拋物線一、考點(diǎn)分解掌握拋物線的定義，會熟練地求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2、掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)3、會用方程組思想、弦長公式、點(diǎn)差法等方法處理直線與拋物線相交問題二、考點(diǎn)分類（一）拋物線的定義1、（湖南卷文5）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（B）A.4B.6C.8D.122、拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（C）(A)1(B)2(C)4(D)83、設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為L,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥L,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（B）(A)(B)8(C)(D)164、已知動圓M與直線y=3相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程．方法歸納：當(dāng)題中出現(xiàn)一定點(diǎn)和一定直線時，要先考慮是否滿足拋物線的定義，拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離相等，兩者可轉(zhuǎn)化，這是利用拋物線的定義解題的關(guān)鍵。（二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程5、拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為6、一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（A．m B．2m C．4.5m D．9m7、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M（－3，m）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．方法歸納：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是：一次項(xiàng)定對稱軸，一次項(xiàng)的系數(shù)定開口方向，焦點(diǎn)在對稱軸上。求拋物線的方程時要特別注意焦點(diǎn)的位置和開口方向。（三）焦點(diǎn)弦8、已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，｜AF｜＝2，則｜BF｜＝29、過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，如果x1+x2=6，那么|AB|= （A）A．8 B．10 C．6 D．410、過拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于 （C）A．2a B． C．4a D．方法歸納：若為拋物線的焦點(diǎn)弦，A(x1,y1)、B(x2,y2),弦的中點(diǎn)M(x,y)，則有下列結(jié)論：①x1x2=②y1y2=-p2③弦長L=x1+x2+p，x1+x2≥=p，（當(dāng)x1=x2時，通徑最短為2P）④弦長L=（θ為直線AB的傾斜角）⑤+=⑥以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。（四）直線與拋物線11、過點(diǎn)M（2，4）作與拋物線y2=8x只有一個公共點(diǎn)的直線l有 （C） A．0條 B．1條 C．2條 D．3條12、已知拋物線與直線，“”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點(diǎn)”的 （B）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件；C．充要條件 D．既不充分也不必要條件13、已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（B）A.B.C.D.14、（福建卷文19）已知拋物線C的方程C：y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（1，-2）.（I）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于？若存在，求出直線L的方程；若不存在，說明理由。方法歸納：直線與拋物線的位置關(guān)系一般用幾何法或判別式法來判斷。直線與拋物線相交問題，一般用設(shè)而不求或點(diǎn)差法處理，其弦長公式與橢圓及雙曲線相同。（五）向量與拋物線15、把與拋物線y2=4x關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是（C） A． B．C． D．16、（全國Ⅱ5文15）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與的一個交點(diǎn)為．若，則17、（全國Ⅰ卷理21文22）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為D.（Ⅰ）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（Ⅱ）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程.18、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，，求的值．解：（1）設(shè)橢圓C的方程為，拋物線方程化為，其焦點(diǎn)為，橢圓C的一個頂點(diǎn)為，即，…………3分由，得，∴橢圓C的方程為．……………………6分（2）由（1）得，…………7分設(shè)，，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入，并整理得，………9分∴．………10分又，，由，，得，，∴，………………12分∴．………………14分方法歸納：一般將圓錐曲線中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系或坐標(biāo)關(guān)系。（六）和拋物線有關(guān)的最值問題19、拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （） A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）20、已知拋物線．過動點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值．方法歸納：解決有關(guān)拋物線的最值問題時：1、一般方法是由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法求解，也可用基本不等式求解。2、具備定義背景的最值問題，可用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題用判別式求解。三、練習(xí)：1、已知等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于拋物線y2=x的焦點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為____2-EQ\r(,3)或2+EQ\r(,3)2、已知點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上，則x2+EQ\f(1,2)y2+3的最小值是__43、若點(diǎn)（3，1）是拋物線y2=2px(p>0)的一條弦的中點(diǎn)，且弦的斜率為2，則24、若EQ\r(,(x+3)2+(y-1)2)=EQ\f(|x-y+3|,EQ\r(,2))，則點(diǎn)M(x,y)的軌跡為________(填曲線的類型)拋物線5、過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)C．若EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(CB))=2EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(BF))，則直線AB的斜率為____±EQ\r(,3)6、過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則EQ\f(|AF|,|FB|)=____EQ\f(2-EQ\r(,3),3)7、已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱.直線4x-3y-2=0與圓C相交于兩點(diǎn)，且|AB|=6,則圓C的方程為_____x2+(y-1)2=10.8、若曲線y2=|x|+1與直線y＝kx＋b沒有公共點(diǎn)，則k、b分別應(yīng)滿足的條件是k=0且b∈(-1,1)9、已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線EQ\f(x2,a2)-EQ\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（B）. A．EQ\f(EQ\r(,5)+1,2) B．EQ\r(,2)+1 C．EQ\r(,3)+1 D．EQ\f(2EQ\r(,2)+1,2)10、已知、是拋物線y2=2px(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，則“EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))=0”是“直線恒過定點(diǎn)(2p,0)”的（B）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件11、已知拋物線C:y=2x2的圖象與拋物線C的圖象關(guān)于直線y=-x對稱，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是(B)（A）x=-EQ\f(1,8)（B）x=EQ\f(1,2)（C）x=EQ\f(1,8)（D）x=-EQ\f(1,2)12、已知定點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)P為拋物線y2=4x上一動點(diǎn)，點(diǎn)P到直線x=－1的距離為d，則|PA|+d的最小值為（A）A．2EQ\r(,5)B．2C．4EQ\r(,2)D．4EQ\r(,5)13、若點(diǎn)到直線y=-1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為（A）=12y=12x=4yD.x2=6y14、過拋物線y2=x的焦點(diǎn)F的直線l的傾斜角θ≥EQ\f(π,4),直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上方，則|FA|的取值范圍是（A）A（EQ\f(1,4),1+EQ\f(EQ\r(,2),2)]B.（EQ\f(1,4),1]C.[EQ\f(1,4),+∞)D.[EQ\f(1,2),+∞)15、拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在拋物線上，且存在實(shí)數(shù)λ，使EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(AF))+λEQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(BF))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(0))，|EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(AB))|=EQ\f(25,4)．（1）求直線AB的方程；（2）求△AOB的外接圓的方程．解：（1）拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1·······1分∵EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(AF))+λEQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(BF))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(0))，∴A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線．·········2分由拋物線的定義，得|EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(AB))|=x1+x2+2．··········3分設(shè)直線AB：y=k(x-1)，而k=EQ\f(y1-y2,x1-x2),x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0······4分由EQ\B\lc\{(\a\al(y=k(x-1),y2=4x,))得k2x2-2(k2+2)x+k2=0∴EQ\B\lc\{(\a\al(x1+x2=EQ\f(2(k2+2),k2),x1x2=1,))·········6分|EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(AB))|=x1+x2+2=EQ\f(2(k2+2),k2)+2=EQ\f(25,4)|∴k2=EQ\f(16,9)········8分從而k=EQ\f(4,3)，故直線AB的方程為y=EQ\f(4,3)(x-1)，即4x-3y-4=0········9分（2）由EQ\B\lc\{(\a\al(4x-3y-4=0,y2=4x,))得A（4,4），B（EQ\f(1,4),-1）·········10分設(shè)△AOB的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0則EQ\B\lc\{(\a\al(F=0,16+16+4D+4E+F=0,1,16+1+1,4D+(-E)+F=0,))解得EQ\B\lc\{(\a\al(D=-EQ\f(29,4),E=-EQ\f(3,4),F=0,))·········14分故△AOB的外接圓的方程為x2+y2-EQ\f(29,4)x-EQ\f(3,4)y=0．·········15分16、在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=EQ\f(5,3)。（1）求C1的方程；（2）平面上的點(diǎn)N滿足EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MN))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF1))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF2))，直線l∥MN，且與C1交于A、B兩點(diǎn)，若EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))=0，求直線l的方程。解：（Ⅰ）由：y