7.5正態(tài)分布第七章課標(biāo)要求1.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布密度曲線的特點及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實際問題.內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

正態(tài)曲線

函數(shù)f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),對任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方,可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱

(如圖所示).

μ是期望,σ是標(biāo)準(zhǔn)差

正態(tài)曲線

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)=

(x∈R)中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差.(

)(2)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的值可正可負(fù),但不能為0.(

)(3)正態(tài)密度函數(shù)的圖象與x軸之間區(qū)域的面積是變化的.(

)×××2.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)B知識點2

正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為

.特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時,稱隨機(jī)變量X服從

.如圖所示,X取值不超過x的區(qū)域P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.X~N(μ,σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的取值在區(qū)間[a,b]上的概率等于正態(tài)曲線與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.(

)2.參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么?√提示

參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計.知識點3

正態(tài)曲線的特點1.曲線位于x軸

,與x軸

.

2.曲線是單峰的,它關(guān)于直線

對稱.

3.曲線在

處達(dá)到峰值

.

4.當(dāng)|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.5.曲線與x軸之間的面積為

.

但不能與x軸相交

上方

不相交

x=μx=μ16.當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿

平移,如圖①.

7.當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,當(dāng)σ較小時,峰值高,曲線“

”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;當(dāng)σ較大時,峰值低,曲線“

”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖②.

x軸

瘦高

矮胖

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的.(

)(2)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱.(

)(3)正態(tài)曲線的“胖瘦”由σ決定.(

)×√√2.(多選題)已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=

(x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(

)A.σ1=σ2

B.μ1>μ3C.μ1=μ2

D.σ2<σ3答案

AD解析

根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且μ越大,圖象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故BC錯誤;因為σ越小,數(shù)據(jù)越集中,圖象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故AD正確.故選AD.知識點4

正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則1.三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2.3σ原則在實際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.名師點睛對于正態(tài)分布N(μ,σ2)而言,隨機(jī)變量X在[μ-3σ,μ+3σ]之外取值幾乎不可能發(fā)生,它在產(chǎn)品檢查、質(zhì)量檢驗中起著重要的作用.過關(guān)自診設(shè)X~N(1,22),試求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一正態(tài)曲線的應(yīng)用【例1】一個正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式,求出隨機(jī)變量的均值和方差.規(guī)律方法

利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ,σ(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此特點結(jié)合圖象可求出μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

,由此特點結(jié)合圖象可求出σ.變式訓(xùn)練1若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為,則該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為

.

解析

因為該正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù),所以正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱,即μ=0,而正態(tài)分布密度函數(shù)的最大值是探究點二正態(tài)分布下的概率計算【例2】

(1)(2022安徽亳州期末)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,則P(2<ξ<3)=(

)A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32(2)設(shè)X~N(5,1),求P(6≤X≤7).

(1)

答案

C解析

∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),∴正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=3,又P(ξ≤4)=0.78,∴P(3≤ξ≤4)=P(ξ≤4)-=0.78-0.5=0.28,∴P(2≤ξ≤3)=P(3≤ξ≤4)=0.28.故選C.(2)解依題意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,規(guī)律方法

在正態(tài)分布下解決求某區(qū)間的概率問題,可利用正態(tài)曲線的對稱性,將所求區(qū)間的概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的概率,或利用3σ原則轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間的概率.變式訓(xùn)練2(1)若隨機(jī)變量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=

.

(2)若在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)為X,且X~N(110,202),滿分為150分,這個班的學(xué)生共有54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上(不包括130分)約為多少人.

(1)

答案

0.3解析

由P(9≤ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以直線x=μ=10為對稱軸知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4.P(10≤ξ≤11)=0.2,∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.(2)解∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人數(shù)約為54×0.841

35≈45,130分以上的人數(shù)約為54×0.158

65≈9.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)正態(tài)曲線及其特點.(2)正態(tài)分布的應(yīng)用,3σ原則.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.設(shè)有一正態(tài)分布,它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,則這個正態(tài)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(

)A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10答案B

解析

由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知,這個分布的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32

C.0.68

D.0.84AB3.某班有48名學(xué)生,一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,平均分為110,標(biāo)準(zhǔn)