：位置參量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系第七章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第一節(jié)矢量法一、矢量法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：位置參量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系在矢量法中，用由固定參考來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)

M的位置。矢量法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)

O

指向動(dòng)點(diǎn)

M的矢徑◆

矢徑端點(diǎn)的軌跡即為動(dòng)點(diǎn)

M的運(yùn)動(dòng)軌跡二、點(diǎn)的速度t時(shí)間內(nèi)的位移為t時(shí)間內(nèi)的平均速度：t時(shí)刻的瞬時(shí)速度：速度方向：一定沿著點(diǎn)在軌跡處的切線方向三、點(diǎn)的加速度t時(shí)間內(nèi)的速度增量為t時(shí)間內(nèi)的平均加速度：t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度：加速度方向：一定指向軌跡的凹向第二節(jié)直角坐標(biāo)法一、直角坐標(biāo)法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為利用直角坐標(biāo)來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的位置2）由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間參數(shù)t即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程說(shuō)明：1）由運(yùn)動(dòng)方程可直接確定動(dòng)點(diǎn)的位置與位移二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)法中，點(diǎn)的速度其中，點(diǎn)的速度在

x

軸、y

軸上的投影根據(jù)速度投影即可方便確定速度的大小和方向三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)法中，點(diǎn)的加速度其中，點(diǎn)的加速度在

x

軸、y

軸上的投影根據(jù)加速度投影即可方便確定加速度的大小和方向

[例1]如圖，橢圓規(guī)的曲柄

OC

可繞定軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)

C

與規(guī)尺

AB

的中點(diǎn)鉸接，規(guī)尺的兩端分別在互相垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)，P

為規(guī)尺上的一點(diǎn)。已知

OC=AC=BC=l、PC=d

、=t（

為常數(shù)），試求點(diǎn)

P

的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。解：取圖示直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系得點(diǎn)

P

的運(yùn)動(dòng)方程為從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間參數(shù)

t

，得點(diǎn)

P

的軌跡方程可見(jiàn)其軌跡為橢圓

點(diǎn)

P

的速度在

x、y

軸上的投影故得點(diǎn)

P

速度的大小方向余弦

點(diǎn)

P

的加速度在

x、y

軸上的投影故得點(diǎn)

P

加速度的大小方向余弦[例2]如圖，套管

A

由繞過(guò)定滑輪

B

的繩索牽引而沿導(dǎo)軌上升，滑輪中心到導(dǎo)軌的距離為

l

。當(dāng)繩索以等速

v0

下拉時(shí)，若不計(jì)滑輪尺寸，試求套管

A

的速度和加速度（表示為

x

的函數(shù)）。解：將上式兩邊對(duì)時(shí)間

t求導(dǎo)，有解得套管的速度為套管

A沿導(dǎo)軌作直線運(yùn)動(dòng)，選取

x軸，并令A(yù)B=s，由幾何關(guān)系得聯(lián)立上述二式，并注意到，其中，負(fù)號(hào)表示套管A

的速度指向與

x

軸指向相反，即向上

其中，負(fù)號(hào)表示套管A

的加速度指向與x

軸指向相反，即向上將上式再對(duì)時(shí)間

t

求導(dǎo)，得套管

A

的加速度

[例3]如圖，液壓減震器的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，已知活塞的初速度為

v0，活塞的加速度

a=－

kv

，其中，比例系數(shù)k

為常數(shù)、v

為活塞速度。試求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：根據(jù)題意，由得對(duì)上式分離變量后積分得活塞速度x

軸方向作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)取圖示坐標(biāo)軸，活塞沿

再將代入上式，分離變量后積分解得活塞的運(yùn)動(dòng)方程為其中，x0為活塞的初始位置第三節(jié)自然法一、自然法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程自然法中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為利用動(dòng)點(diǎn)的已知軌跡作為參考系2）由運(yùn)動(dòng)方程可確定點(diǎn)的位置、位移與路程說(shuō)明：1）s

是弧坐標(biāo)，為位置參數(shù)已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡適用前提：來(lái)確定其位置二、點(diǎn)的速度引入自然坐標(biāo)系：沿切向的單位矢量，指向弧坐標(biāo)正向沿法向的單位矢量，指向曲率中心注意：自然坐標(biāo)系是運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系在自然法中，點(diǎn)的速度其中，為速度在切向軸上投影，若

v

0，速度指向弧坐標(biāo)正向；若v

0，速度則指向弧坐標(biāo)負(fù)向。三、點(diǎn)的加速度在自然法中，點(diǎn)的加速度其中，切向加速度（加速度在切向軸的投影）法向加速度（加速度在法向軸的投影）全加速度大小全加速度方位角說(shuō)明：1）at＞0，切向加速度指向弧坐標(biāo)正向，at＜0，則反之2）an恒大于零，法向加速度恒指向曲率中心討論：1）若

at=

0

，則點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)2）若

an=

0

，則點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)3）若

at=

0

且

an=

0

，則點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)4）若

at=

0

且

an=

Const

，則點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)說(shuō)明：1）切向加速度

at反映了速度大小相對(duì)于時(shí)間的變化率2）法向加速度

an反映了速度方向相對(duì)于時(shí)間的變化率3）v與

at同號(hào)，點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)v與

at異號(hào)，點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)四、勻變速曲線運(yùn)動(dòng)三公式勻變速：注意：1）適用前提，勻變速，即

at=Const2）各有關(guān)參量的正負(fù)號(hào)[例4]

如圖，動(dòng)點(diǎn)

M

的軌跡由半徑

R1=

18m、

R2=

24m

的AO、BO

兩段圓弧組成，取兩段圓弧的連接點(diǎn)

O

為原點(diǎn)并規(guī)定弧坐標(biāo)的正向，動(dòng)點(diǎn)

M

的運(yùn)動(dòng)方程為

s

=

－t

2＋4t

＋

3（

s

以

m

計(jì)、t

以

s計(jì)），試求：1）當(dāng)

t

=

5

s

時(shí)動(dòng)點(diǎn)

M

的速度和加速度；2）由

t

=

0

s

至

t

=

5

s

動(dòng)點(diǎn)

M

所經(jīng)過(guò)的路程。

解：1）求速度和加速度動(dòng)點(diǎn)

M的速度故當(dāng)

t

=

5

s

時(shí)動(dòng)點(diǎn)

M

的速度為動(dòng)點(diǎn)

M的切向加速度動(dòng)點(diǎn)

M

位于圓弧

AO

段，故得當(dāng)

t

=

5

s

時(shí)，弧坐標(biāo)

s

=

-

2

m，法向加速度為所以，當(dāng)

t

=

5

s

時(shí)，動(dòng)點(diǎn)

M

的加速度2）求路程注意到，當(dāng)

t

＜

2

s

時(shí)，v

＞0，動(dòng)點(diǎn)

M

向所以，由

t

=

0

s

至

t

=

5

s，動(dòng)點(diǎn)

M所經(jīng)過(guò)的路程為弧坐標(biāo)正向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)

t

=

2

s

時(shí)，v

=0；當(dāng)t

＞2

s

時(shí)，v

＜0，動(dòng)點(diǎn)

M

向弧坐標(biāo)負(fù)向運(yùn)動(dòng)。◆點(diǎn)的弧坐標(biāo)與點(diǎn)的路程是兩個(gè)完全不同的概念。前者是個(gè)瞬時(shí)參量，是個(gè)代數(shù)量（可正可負(fù)），確定的是點(diǎn)在某一瞬時(shí)的位置；后者是個(gè)過(guò)程參量，是個(gè)標(biāo)量（恒為正值），確定的是點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程。兩者不能混淆。[例5]圖示曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，已知曲柄

AO

長(zhǎng)為

r

，以等角速度

繞軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)；搖桿

BO1長(zhǎng)為

l

，距離

OO1=r

。初始時(shí)曲柄

AO

與點(diǎn)

O1

成一直線，試求搖桿

BO1的端點(diǎn)

B

的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：1）建立運(yùn)動(dòng)方程軌跡已知，采用自然法建立自然坐標(biāo)系，點(diǎn)

B

的運(yùn)動(dòng)方程為2）求速度和加速度點(diǎn)

B

的速度方向垂直于

BO1，指向與搖桿

BO1的轉(zhuǎn)向一致點(diǎn)

B

的切向加速度、法向加速度分別為故點(diǎn)

B

的全加速度方向沿

BO1指向

O1[例6]已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x=50t

、y=500－5t

2（t

以

s

計(jì)，x、y

以

m

計(jì)），試求t=0

時(shí)點(diǎn)的軌跡的曲率半徑。解：點(diǎn)的速度點(diǎn)的加速度點(diǎn)的切向加速度點(diǎn)的法向加速度得點(diǎn)的軌跡的曲率半徑當(dāng)t=0

時(shí)，[例7]列車(chē)沿半徑

R=

400

m

的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度

v0=

10

m/s

，經(jīng)過(guò)

t=40

s

后，其速度達(dá)到

v=20

m/s，試求列車(chē)在

t=0、t=40

s

時(shí)的加速度。解：可直接利用勻變速曲線運(yùn)動(dòng)公式計(jì)算切向加速度當(dāng)t=0

時(shí)，法向加速度故得當(dāng)t=0

時(shí)的加速度當(dāng)t=40

s

時(shí)，法向加速度故得當(dāng)t=40

s

時(shí)的加速度[例8]如圖，半徑為

r

的圓輪沿水平直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)（簡(jiǎn)稱(chēng)純滾動(dòng)）。設(shè)圓輪在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且輪心

C

的速度

v

為常量，試求輪緣上的點(diǎn)

M

與地面接觸時(shí)的速度和