高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.直線的傾斜角的正切值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為，傾斜角為，所以.故選：A.2.已知兩個(gè)向量，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由于，所以.故選：C.3.過點(diǎn)，的直線的斜率為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，解得，所以，所以.故選：B.4.圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以對(duì)稱圓的方程為，故選：D.5.若是直線的方向向量，是平面的法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.直線在平面內(nèi) B.平行 C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】∵，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，即無解.不存在實(shí)數(shù)，使得成立，因此l與α不垂直．由，可得直線l與平面α不平行．因此直線l與平面α位置關(guān)系是相交但不垂直．故選：C.6.已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以,解得，因?yàn)橹本€與直線所以它們之間的距離為．故選：C.7.在平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.所以.故選：B.8.已知圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】如圖所示：連接，則，當(dāng)最小時(shí)，最小，，故的最小值為.故選：C.9.已知點(diǎn)C（2，0），直線kx－y＋k=0（k≠0）與圓交于A，B兩點(diǎn)，則“△ABC為等邊三角形”是“k=1”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)圓心為，易知，半徑，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，而，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，直線為：，而，所以，所以，所以為等腰三角形，因?yàn)椋瑘A心到直線的距離為，即，所以圓心為的重心，同時(shí)也是的外心，所以為等邊三角形，所以“為等邊三角形”是“”的充要條件，故選：A.10.如圖，放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整體是一個(gè)圓形，且黑色陰影區(qū)域與白色區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓.已知直線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，則；②當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域邊界曲線有個(gè)公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③【答案】A【解析】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．此時(shí)直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，所以，故①正確．對(duì)于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為,當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，故②正確．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．綜上所述，①②正確．故選：A．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知，，三點(diǎn)共線，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線斜率存在，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得，故答案為：.12.已知圓，則圓心坐標(biāo)為__________，當(dāng)圓與軸相切時(shí)，實(shí)數(shù)的值為_____________.【答案】4【解析】由，配方得，所以圓心C的坐標(biāo)為；當(dāng)圓與軸相切時(shí)，則有，解得.13.已知平面過點(diǎn)三點(diǎn)，直線與平面垂直，則直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，所以，所以，取，所以，又因?yàn)橹本€與平面垂直，所以直線的方向向量與平面的法向量共線，所以可取方向向量為（不唯一，非零共線即可），故答案為：（答案不唯一）.14.直線和與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的四邊形的面積為_____．【答案】【解析】令中，得，所以與軸交于，令中，得，所以與軸交于，由可得，所以兩直線交于，所以圍成的四邊形面積為.15.如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，為棱（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得平面；③當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最小；④當(dāng)與重合時(shí)，直線與直線所成角的余弦值最小.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②④【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，①因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，不符合題意，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，故②正確；③設(shè)到平面的距離為，所以，且為定值，所以當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積最小，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，取，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)有最小值，故③錯(cuò)誤；④設(shè)直線與直線所成角為，因?yàn)?，所以，令，所以，所以，因?yàn)?，所以時(shí)取最大值，此時(shí)取最小值，此時(shí)，即與重合，故④正確；故答案為：②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知平面內(nèi)兩點(diǎn).（1）求的中垂線方程；（2）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程．解：（1），，∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴AB的中垂線斜率為.∴由點(diǎn)斜式可得，∴AB的中垂線方程為.（2）由點(diǎn)斜式，∴直線的方程.17.已知圓的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求直線：與圓相交的弦長(zhǎng).解：（1）令圓心為且，∴由圓與相切，有，即可得.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知：，，∴到直線的距離為，∴直線與圓相交的弦長(zhǎng)為.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且．（1）求直線與直線所成角的大??；（2）求直線PD與平面PAC所成角的正弦值．解：（1）由于平面，平面，所以，由于，所以兩兩相互垂直.以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，由于，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線PD與平面PAC所成角為，則.19.已知圓過三點(diǎn)，直線．（1）求圓的方程；（2）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程；（3）若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值．解：（1）設(shè)圓的方程為，代入，則，解得，所以圓的方程為；（2）設(shè)，由對(duì)稱關(guān)系可知，解得，所以，又因?yàn)閷?duì)稱圓的半徑不變，所以的方程為；（3）因?yàn)?，由?）可知關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，即的最小值為.20.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，Q為PD的中點(diǎn)，，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）證明：若選①，由于平面平面，且交線為，平面，，所以平面.若選②，由于，，平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，A0,0,0，，，所以，，由（1）知平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面與平面夾角的為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：由已知得，，所以點(diǎn)到平面的距離為.21.已知圓：及其上一點(diǎn)．（1）若圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓相交的另一交點(diǎn)為，且為直角三角形，求的方程；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）圓的方程可化為，所以