自動控制原理復(fù)習(xí)

2014.9

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

◆控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本形式

●微分方程式：

描述控制系統(tǒng)運動的最基本的數(shù)學(xué)表達式（時間域）

●傳遞函數(shù)：

線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)輸出變量的拉普拉斯變換與

輸入變量拉普拉斯變換之比（復(fù)頻域）

●圖形形式：

框圖

信號流圖◆舉例

例2-1已知系統(tǒng)框圖，求傳遞函數(shù)。

可以有兩種方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

●框圖簡化

●轉(zhuǎn)化成信號流圖再利用梅遜公式

▲框圖簡化

⑴框的并聯(lián)：框和框并聯(lián)，可以合并成

一個框，即；

⑵移動求和點：將之前的求和點移動到

之后，在框后乘一個；

⑶兩個求和點合并成一個；

⑷合并并聯(lián)框：框和框合并成

⑸反饋回路計算

⑹最后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

▲轉(zhuǎn)化成信號流圖（略）

答案見《控制工程基礎(chǔ)習(xí)題解答》

梅遜增益公式

表示所有不同回路的傳遞函數(shù)的和；

表示所有每兩個互不接觸的回路的傳遞函數(shù)的乘積之和；表示所有每三個互不接觸的回路的傳遞函數(shù)的乘積之和；

是從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的第條前向通路的傳遞函數(shù)；被稱為信號流圖的余子式，它是在信號流圖特征式中將與第條前向通路接觸的所有回路的傳遞函數(shù)置為0所得的結(jié)果。

第3章線性控制系統(tǒng)的運動

◆線性系統(tǒng)的典型時間響應(yīng)

●典型輸入信號

單位沖激信號單位階躍信號單位斜坡信號單位拋物線信號

●典型輸出響應(yīng)

▲單位沖激響應(yīng)

▲單位階躍響應(yīng)

◆穩(wěn)定性和勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

●線性定常連續(xù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

▲微分方程的特征方程的根全部位于復(fù)數(shù)平面的

左半平面

▲傳遞函數(shù)的所有極點都具有負(fù)實部

●勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

特征方程的各項系數(shù)符號相同（必要條件）；

勞斯陣列內(nèi)第一列中各個元的數(shù)均為正數(shù)。

如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程中具有正實部的根的

數(shù)目等于第一列中各個元的符號的改變次數(shù)。

●勞斯判據(jù)的應(yīng)用

▲判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（絕對穩(wěn)定性）

▲確定參數(shù)的穩(wěn)定域（滿足穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍）◆穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)

●穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)

▲穩(wěn)態(tài)誤差

▲靜態(tài)誤差系數(shù)

*靜態(tài)位置誤差系數(shù)

*靜態(tài)速度誤差系數(shù)

*靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

●穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的型

▲0型系統(tǒng)

*

階躍輸入

*

斜坡輸入、拋物線輸入

▲Ⅰ型系統(tǒng)

*

階躍輸入

*

斜坡輸入

*

拋物線輸入

▲Ⅱ型系統(tǒng)

*

階躍輸入、斜坡輸入

*

拋物線輸入

●瞬態(tài)性能指標(biāo)

▲上升時間

▲峰值時間

▲超調(diào)量

▲調(diào)整時間

▲延遲時間

◆一階系統(tǒng)的響應(yīng)

●傳遞函數(shù)

●單位階躍響應(yīng)

●單位沖激響應(yīng)

◆二階系統(tǒng)的響應(yīng)

●傳遞函數(shù)

●單位階躍響應(yīng)（欠阻尼）

●單位沖激響應(yīng)（欠阻尼）

●標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)

▲上升時間：

▲峰值時間：

▲超調(diào)量或：

▲調(diào)整時間：

，（5%誤差帶）

，（2%誤差帶）

◆舉例

例3-1已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

欲使系統(tǒng)對于單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為，

單位階躍輸入的超調(diào)量為，求參數(shù)和

的值，并求上升時間和調(diào)整時間。

解：

⑴求

由于要求單位斜坡輸入時，而

因此可以求得。⑵求

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由于要求，則由可以求得

現(xiàn)取，，則有

，

于是可以求得，。

則

，

第4章頻率響應(yīng)分析

◆頻率響應(yīng)特性概念

◆對數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖-BODE圖）及系統(tǒng)的頻域

性能指標(biāo)：穿越頻率和穩(wěn)定裕度

▲對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖

*橫坐標(biāo)：頻率軸（ω軸）

對數(shù)刻度，單位為：（弧度∕秒）

*縱坐標(biāo)：

幅值軸（對數(shù)幅值）

線性刻度，單位為：（分貝）

相角軸（相角）

線性刻度，單位為：（度）或（弧度）

▲復(fù)雜系統(tǒng)伯德圖的繪制

⑴將傳遞函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即基本單元串聯(lián)的形

（基本單元傳遞函數(shù)相乘），求出基本單元和相

關(guān)轉(zhuǎn)角頻率；

⑵將各個轉(zhuǎn)角頻率按照由小到大的順序排列，并在

伯德圖的頻率軸上做出標(biāo)記；

⑶繪制低頻漸近線。當(dāng)時，頻率特性相當(dāng)于

所以低頻漸近線只由增益和積分單元決定；

⑷繪制更高頻段的折線幅頻特性。▲由系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖求最小相位系統(tǒng)的

傳遞函數(shù)舉例

例4-1已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性圖

如下圖所示

⑴求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；

⑵設(shè)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋，求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

⑶求系統(tǒng)的增益穿越頻率和相角穩(wěn)定裕度。

解：

⑴圖中，低頻漸近線的斜率為，表明

系統(tǒng)包含一個積分單元；在、、

處斜率變化，表明系統(tǒng)包含

轉(zhuǎn)角頻率分別為上述數(shù)值的3個惰性單元；在

處斜率變化表明系統(tǒng)包含

1個轉(zhuǎn)角頻率為的比例微分單元；系統(tǒng)

還可能包含比例單元。因此可以初步確定系

統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求增益

○求處的對數(shù)幅值

即

○求得

則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

或者

則

求得

⑵系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

⑶求和

●極坐標(biāo)圖及乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

（幅相頻率特性、乃奎斯特圖）

▲極坐標(biāo)圖的繪制

把頻率特性函數(shù)的幅值和相角畫在同一張圖上

頻率特性函數(shù)為

*時的起始點

*時的結(jié)束點

*曲線和坐標(biāo)軸的交點

*當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分單元時曲線的繪制

從到部分無窮大半圓的繪制

▲乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖對平面點

逆時針包圍的周數(shù)等于系統(tǒng)在右半平面開環(huán)

極點的數(shù)目

▲舉例

例4-2已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并用乃奎斯特

穩(wěn)定性判據(jù)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。

解：

⑴系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數(shù)為

⑵繪制極坐標(biāo)圖

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，的極坐標(biāo)圖從第二象限

方向沿漸近線出發(fā)，在第三象限以與

負(fù)虛軸相切趨于原點。

由，解得當(dāng)時，，

即曲線與實軸交于點。

或者令

即

解此三角函數(shù)方程同樣可以求得，

代入幅值求得。

據(jù)此便可畫出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。

⑶求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍

系統(tǒng)有一個位于右半平面的開環(huán)極點，為使

系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的乃奎斯特曲線應(yīng)逆時針包圍

點一周。所以應(yīng)有

解得

因此，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)滿足

第5章控制系統(tǒng)的頻域校正

◆串聯(lián)超前校正裝置的設(shè)計

●基本思想：超前校正的主要作用是提高系統(tǒng)的

穩(wěn)定性和加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，其原理是最大

限度地利用超前校正裝置所能提供的超前角。

設(shè)計過程中的主要任務(wù)是選擇超前校正裝置的

轉(zhuǎn)角頻率以及它們之間的距離，它們之間的距離

越大，所能提供的最大超前角越大。使產(chǎn)生最大

超前角的頻率和校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率接近，

以充分提高系統(tǒng)的相角裕度。

（利用相位超前校正裝置的超前相角，補償原系統(tǒng)相角穩(wěn)定裕度

的不足。因此，應(yīng)將產(chǎn)生最大相位超前角的頻率定為校正后系統(tǒng)的幅

值穿越頻率。）

●設(shè)計步驟：

(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求確定開環(huán)傳遞函數(shù)的總增益，

其中可以包括校正裝置傳遞函數(shù)的增益；

(2)畫出增益校正后的系統(tǒng)的伯德圖，如果相角穩(wěn)定

裕度太低，而且也不宜降低增益穿越頻率，則可

考慮進行超前校正。計算超前校正裝置應(yīng)當(dāng)提供

的最大超前角（注意要適當(dāng)?shù)亓粲杏嗔浚?/p>

(3)計算超前校正裝置的分度系數(shù)，計算公式為

⑷確定校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率，即校正裝置產(chǎn)

生最大超前角的頻率。此頻率是在未校正系統(tǒng)對

數(shù)幅頻圖上幅值等于處的頻率。

⑸確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率，即計算和：

⑹校核。

●舉例（略）

◆串聯(lián)滯后校正裝置的設(shè)計

●基本思想：滯后校正的主要作用是提高系統(tǒng)的

穩(wěn)態(tài)精度，其原理是在基本上不改變未校正系統(tǒng)

穩(wěn)定裕度（即不改變未校正系統(tǒng)中頻特性）的

情況下，提高低頻增益。設(shè)計過程中的主要任務(wù)

是選擇滯后校正裝置傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)角頻率以及

它們之間的距離。為了使滯后校正裝置產(chǎn)生的

滯后角不降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性（不使系統(tǒng)的相角

裕度減?。?，它的轉(zhuǎn)角頻率必須比校正后系統(tǒng)的

增益穿越頻率要低得多，它的兩個轉(zhuǎn)角頻率之間

的距離越大，低頻增益的允許提高量也越大，

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度也就越高?！裨O(shè)計步驟：

⑴根據(jù)給定的穩(wěn)態(tài)性能要求（穩(wěn)態(tài)誤差），確定

校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的總增益，其中可以

包含校正裝置傳遞函數(shù)的增益。

⑵畫出增益校正后（或未校正）系統(tǒng)的對數(shù)幅頻

特性圖，根據(jù)相角穩(wěn)定裕度的要求，在留有一定

余量的條件下（適當(dāng)增加余量），選擇

校正后系統(tǒng)的增益穿越頻率。

⑶選擇滯后校正裝置傳遞函數(shù)頻率特性中較高轉(zhuǎn)角

頻率為。

⑷根據(jù)校正后系統(tǒng)增益穿越頻率處的對數(shù)幅值，

確定滯后校正裝置傳遞函數(shù)中的參數(shù)。⑸校核。

（或者當(dāng)原系統(tǒng)的相角裕度已經(jīng)滿足要求，只是

穩(wěn)態(tài)精度較低，不滿足給定的要求。這時可以利用

滯后校正裝置的低通濾波特性，抬高原系統(tǒng)對數(shù)

幅頻特性的低頻段，根據(jù)放大倍數(shù)需要提高的倍

數(shù)，確定滯后校正裝置傳遞函數(shù)中的參數(shù)—即

分度系數(shù)。）

●舉例（略）

◆串聯(lián)超前滯后校正裝置的設(shè)計（略）

第6章根軌跡方法及控制系統(tǒng)的校正

◆根軌跡概念

●控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零到無窮大

變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在平面上運動

而形成的軌跡，成為控制系統(tǒng)的根軌跡。

●根軌跡法是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點

在平面上分布的條件下，繪制閉環(huán)特征方程根

的軌跡。

●根軌跡方程及繪制根軌跡的條件

（幅值條件）

（相角條件）◆根軌跡的基本性質(zhì)（9條）

⑴對稱性：關(guān)于實軸對稱；

⑵分支數(shù)：等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)；

⑶起點和終點：起始于系統(tǒng)開環(huán)極點，終止于系統(tǒng)

開環(huán)零點；

⑷根軌跡上點所對應(yīng)的增益

⑸實軸上的根軌跡：根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)極點和

零點總數(shù)為奇數(shù)；

⑹趨于無窮遠根軌跡的漸近線：

漸近線與正實軸的夾角

漸近線與實軸的交點

⑺分離點和會和點：

即

的根，

或的根；

⑻根軌跡離開復(fù)數(shù)極點的出射角

根軌跡到達復(fù)數(shù)零點的入射角

⑼根軌跡與虛軸的交點：以代入系統(tǒng)特征

方程，令實部和虛部分別為零，即

解方程組求交點和臨界增益；

或者利用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)?！舾壽E的繪制舉例

●普通根軌跡（常規(guī)根軌跡、一般根軌跡）的繪制

例6-1已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡并求出系統(tǒng)為穩(wěn)定的值范圍。

解：

⑴系統(tǒng)有4個開環(huán)極點，，，，1個開環(huán)

點，根軌跡有4條分支。4條根軌跡分支起

始于4個開環(huán)極點，1條分支