1.探索勾股定理第一章勾股定理

駛向勝利的彼岸第2課時探索勾股定理（2）1.探索勾股定理第一章勾股定理駛向2.如何驗證勾股定理呢？

1.上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？

據(jù)不完全統(tǒng)計，驗證的方法有400多種，你想得到自己的方法嗎？

復(fù)習(xí)導(dǎo)入2.如何驗證勾股定理呢？1.上節(jié)課我們已

小組活動：請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形.

有不同方法嗎？

探索新知小組活動：請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的直角三角形

拼圖展示圖1圖2拼圖展示圖1圖2aaaabbbbcccc1.如圖，你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法表示嗎？2.與有什么關(guān)系？為什么？（1）（2）

你能驗證定理了嗎？

圖1aaaabbbbcccc1.如圖，你能表示大正方形的面積嗎？aaaabbbbcccc∴a2+b2=c2

驗證方法一圖1

方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.

aaaabbbbcccc∴a2+b2=c2驗證方法一

驗證方法二cab

a∴a2+b2=c2圖2驗證方法二caba∴a2+b2=c2圖2

例題：我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上急駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？400m10秒后500mABC掌握新知例題：我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的距離為300×60=108000（m），即它行駛的速度為108km/h.解：由勾股定理，可以得到

1.如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建設(shè)成本是5000萬元/千米，該沿江高速的造價預(yù)計是多少？MPNOQ30Km40Km50Km120Km鞏固練習(xí)1.如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟解：因為OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，所以O(shè)M=50km，OQ=130km.所以沿江高速公路的造價為5000×（50+130）=900000（萬元）.因此該沿江高速公路的造價預(yù)計是900000萬元.解：因為OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ

2.如圖，強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面3m處折斷倒下，旗桿頂部落在底部4m處，旗桿折斷之前有多高？

4米3米2.如圖，強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面3m處折斷倒解：如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52，所以AB=5,3+5=8.因此旗桿折斷之前高8m.解：如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，3.如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為12m的半圓形，一個長、寬、高分別是12m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？3.如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為12m的半圓形，一個解：如圖所示，設(shè)半圓形的圓心為點O.OA=0.5m，過點A作AB⊥OA，交半圓形于點B，連接OB.由題意知，OB=1.2m，所以AB2+OA2=OB2，即AB2+0.52=1.22，解得AB2=1.19，因為0.82=0.64,1.19＞0.64，所以B＞0.8m.所以箱子能放進儲藏室.解：如圖所示，設(shè)半圓形的圓心為點O.OA=0.5m，過點A作三種類型：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合.第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義.第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.三種類型：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截方法一:三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.

2002年世界數(shù)學(xué)家大會在北京召開，這屆大會會標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就.第一種類型：方法一:三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制cb

a由面積計算,得展開,得

化簡,得cba由面積計算,得展開,得化簡,得

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形……

趣聞?wù){(diào)查組報告“總統(tǒng)”證法勾股定理的在1876年一個周末的傍晚，在美國首

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男aabbcc方法二:美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式,得化簡,得第一種類型：aabbcc方法二:美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。

將4個全等的直角三角形拼成邊長為(a＋b)的正方形ABCD，使中間留下邊長c的一個正方形洞．畫出正方形ABCD．移動三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個正方形洞．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖1圖2方法三第一種類型：據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。如圖，過A點畫一直線AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M。通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。如圖，過A點畫一直線AL使其垂直于DE，并交D第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”。約公元263年，三國時代魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋時，用“出入相補法”證明了勾股定理。第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)abc無字證明①②③④⑤第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”。abc無字證明①②③④⑤第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”

做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成4分。之后依照圖中的顏色,將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。第三種類型：在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊abcABCDEFO方法三:意大利文藝復(fù)興時代的著名畫家達(dá)·芬奇對勾股定理進行了研究。第三種類型：abcABCDEFO方法三:意大利文藝復(fù)興時代的著名畫家達(dá)·ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′五巧板的制作ABCEDFGHI①②③④⑤abc五巧板的制作ABCEDFGHI①②③④⑤abcbcaabc這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。bc利用五巧板拼圖驗證勾股定理:bcaabc這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形歸納小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？歸納小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？數(shù)學(xué)對觀察自然做出重要的貢獻，它解釋了規(guī)律結(jié)構(gòu)中簡單的原始元素，而天體就是用這些原始元素建立起來的?！_普勒數(shù)學(xué)對觀察自然做出重要的貢獻，它解釋了規(guī)律結(jié)構(gòu)中簡單的原始1.探索勾股定理第一章勾股定理

駛向勝利的彼岸第2課時探索勾股定理（2）1.探索勾股定理第一章勾股定理駛向2.如何驗證勾股定理呢？

1.上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？

據(jù)不完全統(tǒng)計，驗證的方法有400多種，你想得到自己的方法嗎？

復(fù)習(xí)導(dǎo)入2.如何驗證勾股定理呢？1.上節(jié)課我們已

小組活動：請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長的正方形.

有不同方法嗎？

探索新知小組活動：請你利用自己準(zhǔn)備的四個全等的直角三角形

拼圖展示圖1圖2拼圖展示圖1圖2aaaabbbbcccc1.如圖，你能表示大正方形的面積嗎？能用兩種方法表示嗎？2.與有什么關(guān)系？為什么？（1）（2）

你能驗證定理了嗎？

圖1aaaabbbbcccc1.如圖，你能表示大正方形的面積嗎？aaaabbbbcccc∴a2+b2=c2

驗證方法一圖1

方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理.

aaaabbbbcccc∴a2+b2=c2驗證方法一

驗證方法二cab

a∴a2+b2=c2圖2驗證方法二caba∴a2+b2=c2圖2

例題：我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上急駛.他趕緊拿出紅外測距儀，測得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？400m10秒后500mABC掌握新知例題：我方偵查員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，那么它1h行駛的距離為300×60=108000（m），即它行駛的速度為108km/h.解：由勾股定理，可以得到

1.如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建設(shè)成本是5000萬元/千米，該沿江高速的造價預(yù)計是多少？MPNOQ30Km40Km50Km120Km鞏固練習(xí)1.如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟解：因為OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，所以O(shè)M=50km，OQ=130km.所以沿江高速公路的造價為5000×（50+130）=900000（萬元）.因此該沿江高速公路的造價預(yù)計是900000萬元.解：因為OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ

2.如圖，強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面3m處折斷倒下，旗桿頂部落在底部4m處，旗桿折斷之前有多高？

4米3米2.如圖，強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面3m處折斷倒解：如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=32+42=52，所以AB=5,3+5=8.因此旗桿折斷之前高8m.解：如圖所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，根據(jù)勾股定理，3.如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為12m的半圓形，一個長、寬、高分別是12m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？3.如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為12m的半圓形，一個解：如圖所示，設(shè)半圓形的圓心為點O.OA=0.5m，過點A作AB⊥OA，交半圓形于點B，連接OB.由題意知，OB=1.2m，所以AB2+OA2=OB2，即AB2+0.52=1.22，解得AB2=1.19，因為0.82=0.64,1.19＞0.64，所以B＞0.8m.所以箱子能放進儲藏室.解：如圖所示，設(shè)半圓形的圓心為點O.OA=0.5m，過點A作三種類型：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合.第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義.第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.三種類型：第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表，用幾何圖形的截方法一:三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.

2002年世界數(shù)學(xué)家大會在北京召開，這屆大會會標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就.第一種類型：方法一:三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制cb

a由面積計算,得展開,得

化簡,得cba由面積計算,得展開,得化簡,得

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形……

趣聞?wù){(diào)查組報告“總統(tǒng)”證法勾股定理的在1876年一個周末的傍晚，在美國首

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男aabbcc方法二:美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式,得化簡,得第一種類型：aabbcc方法二:美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。

將4個全等的直角三角形拼成邊長為(a＋b)的正方形ABCD，使中間留下邊長c的一個正方形洞．畫出正方形ABCD．移動三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個正方形洞．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖1圖2方法三第一種類型：據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。如圖，過A點畫一直線AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M。通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。如圖，過A點畫一直線AL使其垂直于DE，并交D第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代