損失厭惡投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇理論的研究進(jìn)展現(xiàn)代投資組合理論主要由投資組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價模型、有效市場理論以及行為金融理論等局部組成.它們的開展極大地改變了過去主要依賴根本分析的傳統(tǒng)投資管理理論，使現(xiàn)代投資管理日益朝著系統(tǒng)化、科學(xué)化和組合化的方向開展.均值方差模型是由arkitz[1]提出的衡量風(fēng)險的模型，其中投資者的收益和風(fēng)險通過均值和方差來刻畫，創(chuàng)始了理性投資者在金融市場中投資的新領(lǐng)域.在arkitz[1]和Tbin[2]的工作根底上，Sharpe[3]提出了資本資產(chǎn)定價模型，該模型在不確定情形下介紹了資產(chǎn)定價問題，也為投資組合理論和投資理論奠定了根底.有效市場假說是由Faa[4]深化并提出的，他指出價格信息的完全公開是有效市場的根底，在此根底上就不能根據(jù)過去的價格信息來進(jìn)展投資獲利.對于資本資產(chǎn)定價模型所存在的缺陷，Rss[5]提出了套利定價理論模型，該模型使得在投資組合的運(yùn)用更加廣泛，從而使現(xiàn)代投資組合理論更加完善.隨后，投資組合選擇問題一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題之一，特別是動態(tài)投資組合選擇問題.動態(tài)的消費(fèi)與投資組合決策的研究問題可以追溯到Sauelsn[6]，他利用動態(tài)規(guī)劃的方法求解了一個離散時間的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇的多期模型.其后，ertn[7]提出在隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃所刻畫的不確定環(huán)境下，具有連續(xù)時間的最優(yōu)跨期消費(fèi)和投資組合策略.在ertn初步研究了連續(xù)時間模型中的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合規(guī)那么之后，ne等[8]研究了在時變的投資時機(jī)集下的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合；Liu[9]分析了帶有一般仿射或者是二次型市場構(gòu)造的投資組合選擇，當(dāng)資產(chǎn)價格是二次的并且代理人有一個常數(shù)相對風(fēng)險厭惡系數(shù)〔RRA〕時，明確地得出了動態(tài)投資組合的解；Ki等[10]研究了投資者的動態(tài)非短視投資組合行為全部來自于HARA效用函數(shù)和隨機(jī)風(fēng)險溢價的問題，最后得出最優(yōu)的投資組合；ahter[11]假設(shè)投資者的偏好構(gòu)造為冪效用函數(shù)，而且是常利率，但是股票的價格服從均值回復(fù)過程，并且在完備市場下得出最優(yōu)策略的閉式解，這是與之前的求解方法不同的，之前的都是近似解、數(shù)值方法或者投資者的消費(fèi)沒有假定在整個生命周期內(nèi)；unk[12]研究了學(xué)報〔自然科學(xué)版〕，2022，9〔4〕：437444JurnalfNanjingUniversityfInfratinSieneandTehnlgy〔NaturalSieneEditin〕，2022，9〔4〕：437444羅旭，等.損失厭惡投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇理論的研究進(jìn)展.LUXu，etal.Researhadvanesnthetheryfptialnsuptinandprtflifrlssaversin.投資者有習(xí)慣形成偏好，并且在完備的市場下有時變的投資時機(jī)集的動態(tài)消費(fèi)和投資組合選擇問題.關(guān)于動態(tài)投資組合選擇問題學(xué)者們也從各自不同的角度進(jìn)展了深化的研究.Faa等[13]研究了紅利收益和股票預(yù)期收益的問題，其中股票收益是通過回歸的R2來度量的，而且隨著投資區(qū)間的增加而增加；K[14]考慮了帶有未投保的勞動收入風(fēng)險以及無限時間區(qū)間下的投資組合選擇模型；apbell等[15]提出了一種基于消費(fèi)的模型，并且這種模型解釋了股票收益的周期性變化、股票市場波動率的反周期性等各種動態(tài)資產(chǎn)定價現(xiàn)象，通過股票的歷史數(shù)據(jù)應(yīng)用到模型中，也解釋了短期和長期的股權(quán)溢價之謎；等[16]解決了一個帶有不可交易的勞動收入和借貸約束下的消費(fèi)與投資組合選擇的實際校準(zhǔn)的生命周期模型問題，在這里由于勞動收入為無風(fēng)險資產(chǎn)的替代品，投資在股票上的最優(yōu)比例是隨著年齡的增長而逐漸減少的，并且發(fā)現(xiàn)人力資本對投資行為的重要性，從而忽略勞動收入產(chǎn)生較大的效用本錢.在投資組合理論求解方面，一些學(xué)者做出了很大的奉獻(xiàn).ertn[17]首次提出在隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃所刻畫的不確定環(huán)境下，具有連續(xù)時間的最優(yōu)跨期消費(fèi)和投資組合策略；Karatzas等[18]給出了對于值函數(shù)和最優(yōu)消費(fèi)和投資組合策略的閉式解，其中投資區(qū)間是無限期的；更進(jìn)一步的Karatzas等[19]研究了在有限區(qū)間內(nèi)的小投資者的最優(yōu)投資組合和消費(fèi)問題，在使得消費(fèi)效用和終端財富效用最大化的根底上，給出了最優(yōu)的消費(fèi)和財富過程；x等[20]研究了在不確定的環(huán)境下，考慮一個連續(xù)時間的消費(fèi)投資組合問題，當(dāng)消費(fèi)和終端財富存在非負(fù)的約束，鞅方法能刻畫最優(yōu)的消費(fèi)投資組合策略，不像動態(tài)規(guī)劃的非線性偏微分方程，這里的最優(yōu)策略的檢驗定理涉及一個線性的偏微分方程；Shrder等[21]利用對偶技術(shù)與鞅方法把帶有線性的內(nèi)部習(xí)慣形成的消費(fèi)與投資組本文由論文聯(lián)盟.Ll.搜集整理合選擇模型轉(zhuǎn)化為沒有線性的內(nèi)部習(xí)慣形成的對偶的消費(fèi)與投資組合選擇模型，并且得出最優(yōu)解.1損失厭惡下的消費(fèi)和投資組合理論20世紀(jì)以來，以資本資產(chǎn)定價模型和現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論為根底，標(biāo)準(zhǔn)金融理論確立了在金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的地位，成為現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)理論的主流.但是，隨著金融市場上各種異常現(xiàn)象的累積以及人們對金融異?，F(xiàn)象研究的日益重視，標(biāo)準(zhǔn)金融理論受到了很大的挑戰(zhàn)，其理論上的日漸完善以及其在理論指導(dǎo)意義上的蒼白無力，由此促成了一批力圖解釋金融異?，F(xiàn)象的全新金融理論逐漸興起，行為金融理論就是其中之一.行為金融理論是在對標(biāo)準(zhǔn)金融理論的挑戰(zhàn)和質(zhì)疑的背景下形成的，使得我們看到了金融理論與實際的溝壑有了彌合的可能.行為金融理論將人類心理和行為納入金融的研究框架中.1979年，Kahnean等[22]提出了展望理論，使之成為行為金融研究中的代表學(xué)說.由于標(biāo)準(zhǔn)金融理論受到了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，近來許多國外學(xué)者研究了在行為金融下的消費(fèi)與投資組合相關(guān)的問題.首先一些學(xué)者研究了消費(fèi)習(xí)慣偏好的問題.例如，Abel[23]研究了習(xí)慣形成和消費(fèi)攀比的資產(chǎn)定價；nstantinides[24]說明了代理人變得習(xí)慣于消費(fèi)確實定程度；Deteple等[25]研究了在習(xí)慣形成下的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合選擇模型，解釋了基于消費(fèi)的資產(chǎn)定價，并且解釋了在帶有低的風(fēng)險厭惡時的模型中，高程度的股權(quán)溢價和逆周期變化的現(xiàn)象.在經(jīng)濟(jì)衰退時期，當(dāng)消費(fèi)低于習(xí)慣時，股票的回報率很低，因此投資者對于持有的股票需要一個高的溢價.這些文獻(xiàn)說明代理人相對于參考程度會估計和調(diào)整消費(fèi)程度.目前的金融信托產(chǎn)品正在緩慢地與投資組合的偏好聯(lián)絡(luò)在一起，而且有許多學(xué)者正在嘗試將整個生命周期內(nèi)的消費(fèi)與投資組合的理論應(yīng)用到理論中.一些學(xué)者在研究損失厭惡下的消費(fèi)和投資組合問題時，通常會把參考點(diǎn)考慮為常數(shù)，所以由上述文獻(xiàn)可以知道，考慮參考點(diǎn)使內(nèi)部動態(tài)性更新得比擬貼合實際.其次，在展望理論下，假定效用函數(shù)是分段的冪效用函數(shù)，并且效用函數(shù)有以下幾條性質(zhì)：參考依賴性、損失厭惡、敏感度遞減規(guī)律，所以為了使理論能更好地解釋理論問題，我們在展望理論根底上研究損失厭惡下的消費(fèi)和投資組合問題.關(guān)于在損失厭惡下的投資組合問題有許多學(xué)者做出了奉獻(xiàn).例如，Ges[26]研究了損失厭惡型投資者的投資組合選擇與交易量，最后在平衡的背景下模型得出交易量與股票收益波動率是正相關(guān)的，但卻不是線性的；Kszegi等[27]得出一個參考依賴和損失厭惡的模型，其中收益損失效用來自于標(biāo)準(zhǔn)的消費(fèi)效用，并且參考點(diǎn)是通過經(jīng)濟(jì)環(huán)境內(nèi)生性確定的；Barberis等[28]研究了展望理論與資產(chǎn)定價問題，投資者的效用不僅依賴于消費(fèi)而且依賴于他們金融財富價值的波動，在這些因素的影響下，他們是損失厭惡的，并且損失厭惡的程度依賴于他們先前的投資偏好，而且在這種框架下能幫助解釋股票回報預(yù)期的高均值和超額波動率；Jin等[29]研究了在展望理論下的一般連續(xù)時間行為投資組合選擇模型，而且展望理論的特征有S型的效用函數(shù)和扭曲概率，并且假定在完備的市場和資產(chǎn)價格滿足一般的伊藤過程下，給出了一個從根本上不同于用于求解效用模型的系統(tǒng)方法，這個方法被開展用于求解一個適用的模型；Grne等[30]研究了帶有損失厭惡下的資產(chǎn)定價問題，并且采用隨機(jī)增長模型，使用帶有自適應(yīng)網(wǎng)格方案的動態(tài)規(guī)劃方法的一個隨機(jī)版本，以確定模型的資產(chǎn)價格特征與損失厭惡偏好，結(jié)果說明，考慮損失厭惡情緒，就可以得到一個比通常來自純粹的消費(fèi)為根底的資產(chǎn)定價模型更好的結(jié)果；Felli等[31]研究了在損失厭惡和習(xí)慣形成存在下最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長的assKpansRasey模型，并且找到了最優(yōu)的消費(fèi)途徑；Siegann[32]研究了在不確定環(huán)境下?lián)p失厭惡代理人的最優(yōu)儲蓄規(guī)那么，解決了對于損失厭惡代理人度量效用的兩期消費(fèi)和儲蓄模型，其中代理人的效用來自相對于根本程度的消費(fèi)；He等[33]研究了在連續(xù)時間下人類的希望、恐懼和渴望三種情緒對投資行為的影響，分別引入希望指數(shù)、恐懼指數(shù)和渴望指數(shù)，從而進(jìn)一步的量化了投資行為；Berkelaar等[34]研究了損失厭惡下的投資組合選擇，并且利用鞅方法求解得出了對于損失厭惡投資者的最優(yōu)投資策略，分析了在假定市場是完備的并且對于資產(chǎn)定價是服從一般的伊藤過程時，假如損失厭惡投資者服從局部投資組合保險策略，并且當(dāng)投資者的投資區(qū)間較短時，那么他相對于帶有平滑的冪效用函數(shù)的投資者來說，會考慮減少股票的初始投資組合權(quán)重.近年來，國內(nèi)也有學(xué)者研究了損失厭惡和其他影響因素對投資組合的影響.周嘉南等[35]應(yīng)用損失厭惡投資者的心理來解釋市場的異?，F(xiàn)象；徐緒松等[36]在考慮損失躲避的情形下，建立了期望效用投資組合選擇模型，其中效用函數(shù)是財富變化和終端財富的函數(shù)，最終建立投資組合模型并且對我國的股票市場進(jìn)展了實證分析；胡支軍等[37]研究了損失厭惡情形下的非線性投資組合問題，其中效用函數(shù)是終端財富的函數(shù)，由于效用函數(shù)有一局部是非光滑的，所以需要通過一個特殊函數(shù)來進(jìn)展光滑處理，最終建立了最優(yōu)的投資組合模型；金秀等[38]研究了基于動態(tài)損失厭惡投資組合情形下的優(yōu)化模型，并對其進(jìn)展了實證分析；史金艷等[39]研究了損失厭惡情況下的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題，發(fā)現(xiàn)投資者的心理對最優(yōu)消費(fèi)和投資組合策略有很大影響；米輝等[40]研究了在不完全市場條件下，而且在連續(xù)時間下?lián)p失厭惡投資者的投資組合選擇問題，投資者的偏好由一個S型的值函數(shù)定義，其中不完全市場是通過資產(chǎn)的數(shù)量和與之驅(qū)動的布朗運(yùn)動的維數(shù)不一樣來刻畫的，通過把不完全市場轉(zhuǎn)化為完全市場之后，再利用鞅方法和復(fù)制技術(shù)來求解，得到了投資者的最優(yōu)終端財富以及最優(yōu)投資策略.通過上述大量文獻(xiàn)的闡述，我們知道了投資者的損失厭惡情緒會對投資者的消費(fèi)和投資組合選擇有很大的影響.Bilsen等[41]考慮內(nèi)部習(xí)慣形成，以及展望理論下的效用函數(shù)，研究了損失厭惡以及參考程度是內(nèi)生性更新的消費(fèi)與投資組合選擇問題，分析在損失區(qū)域內(nèi)兩種對待風(fēng)險的態(tài)度：風(fēng)險愛好、風(fēng)險厭惡.其中風(fēng)險愛好和風(fēng)險厭惡與效用函數(shù)里的曲率參數(shù)的選擇有關(guān).Abdellaui等[42]指出在損失區(qū)域內(nèi)不能得出效用函數(shù)的凹凸性，所以不僅需要考慮在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)為凸的，而且還要考慮凹的情形.其中效用函數(shù)中的曲率參數(shù)決定了在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)的凹凸性.然而在損失厭惡和動態(tài)的參考程度下的消費(fèi)和投資組合問題還沒有得到更多的關(guān)注，因此根據(jù)Bilsen等[41]的工作給出下面模型.假設(shè)在金融市場中，有一個無風(fēng)險資產(chǎn)和N個風(fēng)險資產(chǎn)，其中[0，T]是連續(xù)的投資區(qū)間，那么無風(fēng)險資產(chǎn)的價格B滿足：dBtBt=rtdt，B0=1，其中r是無風(fēng)險利率過程.進(jìn)一步的N維風(fēng)險資產(chǎn)〔股票〕的價格過程滿足下面的隨機(jī)微分方程：dStSt=tdt+tdZt，S0=1N，其中，1N表示所有分量為1的N維向量，表示N維的平均回報率，表示〔NN〕的波動率過程，Z表示N維的布朗運(yùn)動.風(fēng)險市場價格過程是方程tt=ut-rt1N的解，那么唯一的狀態(tài)價格密度過程能被定義為t=exp-t0rsds-t0TsdZs-12t0‖s‖2ds.代理人的金融財富動力學(xué)方程以及相應(yīng)的消費(fèi)與投資組合策略〔，〕滿足下面的動態(tài)預(yù)算約束：dt=〔rtt+Tttt-t〕dt+TttdZt，00.在展望理論下，我們假設(shè)代理人的效用函數(shù)u〔t；t〕是通過分段的冪效用函數(shù)來表示的：u〔t；t〕=v〔t-t〕-k〔t-t〕1，tt，〔t-t〕2，tt，其中，t表示的是代理人的參考程度，并且是動態(tài)的，10和2〔0，1〕是曲率參數(shù)，k1表示的是損失厭惡指數(shù).假如消費(fèi)大于參考程度，那么代理人的效用就是正的效用，反之為負(fù)效用.假設(shè)代理的參考程度滿足：dt=〔t-t〕dt，00，其中0表示的是代理人的初始的參考程度，0是相應(yīng)的折舊參數(shù)，0表示當(dāng)前消費(fèi)對參考程度反映的程度.通過鞅方法，代理人的動態(tài)消費(fèi)與投資組合選擇問題可以轉(zhuǎn)化為下面的等價的靜態(tài)變分問題：axiizeET0exp{-t}v〔t-t〕dt，ET0ttdt0，dt=〔t-t〕dt，tt-Lt，t[0，T]，其中，0表示時間偏好的比率.另外，假定Lt是僅僅依賴于時間t，假如Lt=exp{-t}0，那么消費(fèi)被保證是非負(fù)的.我們能把t-Lt看作是代理人的最低消費(fèi)程度.最后，通過對偶技術(shù)和鞅方法求解得到最優(yōu)消費(fèi)和投資組合〔t*，t*〕.進(jìn)一步，考慮損失區(qū)域內(nèi)的風(fēng)險厭惡和風(fēng)險愛好這兩種情形，分別給出了最優(yōu)消費(fèi)與投資組合.同時，還比擬了有內(nèi)生性更新和沒有內(nèi)生性更新的情形，使得參考程度的內(nèi)生性更新意味著金融沖擊對消費(fèi)的影響是隨著時間光滑的，最后分析了相對于最優(yōu)狀態(tài)下的福利損失.Bilsen等[41]的工作表如今如下幾個方面：第一，考慮了人過去的行為會影響如今的消費(fèi)，即消費(fèi)習(xí)慣形成，且考慮參考程度是內(nèi)生性更新的；第二，利用展望理論下的效用函數(shù)來刻畫損失厭惡；第三，考慮在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)的凹凸性；第四，利用對偶技術(shù)和鞅方法來求出最優(yōu)消費(fèi)和投資組合，并進(jìn)展了數(shù)值模擬.但是，在Bilsen等[41]的工作中沒有考慮通脹因素、跳擴(kuò)散和Knight不確定的影響，所以可以在其模型的根底上分別參加以上三個因素的影響，使得模型更加貼近實際.2帶有損失厭惡的消費(fèi)和投資組合模型的拓展在研究消費(fèi)和投資組合分配問題時，為了使所建立的決策模型更加符合現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，得出的相關(guān)結(jié)論更具有實際經(jīng)濟(jì)意義，以下分別對通脹、跳擴(kuò)散和Knight不確定情形下關(guān)于消費(fèi)和投資組合的問題進(jìn)展分析，得出上述模型可以在這三個框架下進(jìn)展拓展.21通脹環(huán)境下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合對于金融市場的投資者來說，如何保證資產(chǎn)不受通貨膨脹的侵蝕，如何保證在通脹背景下實現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值，這是與每一個經(jīng)濟(jì)參與者利益親密相關(guān)的問題.因此在研究投資組合問題時，考慮通貨膨脹這一因素是有必要的.已有許多學(xué)者開場研究通貨膨脹是怎樣影響消費(fèi)和投資組合的.例如，Slnik[43]討論了通脹和最優(yōu)投資者組合選擇問題；Brennan等[44]研究了在通脹環(huán)境下投資者在有限投資區(qū)間內(nèi)資產(chǎn)的配置問題，得出了帶有冪效用函數(shù)的投資者最優(yōu)動態(tài)策略，當(dāng)投資者可以自由獲得不受約束的投資組合局部時，得到了最優(yōu)投資組合的閉型公式；unk等[45]分析了在均值回復(fù)收益、隨機(jī)利率和通脹不確定下的最優(yōu)資產(chǎn)配置；Bensussan等[46]研究了在通脹情形下，以消費(fèi)和終端財富效用最大化為目的的投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題，其中消費(fèi)籃子價格分別考慮了完全可觀察和局部可觀察的情況；Kak等[47]研究了在通脹風(fēng)險下投資者在連續(xù)時間內(nèi)的最優(yōu)消費(fèi)、投資和人身保險決策問題；FEi[48]研究了帶通脹和馬氏鏈轉(zhuǎn)換下的金融市場中，以實現(xiàn)通脹折現(xiàn)后的消費(fèi)效用最大化的目的，給出了投資者最優(yōu)消費(fèi)和投資策略的顯式解，還對給出的理論進(jìn)展了數(shù)值模擬，并給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)分析；Fei等[49]研究了在通脹環(huán)境下把馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換的最優(yōu)控制應(yīng)用到投資組合決策中，并且最優(yōu)控制法那么滿足帶有馬爾科夫機(jī)制的廣義HJB方程，然后通過廣義HJB方程，研究了在馬爾科夫機(jī)制和通脹環(huán)境下的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題；費(fèi)為銀等[50]研究了投資者在通脹環(huán)境下帶遞歸效用的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題；費(fèi)為銀等[51]在展望理論的框架下，研究了通脹等因素對于帶鼓勵的對沖基金管理者最優(yōu)投資策略的影響，以通脹折現(xiàn)因素后的終端財富預(yù)期效用最大化為標(biāo)準(zhǔn)的情況下，利用鞅方法推導(dǎo)了最優(yōu)投資策略的顯式解，最后對得出的理論結(jié)果進(jìn)展數(shù)值模擬，并給出了相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義.由上述文獻(xiàn)可以知道，為了使模型更加貼近真實的市場環(huán)境，在研究投資者的消費(fèi)和投資組合時應(yīng)該考慮通脹風(fēng)險對投資者的影響，所以可以在帶有損失厭惡的模型中考慮參加通脹因素，分析通脹帶來的風(fēng)險以及對投資者的影響，這樣也更符合我國實際的經(jīng)濟(jì)環(huán)境.22跳擴(kuò)散環(huán)境下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合近年來極端金融風(fēng)險頻發(fā)，這樣的突發(fā)事件會影響各國的金融市場，使資產(chǎn)價格發(fā)生大起大落乃至出現(xiàn)不連續(xù)的變化，所以跳風(fēng)險對投資者的決策有重大影響.因此，在研究資產(chǎn)配置問題時也需要考慮跳因素的影響.例如，Press[52]研究了證券價格的復(fù)合事件模型的問題，其中對數(shù)價格被假定是獨(dú)立的并且是服從泊松分布的，跳躍幅度符合對數(shù)正態(tài)分布；Hansn等[53]研究了關(guān)于對數(shù)正跳躍擴(kuò)散過程的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合控制的問題，在標(biāo)的股票滿足幾何跳擴(kuò)散過程，以及在滿足消費(fèi)和終端財富最大化效用的情形下，得出了最優(yōu)消費(fèi)和投資組合策略的解，其中跳擴(kuò)散和跳的幅度是滿足對數(shù)正態(tài)分布的；費(fèi)為銀等[54]研究了跳風(fēng)險和通脹因素對投資者的資產(chǎn)配置的影響，在滿足通脹貼現(xiàn)后終端財富效用最大化的情形下，得出最優(yōu)的資產(chǎn)配置策略，最后對結(jié)果進(jìn)展了數(shù)值分析；i等[55]研究了在跳擴(kuò)散模型下的損失厭惡投資者的動態(tài)資產(chǎn)配置問題，并且將動態(tài)最優(yōu)投資組合問題轉(zhuǎn)化為終端財富的靜態(tài)優(yōu)化問題，首先求解最優(yōu)終端財富，然后利用鞅表示方法得到了最優(yōu)財富過程和投資策略.通過上述文獻(xiàn)的分析，發(fā)現(xiàn)跳風(fēng)險會影響投資者的投資在風(fēng)險資產(chǎn)的價格，進(jìn)而影響最優(yōu)的資產(chǎn)配置策略，最后可能會影響損失厭惡投資者的消費(fèi)情況，所以在模型中考慮跳因素的影響是符合實際的.23Knight不確定下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合現(xiàn)代金融理論和經(jīng)濟(jì)主要研究決策者在面臨不確定性條件下的投資組合選擇的理論，其中不確定包括概率不確定和Knight不確定性兩種情況.由于不完備的信息、不明確的數(shù)據(jù)、不準(zhǔn)確的概率等因素引起的不確定稱為Knight不確定.Knight不確定性在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中具有重要意義，越來越多的學(xué)者考慮在Knight不確定情形下研究關(guān)于投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題.例如，F(xiàn)Ei[56]研究了具有模模糊和預(yù)期的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合選擇問題，其中效用函數(shù)是采用遞推的而且是多先驗的；張慧等[57]研究了Knight不確定環(huán)境對歐式股票期權(quán)的最小定價的影響，在Knight不確定性的金融市場以及標(biāo)的資產(chǎn)價格過程服從幾何布朗運(yùn)動的情形下，借助于倒向隨機(jī)微分方程以及鞅方法求出了模型的顯式解；韓立巖等[58]在模糊測度的情況下，考慮了Knight不確定的期權(quán)定價問題；Fei[59]研究了在模糊情形下，投資者的最優(yōu)消費(fèi)-閑暇、投資組合和退休選擇問題，其中效用模型是運(yùn)用極大極小期望ES效用；費(fèi)為銀等[60]研究了Knight不確定環(huán)境下，考慮負(fù)效用的投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資問題；余敏秀等[61]研究了arkv切換以及在Knight不確定環(huán)境下，投資者的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合問題，并利用鞅方法和對偶理論得到了模型的最優(yōu)解；劉宏建等[62]研究了Knight不確定以及考慮保險和退休的情形下，代理人的最優(yōu)消費(fèi)-投資和遺產(chǎn)問題，最后在三種不同約束下，得出最優(yōu)的消費(fèi)和投資組合，并進(jìn)展了數(shù)值分析.當(dāng)投資者在面臨Knight不確定性時，為了盡可能做出準(zhǔn)確的投資決策，在研究中考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率具有Knight不確定性是非常重要的.由于GBrn環(huán)境下資產(chǎn)價格的波動率具有Knight不確定性，為此，Peng[63]研究了非線性期望尤其是次線性期望的一些性質(zhì)，得出了在非線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理，并且提出了最大化分布和G標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以及GBrn運(yùn)動