迭代法第三節(jié)一、迭代格式

二迭代法的收斂性

一、迭代格式

是(逐次超松弛)的縮寫(xiě)。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組的有效方法之一。它可以看作是迭代法的加迭代法是迭代的一種特殊形式。速，將方程組寫(xiě)成其迭代格式可寫(xiě)為：

則有若記

則式可寫(xiě)為由此可以看出，迭代法的第一個(gè)修正量?，F(xiàn)在，為了獲得更快的收斂步，相當(dāng)于在第步的基礎(chǔ)上每一個(gè)分量增加效果，在修正項(xiàng)的前面乘以一個(gè)參數(shù)，便得到逐次超松弛迭代格式稱(chēng)為松弛因子，稱(chēng)的迭代過(guò)程為低松弛方法，對(duì)于一些方程組，用迭代法得不到收斂解或不收斂，但用低松弛方法卻是收斂的。稱(chēng)的迭代過(guò)程為超松弛方法,此法可以加速迭代方法的收斂。的迭代過(guò)程就是迭代公式。

由迭代格式（3.3）有格式（3.4）的矩陣形式為

SOR迭代法常以這種形式進(jìn)行計(jì)算。

即有其中

顯然，

二迭代法的收斂性

由式有

即于是有記則有其中，稱(chēng)為迭代矩陣。

由定理1及定理2直接得知：（2）迭代法收斂的充分條件是。（1）迭代法收斂的充要條件是。子有關(guān)。關(guān)于的范圍，有如下定理。

迭代法收斂與否或收斂快慢都與松弛因因子應(yīng)滿(mǎn)足條件。定理6迭代法收斂的必要條件是松弛證明因法收斂，故。記的特征值為。因?yàn)閚階矩陣的n個(gè)特征值之積等于其行列式之值，即

而從而另一方面由關(guān)系式：有上述定理說(shuō)明，對(duì)于任何系數(shù)矩陣，若要陣來(lái)說(shuō)，這一條件是充分的。陣來(lái)說(shuō)，法都是收斂的。但是，對(duì)一些特殊矩弛因子滿(mǎn)足條件時(shí)，并不是對(duì)所有系數(shù)矩法收斂，必須選取松弛因子，然而，當(dāng)松因此有，或者，即。定理證完。即這一定理說(shuō)明，對(duì)于對(duì)稱(chēng)正定矩陣，只要，迭代法總是收斂的。用法計(jì)算方程組時(shí)，選取合適的松弛因子很重要，松弛因子選取得好，可能使得收斂速度大大加快，下面舉例來(lái)說(shuō)明松弛因子的選取對(duì)收斂速度的影響。

定理7如果矩陣是對(duì)稱(chēng)正定的，則法對(duì)于是收斂的。

設(shè)給定方程組

用法進(jìn)行迭代，取不同的松弛因子，收斂速度不同，見(jiàn)下表

ω0.60.811.11.151.251.31.51.8迭代次數(shù)161087811151515近似解與準(zhǔn)確解重復(fù)合位數(shù)555555541

使法收斂最快的松弛因子通常稱(chēng)為最優(yōu)松弛因子。目前，只有少數(shù)特殊類(lèi)型的矩陣，才有確定的最優(yōu)松弛因子的理論公式，但實(shí)際使用時(shí)也有一定困難。通常的辦法，是選不同的進(jìn)行試算，以確定最佳的近似值，或者先取一個(gè)，然后根據(jù)迭代過(guò)程的收斂快慢，不斷修正，