第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法三種常見分布小結(jié)

從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個(gè)值的概率為:看一個(gè)例子一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1：某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè),這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法X例3某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.三、三種常見分布1、（0-1）分布：（也稱兩點(diǎn)分布）隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，其分布律為：看一個(gè)試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：2.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)

.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.

用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則易證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)（2）例5

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.

解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那么各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時(shí),只能用古典概型求解.請(qǐng)注意：

伯努利試驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡(jiǎn)單地說，

且P(A)=p

，；3.泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~π().,則對(duì)固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系例6

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分布表得也即m=9件或例7

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品,則每箱至少應(yīng)裝解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個(gè),每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X,則X~B(100+n,0.03)由題意3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少個(gè)產(chǎn)品？查Poisson分布表,=3得n=5故每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.應(yīng)用Poisson定理在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n

20,p0.05時(shí),可用上述公式近似計(jì)算;而當(dāng)n

100,np10時(shí),精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項(xiàng)分布

按Possion

公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=