單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2023/2/21《振動(dòng)力學(xué)》教學(xué)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析瞬態(tài)激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/22什么是自由度在振動(dòng)過(guò)程中任何瞬時(shí)都能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。剛體在空間有6個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)和繞三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，如飛機(jī)、輪船；質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)，如高爾夫球；質(zhì)點(diǎn)在平面有2個(gè)自由度：兩個(gè)方向的移動(dòng)，加上約束則成為單自由度。單自由度系統(tǒng)僅需一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述的系統(tǒng)。注意：對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)考慮問(wèn)題的深度、廣度不同時(shí)，則可能簡(jiǎn)化成不同自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。1.1概述2023/2/231.1概述構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素有慣性(質(zhì)量)、恢復(fù)性（彈簧）和阻尼（阻尼器）。

慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去的性質(zhì)。

恢復(fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。

阻尼就是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動(dòng)能的元素，恢復(fù)性是貯存勢(shì)能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。2023/2/24ModelingWhy？分析復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就稱為建模。建模要抓住實(shí)際問(wèn)題的主要因素。模型建立起來(lái)了，實(shí)際問(wèn)題化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題。1.1概述單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/251.1概述Modeling實(shí)際系統(tǒng)有限元模型離散模型簡(jiǎn)化系統(tǒng)簡(jiǎn)化系統(tǒng)連續(xù)體模型對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題的適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣，能詳細(xì)給出各種數(shù)值結(jié)果，并通過(guò)圖像顯示還可以形象地描述振動(dòng)過(guò)程。單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/261.1概述動(dòng)力學(xué)的基本原理自由度和廣義坐標(biāo)牛頓第二定律質(zhì)系動(dòng)量矩定理機(jī)械能守恒定律D’Alembert原理Lagrange方程單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/271.1概述步驟：

建立廣義坐標(biāo)作質(zhì)量元件的隔離體受力分析圖建立振動(dòng)微分方程并整理成標(biāo)準(zhǔn)的形式單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/281.1概述Example1SDOFdampingsystem單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/291.1概述SDOFdampingsystem建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點(diǎn)在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。

隔離體受力分析由力學(xué)原理得到Example2單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2101.1概述PendulumExample3單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2111.1概述Pendulum建立廣義坐標(biāo)。單擺偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角θ，坐標(biāo)零位在鉛垂位置，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。隔離體受力分析

由動(dòng)量矩原理得到Example3Rmg單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2121.1概述VibrationoffluidExample4單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2131.1概述Vibrationoffluid建立廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)液面的位置為廣義坐標(biāo)的零位，液柱沿直管上升的距離y為廣義坐標(biāo)。

受力分析由D’Alembert原理得到Example4單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2141.1概述單自由度振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的一般形式單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程2023/2/2152023/2/216力學(xué)模型給圖示系統(tǒng)一個(gè)初始擾動(dòng)。便會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)響應(yīng)。其中δs為靜變形。數(shù)學(xué)模型

即：1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)令：?jiǎn)挝唬夯《?秒（rad/s）則有：固有頻率2023/2/217求解方程1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)令得到特征方程有If微分方程轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程

2023/2/2181.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/2191.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)

固有頻率固有圓頻率固有頻率

周期

振幅&相位只與系統(tǒng)本身元件的參數(shù)有關(guān)InitialconditionsPhysicalproperties無(wú)阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)特性2023/2/220

考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)

設(shè)的初始位移和初始速度為：解得：1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)零初始條件下的自由振動(dòng)：2023/2/221零初始條件下的自由振動(dòng)：無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止。初始條件的說(shuō)明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能。1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/222零初始條件下的自由振動(dòng)：無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止。初始條件：固有頻率從左到右：時(shí)間位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/223固有頻率計(jì)算的另一種方式：

在靜平衡位置：則有：對(duì)于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測(cè)出靜變形，則用該式計(jì)算是較為方便的。0mu靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/224例：提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。W1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/225解：振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置則t=0時(shí)，有：振動(dòng)解：W靜平衡位置kuWv1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/226振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/227例：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞梁長(zhǎng)L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度mh0l/2l/21.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/228解：由材料力學(xué)：自由振動(dòng)頻率為：取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/229撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則t=0

時(shí)，有：則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大擾度：mh0l/2l/2u靜平衡位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/230例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置扭振固有頻率為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/231由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。0mu靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/232從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。0mu靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/233例：復(fù)擺剛體質(zhì)量m對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率a0C1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/234解：由牛頓定律：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：則有：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法若已測(cè)出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：a0C1.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/235例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，且速度為零求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程m300重力角速度取9.81.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/236解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)初始條件：考慮方向初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：m3001.2無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/237作業(yè)1P44題1-3P45題1-52023/2/2382023/2/239等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)多個(gè)質(zhì)量（彈性、阻尼）元件等效為一個(gè)質(zhì)量（剛度、阻尼）元件。連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性等效成一個(gè)質(zhì)量元件和一個(gè)彈性元件。單自由度振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的一般形式平動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：2023/2/240等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計(jì)算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變。斜向布置的彈簧等效彈簧剛度2023/2/241等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計(jì)算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變。并聯(lián)和串聯(lián)彈簧2023/2/242等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)1等效剛度計(jì)算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變。并聯(lián)彈簧Parallelsprings等效彈簧剛度2023/2/243等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)SeriesSprings串聯(lián)彈簧等效彈簧剛度1等效剛度計(jì)算方法：1從剛度的定義。

2等效前后系統(tǒng)勢(shì)能不變。2023/2/244等效系統(tǒng)1.3等效單自由度系統(tǒng)Example求圖示系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的等效質(zhì)量Spring-lever-masssystem等效前系統(tǒng)的動(dòng)能等效后系統(tǒng)的動(dòng)能∵2等效質(zhì)量

等效前后系統(tǒng)動(dòng)能不變2023/2/245作業(yè)mk1k2k3k4已知:

m

=0.3kg求等效剛度ke和固有頻率2023/2/2462023/2/247阻尼自由振動(dòng)前面的自由振動(dòng)都沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/248粘性阻尼力與相對(duì)速度稱正比，即：c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)單位：數(shù)學(xué)模型：或?qū)憺椋汗逃蓄l率相對(duì)阻尼系數(shù)

mkcmu0力學(xué)模型取坐標(biāo)如圖，靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。據(jù)牛頓定律寫出運(yùn)動(dòng)微分方程：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/249動(dòng)力學(xué)方程：設(shè)有特解：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼求解方程代入微分方程得：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/250第一種情況：欠阻尼動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率通解：a1、a2：初始條件決定一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/251欠阻尼振動(dòng)解：設(shè)初始條件：則：或：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/252欠阻尼振動(dòng)解：阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期：T0：無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期特性一：阻尼自由振動(dòng)的周期大于無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/253欠阻尼響應(yīng)圖形振動(dòng)解：特性二：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)ξ=0ξ<1時(shí)間位置阻尼大，則振動(dòng)衰減快；阻尼小，則衰減慢1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/254評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響與t

無(wú)關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為衰減振動(dòng)的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部減幅系數(shù)定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/255減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰減率：特性三：振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減。1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/256

第二種情況：過(guò)阻尼動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根通解：a1、a2：初始條件決定1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/257設(shè)初始條件：則：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生響應(yīng)圖形振動(dòng)解：過(guò)阻尼1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/258動(dòng)力學(xué)方程：特征方程：特征根：特征根：二個(gè)重根通解：a1、a2：初始條件決定

第三種情況：臨界阻尼1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/259振動(dòng)解：臨界阻尼則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些臨界阻尼系數(shù)設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/260tu(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/261小結(jié)：動(dòng)力學(xué)方程欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過(guò)阻尼衰減快振幅衰減振動(dòng)1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/262例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過(guò)平衡位置的最大位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對(duì)阻尼系數(shù)kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/263解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時(shí)刻t1

質(zhì)量越過(guò)平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為：即經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅u1kcu0u0Pm平衡位置1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/264由題知解得：1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/265例：剛桿質(zhì)量不計(jì)求：（1）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/266解：阻尼固有頻率：無(wú)阻尼固有頻率：m廣義坐標(biāo)力矩平衡：受力分析lakcmb1.4有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)2023/2/2672023/2/268阻尼在所有振動(dòng)系統(tǒng)中是客觀存在的大多數(shù)是非粘性阻尼，其性質(zhì)各不相同非粘性阻尼的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜處理方法之一：采用能量方法將非粘性阻尼簡(jiǎn)化為等效粘性阻尼原則：等效粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量等于要簡(jiǎn)化的非粘性阻尼在同一周期內(nèi)消耗的能量1.5等效粘性阻尼討論以下幾種非粘性阻尼情況：干摩擦阻尼低粘度流體阻尼結(jié)構(gòu)阻尼2023/2/269（1）干摩擦阻尼（庫(kù)侖阻尼）摩擦力：：摩擦系數(shù)：正壓力：符號(hào)函數(shù)摩擦力一個(gè)周期內(nèi)所消耗地能量：等效粘性阻尼系數(shù)：1.5等效粘性阻尼2023/2/270（2）低粘度流體阻尼工程背景：低粘度流體中以較大速度運(yùn)動(dòng)地物體：阻力系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：阻尼力與相對(duì)速度地平方成正比，方向相反摩擦力：在運(yùn)動(dòng)方向不變的半個(gè)周期內(nèi)計(jì)算耗散能量，再乘2：1.5等效粘性阻尼2023/2/271（3）結(jié)構(gòu)阻尼由于材料為非完全彈性，在變形過(guò)程中材料的內(nèi)摩擦所引起的阻尼稱為結(jié)構(gòu)阻尼：比例系數(shù)等效粘性阻尼系數(shù)：特征：應(yīng)力－應(yīng)變曲線存在滯回曲線內(nèi)摩擦所耗散的能量等于滯回環(huán)所圍的面積：加載和卸載沿不同曲線應(yīng)變應(yīng)力加載卸載01.5等效粘性阻尼2023/2/2722023/2/2731.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在外力作用下引發(fā)的振動(dòng)。受迫振動(dòng)也稱強(qiáng)迫振動(dòng)．2023/2/274彈簧－質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)設(shè)外力幅值外力的激勵(lì)頻率

mkcu0m力學(xué)模型1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)數(shù)學(xué)方程2023/2/275振動(dòng)微分方程：顯含時(shí)間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)本節(jié)內(nèi)容1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)振動(dòng)微分方程的解2023/2/2761.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)其中,u1(t)為相應(yīng)齊次方程的解瞬態(tài)響應(yīng)

u2(t)為方程的特解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動(dòng)微分方程的解2023/2/2771.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)系統(tǒng)的全響應(yīng)為:上式中的待定系數(shù)由初始條件確定，當(dāng)時(shí)，R不一定為零，這是它與自由振動(dòng)的區(qū)別。表示有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)，它是衰減振動(dòng)，僅在振動(dòng)開(kāi)始后一段時(shí)間內(nèi)有意義，屬于瞬態(tài)解表示受迫振動(dòng)響應(yīng)，它是持續(xù)的等幅振動(dòng)，屬于穩(wěn)態(tài)解。振動(dòng)微分方程的解2023/2/278（1）線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡(jiǎn)諧振動(dòng)（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的方式（即初始條件）無(wú)關(guān)結(jié)論：1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/279穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性以λ為橫坐標(biāo)畫(huà)出曲線幅頻特性曲線簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：（1）當(dāng)λ<<1（）激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低結(jié)論：響應(yīng)的振幅A與靜位移B相當(dāng)01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/280穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（2）當(dāng)λ>>1（）激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高結(jié)論：響應(yīng)的振幅很小01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/281穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域

λ>>1，λ<<1結(jié)論：系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的對(duì)應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響不顯著01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/282穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性結(jié)論：共振振幅無(wú)窮大（4）當(dāng)對(duì)應(yīng)于較小值，迅速增大當(dāng)?shù)舱駥?duì)于來(lái)自阻尼的影響很敏感，在λ=1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/283穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在λ=1處，而且稍偏左01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/284穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（6）當(dāng)振幅無(wú)極值01230123451.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/285穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性記：品質(zhì)因子在共振峰的兩側(cè)取與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)，帶寬Q與有關(guān)系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/286穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性相頻特性曲線（1）當(dāng)λ<<1（）以s為橫坐標(biāo)畫(huà)出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當(dāng)λ>>1（）位移與激振力反相（3）當(dāng)共振時(shí)的相位差為，與阻尼無(wú)關(guān)01230901801.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/287有阻尼單自由度系統(tǒng)外部作用力規(guī)律：假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：從左到右：1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/288高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來(lái)源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為u：機(jī)器離開(kāi)平衡位置的垂直位移則偏心質(zhì)量的垂直位移：由達(dá)朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動(dòng)力學(xué)方程：簡(jiǎn)化圖形muceMcuMcuem偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/289me

：不平衡量：不平衡量引起的離心慣性力設(shè)：得：Mcu1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/290B又寫為：1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/291muceMcuMcuem偏心質(zhì)量小結(jié)解1：解2：1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/292例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)共振時(shí)測(cè)得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？muceMcu1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/293解:（1）共振時(shí)測(cè)得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為共振時(shí)最大振幅（2）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01mmuceMcu1.6簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/2942023/2/295背景：地基振動(dòng)特點(diǎn)：激振慣性力的振幅與頻率的平方成正比例坐標(biāo)：動(dòng)力學(xué)方程：基座位移規(guī)律：u1

相對(duì)基座位移mm受力分析ufkcmu0mkuufcD：基座位移振幅1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/296動(dòng)力學(xué)方程：回顧：令：有：其中：1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/2970.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/298有阻尼的單自由度承受支撐運(yùn)動(dòng)支撐運(yùn)動(dòng)：系統(tǒng)固有頻率從左到右：1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/299若以絕對(duì)位移u為坐標(biāo)其中：則有：ufkcmu0mkuufc1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/21001.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/2101代入：無(wú)阻尼情況：ukcmu0mkuufc1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/2102幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當(dāng)時(shí)，振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D當(dāng)時(shí)，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大ufkcmu0mkuufc1.7基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)2023/2/2103習(xí)題mk1k2已知:求m

為多大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生共振2023/2/2104作業(yè)P45題1-112023/2/21052023/2/2106將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，以減少對(duì)環(huán)境的影響稱為第一類隔振（隔力）主動(dòng)隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：m隔振前kcm隔振后1.8振動(dòng)的隔離第一類隔振（隔力）2023/2/2107隔振后通過(guò)k、c傳到地基上的力：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動(dòng)的隔離2023/2/2108主動(dòng)隔振系數(shù)＝隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振后通過(guò)k、c傳到地基上的力：隔振系數(shù)：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后1.8振動(dòng)的隔離2023/2/2109例：機(jī)器安裝在彈性支承上已測(cè)得固有頻率阻尼比參與振動(dòng)的質(zhì)量是880kg機(jī)器轉(zhuǎn)速n＝2400r/min

不平衡力的幅值1470N求：（1）機(jī)器振幅，（2）主動(dòng)隔振系數(shù)（3）傳到地基上的力幅解：頻率比：彈性支承的剛度：機(jī)器振動(dòng)的振幅：主動(dòng)隔振系數(shù)：傳到地基上的力幅：1.8振動(dòng)的隔離2023/2/2110將地基的振動(dòng)與機(jī)器設(shè)備隔離，以避免將振動(dòng)傳至設(shè)備，稱為第二類隔振（隔幅）被動(dòng)隔振系數(shù)＝隔振后設(shè)備的振幅隔振前設(shè)備的振幅基礎(chǔ)位移：隔振前振幅：D隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：m隔振前kcm隔振后1.8振動(dòng)的隔離第二類隔振（隔幅）2023/2/21112023/2/2112前面討論的強(qiáng)迫振動(dòng)，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，但實(shí)際工程問(wèn)題中遇到的大多是周期激勵(lì)而很少為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。

周期函數(shù)的激勵(lì)付氏級(jí)數(shù)即表示為簡(jiǎn)諧函數(shù)之和的激勵(lì)。具體步驟：將任意周期激勵(lì)分解為各簡(jiǎn)諧激勵(lì)（展開(kāi)成付氏級(jí)數(shù)）；求單個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)；求各簡(jiǎn)諧激勵(lì)響應(yīng)的和，得到任意周期激勵(lì)的響應(yīng)

運(yùn)用線性系統(tǒng)的疊加原理求解。1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2113假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力：T0

為周期傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：記基頻：記：n

的偶函數(shù)n

的奇函數(shù)為任一時(shí)刻1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2114運(yùn)動(dòng)微分方程：疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：不計(jì)阻尼時(shí)：代表著平衡位置當(dāng)作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形周期激勵(lì)通過(guò)傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加，這種對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為諧波分析法

1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2115例：質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì)求系統(tǒng)響應(yīng)1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2116解：激勵(lì)的周期：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率激勵(lì)力的基頻：因

a0

一周期內(nèi)總面積為0=0區(qū)間內(nèi)，關(guān)于為反對(duì)稱，而關(guān)于對(duì)稱=01.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2117區(qū)間內(nèi)關(guān)于為對(duì)稱

而n取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于反對(duì)稱

區(qū)間內(nèi)關(guān)于為對(duì)稱

而n取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于反對(duì)稱

因此1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析2023/2/2118當(dāng)n取奇數(shù)時(shí)于是，周期性激勵(lì)F(t)

可寫為：1.9周