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第3章曲線(xiàn)擬合的最小二乘法

給出一組離散點(diǎn)，確定一個(gè)函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。

在實(shí)際中，數(shù)據(jù)不可避免的會(huì)有誤差，插值函數(shù)會(huì)將這些誤差也包括在內(nèi)。

因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段：①不要求過(guò)所有的點(diǎn)（可以消除誤差影響）；②盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，靠近這些點(diǎn)。

有時(shí)候，問(wèn)題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過(guò)所有的點(diǎn)。如：5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，要修一條公路S使得S為直線(xiàn)，且到所有風(fēng)景點(diǎn)的距離和最小。先講些預(yù)備知識(shí)

對(duì)如上2類(lèi)問(wèn)題，有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)提法：找函數(shù)空間上的函數(shù)g，使得g到f的距離最小。定義1：向量范數(shù)映射：滿(mǎn)足：①非負(fù)性②齊次性③三角不等式稱(chēng)該映射為向量的一種范數(shù)預(yù)備知識(shí)我們定義兩點(diǎn)的距離為：常見(jiàn)的范數(shù)有：定義2：函數(shù)f，g的關(guān)于離散點(diǎn)列的離散內(nèi)積為：定義3：函數(shù)f的離散范數(shù)為提示：該種內(nèi)積，范數(shù)的定義與向量的2－范數(shù)一致我們還可以定義函數(shù)的離散范數(shù)為：f(x)為定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，為區(qū)間上n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，為給定的某一函數(shù)類(lèi)。求上的函數(shù)g(x)滿(mǎn)足f(x)和g(x)的距離最小如果這種距離取為2－范數(shù)的話(huà)，稱(chēng)為最小二乘問(wèn)題曲線(xiàn)擬合的最小二乘問(wèn)題定義下面我們來(lái)看看最小二乘問(wèn)題：求使得最小設(shè)最小則即關(guān)于系數(shù)由于它關(guān)于系數(shù)最小，因此有：即寫(xiě)成矩陣形式有：法方程由的線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，知道該方程存在唯一解①第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程②第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程例：第一步：函數(shù)空間的基，然后列出法方程由，可以先做求解一個(gè)矛盾方程組，計(jì)算的是在均方誤差

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