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迭代法第三節(jié)一、迭代格式

二迭代法的收斂性

一、迭代格式

是(逐次超松弛)的縮寫。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一。它可以看作是迭代法的加迭代法是迭代的一種特殊形式。速，將方程組寫成其迭代格式可寫為：

則有若記

則式可寫為由此可以看出，迭代法的第一個修正量。現(xiàn)在，為了獲得更快的收斂步，相當于在第步的基礎上每一個分量增加效果，在修正項的前面乘以一個參數(shù)，便得到逐次超松弛迭代格式稱為松弛因子，稱的迭代過程為低松弛方法，對于一些方程組，用迭代法得不到收斂解或不收斂，但用低松弛方法卻是收斂的。稱的迭代過程為超松弛方法,此法可以加速迭代方法的收斂。的迭代過程就是迭代公式。

由迭代格式（3.3）有格式（3.4）的矩陣形式為

SOR迭代法常以這種形式進行計算。

即有其中

顯然，

二迭代法的收斂性

由式有

即于是有記則有其中，稱為迭代矩陣。

由定理1及定理2直接得知：（2）迭代法收斂的充分條件是。（1）迭代法收斂的充要條件是。子有關。關于的范圍，有如下定理。

迭代法收斂與否或收斂快慢都與松弛因因子應滿足條件。定理6迭代法收斂的必要條件是松弛證明因法收斂，故。記的特征值為。因為n階矩陣的n個特征值之積等于其行列式之值，即

而從而另一方面由關系式：有上述定理說明，對于任何系數(shù)矩陣，若要陣來說，這一條件是充分的。陣來說，法都是收斂的。但是，對一些特殊矩弛因子滿足條件時，并不是對所有系數(shù)矩法收斂，必須選取松弛因子，然而，當松因此有，或者，即。定理證完。即這一定理說明，對于對稱正定矩陣，只要，迭代法總是收斂的。用法計算方程組時，選取合適的松弛因子很重要，松弛因子選取得好，可能使得收斂速度大大加快，下面舉例來說明松弛因子的選取對收斂速度的影響。

定理7如果矩陣是對稱正定的，則法對于是收斂的。

設給定方程組

用法進行迭代，取不同的松弛因子，收斂速度不同，見下表

ω0.60.811.11.151.251.31.51.8迭代次數(shù)161087811151515近似解與準確解重復合位數(shù)555555541

使法收斂最快的松弛因子通常稱為最優(yōu)松弛因子。目前，只有少數(shù)特殊類型的矩陣，才有確定的最優(yōu)松弛因子的理論公式，但實際使用時也有一定困難。通常的辦法，是選不同的進行試算，以確定最佳的近似值，或者先取一個，然后根據(jù)迭代過程的收斂快慢，不斷修正，

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