2021年山東省菏澤市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應位置.）1．如圖，數軸上點A所表示的數的倒數為（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【分析】從數軸上得到點A表示的數，再求這個數的倒數即可．【解答】解：點A表示的數為﹣3，﹣3的倒數為﹣，故選：C．2．下列等式成立的是（）A．a3+a3＝a6 B．a?a3＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6【分析】分別根據合并同類項法則，同底數冪的乘法法則，完全平方公式以及積的乘方運算法則逐一判斷即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本選項不合題意；B．a?a3＝a4，故本選項不合題意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本選項不合題意；D．（﹣2a3）2＝4a6，故本選項符合題意；故選：D．3．如果不等式組的解集為x＞2，那么m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2【分析】解第一個不等式，求出解集，再根據不等式組的解集，利用“同大取大”的口訣可得答案．【解答】解：解不等式x+5＜4x﹣1，得：x＞2，∵不等式組的解集為x＞2，∴m≤2，故選：A．4．一副三角板按如圖方式放置，含45°角的三角板的斜邊與含30°角的三角板的長直角邊平行，則∠α的度數是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根據平行線的性質和三角板的特殊角的度數解答即可．【解答】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D＝30°，∵∠BAE＝45°，∴∠α＝45°﹣30°＝15°．故選：B．5．如圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中所標數據計算這個幾何體的體積為（）A．12π B．18π C．24π D．30π【分析】直接利用三視圖得出幾何體的形狀，再利用圓柱體積求法得出答案．【解答】解：由三視圖可得，幾何體是空心圓柱，其小圓半徑是1，大圓半徑是2，則大圓面積為：π×22＝4π，小圓面積為：π×12＝π，故這個幾何體的體積為：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．故選：B．6．在2021年初中畢業(yè)生體育測試中，某校隨機抽取了10名男生的引體向上成績，將這組數據整理后制成如下統(tǒng)計表：成績（次）1211109人數（名）1342關于這組數據的結論不正確的是（）A．中位數是10.5 B．平均數是10.3 C．眾數是10 D．方差是0.81【分析】根據中位數，平均數，眾數，方差的性質分別計算出結果，然后判判斷即可．【解答】解：根據題目給出的數據，可得：中位數是＝10（分），平均數為：＝10.3，∵10出現了4次，出現的次數最多，∴眾數是10；方差是：[（12﹣10.3）2+3×（11﹣10.3）2+4×（10﹣10.3）2+2×（9﹣10.3）2]＝0.81．這組數據的結論不正確的是A．故選：A．7．關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數根，則k的取值范圍是（）A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0兩種情況，利用根的判別式求解可得．【解答】解：當k﹣1≠0，即k≠1時，此方程為一元二次方程．∵關于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實數根，∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥；當k﹣1＝0，即k＝1時，方程為3x+1＝0，顯然有解；綜上，k的取值范圍是k≥，故選：D．8．如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x軸，直線y＝2x+1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長為a，直線在x軸上平移的距離為b，a、b間的函數關系圖象如圖（2）所示，那么矩形ABCD的面積為（）A． B．2 C．8 D．10【分析】根據函數圖象中的數據可以分別求得矩形的邊長BC，AB的長，從而可以求得矩形的面積．【解答】解：如圖所示，過點B、D分別作y＝2x+1的平行線，交AD、BC于點E、F．由圖象和題意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝，BF＝DE＝7﹣4＝3，則AB＝＝＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，∴矩形ABCD的面積為AB?BC＝2×4＝8．故選：C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求把最后結果填寫在答題卡的相應區(qū)域內）9．2021年5月11日，國家統(tǒng)計局、國務院第七次全國人口普查領導小組辦公室對外發(fā)布：截至2020年11月1日零時，全國人口共約1410000000人．數據1410000000用科學記數法表示為1.41×109．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：1410000000＝1.41×109，故答案為：1.41×109．10．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝﹣a（a﹣1）2．【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）＝﹣a（a﹣1）2．故答案為：﹣a（a﹣1）2．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點，DE＝2，過點B作BF∥AC，交DE的延長線于點F，則四邊形ABFD的面積為8．【分析】由三角形的中位線定理證得DE∥AB，AB＝2DE＝4，進而證得四邊形ABFD是平行四邊形，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根據平行四邊形的面積公式即可求出四邊形ABFD的面積．【解答】解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∵AB⊥BE，∴S平行四邊形ABFD＝AB?BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四邊形ABFD＝4×2＝8，故答案為8．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝5，BC＝10，四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，且點E、F、G、N、M都在△ABC的邊上，那么△AEM與四邊形BCME的面積比為1：3．【分析】通過證明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的長，由相似三角形的性質可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF＝，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S四邊形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM與四邊形BCME的面積比為1：3，故答案為：1：3．13．定義：[a，b，c]為二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數，下面給出特征數為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數的一些結論：①當m＝1時，函數圖象的對稱軸是y軸；②當m＝2時，函數圖象過原點；③當m＞0時，函數有最小值；④如果m＜0，當x＞時，y隨x的增大而減?。渲兴姓_結論的序號是①②③．【分析】根據特征數的定義，寫出二次函數的表達式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①寫出對稱軸方程后把m＝1代入即可判斷；②把m＝2代入即可判斷；③根據開口方向即可判斷；④根據對稱軸，開口方向，增減性即可判斷．【解答】解：由特征數的定義可得：特征數為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數的表達式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此拋物線的的對稱軸為直線x＝＝＝，∴當m＝1時，對稱軸為直線x＝0，即y軸．故①正確；∵當m＝2時，此二次函數表達式為y＝2x2﹣x，令x＝0，則y＝0，∴函數圖象過原點，故②正確；∵當m＞0時，二次函數圖象開口向上，函數有最小值，故③正確；∵m＜0，∴對稱軸x＝＝，拋物線開口向下，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。磝＞時，y隨x的增大而減?。盛苠e誤．故答案為：①②③．14．如圖，一次函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，過點A作AB⊥OA，交x軸于點B；作BA1∥OA，交反比例函數圖象于點A1；過點A1作A1B1⊥A1B交x軸于點B；再作B1A2∥BA1，交反比例函數圖象于點A2，依次進行下去，…，則點A2021的橫坐標為+．【分析】由一次函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，可得A（1，1）；易得△OAB是等腰直角三角形，則OB＝2；分別過點A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，則△ABD是等腰直角三角形，設BD＝m，則A1D＝m，則A1（m+2，m），點A1在反比例函數上，可得m的值，求出點A1的坐標，同理可得A2的坐標，以此類推，可得結論．【解答】解：如圖，分別過點A，A1，A2，作x軸的垂線，垂足分別為C，D，E，∵一次函數y＝x與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，∴聯(lián)立，解得A（1，1），∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，∵AB⊥OA，∴△OAB是等腰直角三角形，∴OB＝2OC＝2，∵A1B∥OA，∴∠A1BD＝45°，設BD＝m，則A1D＝m，∴A1（m+2，m），∵點A1在反比例函數y＝上，∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+，（m＝﹣1﹣，負值舍去），∴A1（+1，﹣1），∵A1B1⊥A1B，∴BB1＝2BD＝2﹣2，∴OB1＝2．∵B1A2∥BA1，∴∠A2B1E＝45°，設B1E＝t，則A2E＝t，∴A2（t+2，t），∵點A2在反比例函數y＝上，∴t（t+2）＝1，解得t＝﹣+，（t＝﹣﹣，負值舍去），∴A2（，﹣），同理可求得A3（2+，2﹣），以此類推，可得點A2021的橫坐標為+．故答案為：+．三、解答題（本題共78分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應區(qū)域內）15．（6分）計算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1．【分析】直接利用零指數冪的性質以及絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣3）+4×﹣4＝1﹣2+3+2﹣4＝0．16．（6分）先化簡，再求值：1+÷，其中m，n滿足＝﹣．【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再由已知等式得出m＝﹣n，代入、約分即可．【解答】解：原式＝1+?＝1﹣＝﹣＝，∵＝﹣，∴m＝﹣n，則原式＝＝＝﹣6．17．（6分）如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN．【分析】由菱形的性質，可用ASA證明△AMD≌△CND，所以AM＝CN，所以AB﹣AM＝BC﹣CN，即BM＝CN，則結論得證．【解答】證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM＝CN，∴AB﹣AM＝BC﹣CN，即BM＝CN．18．（6分）某天，北海艦隊在中國南海例行訓練，位于A處的濟南艦突然發(fā)現北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測得C處位于其北偏西60°方向上，請問此時兩艦距C處的距離分別是多少？【分析】過點C作CD⊥BA的延長線于點D，由題意可證明△ABC為等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距離，最后根據BC＝2CD求BC的長．【解答】解：過點C作CD⊥BA的延長線于點D，如圖．由題意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．即∠BCA＝∠CBD，∴AC＝AB＝200（海里）．在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．故位于A處的濟南艦距C處的距離200海里，位于B處的西安艦距C處的距離200海里．19．（7分）列方程（組）解應用題端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：小王：該水果的進價是每千克22元；小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？【分析】設降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意列出一元二次方程，解之即可得出答案．【解答】解：設降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意得，（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，整理得x2﹣12x+27＝0，∴x＝3或x＝9．∵要盡可能讓顧客得到實惠，∴x＝9，∴售價為38﹣9＝29元．答：水果的銷售價為每千克29元時，超市每天可獲得銷售利潤3640元．20．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F．一次函數y＝k2x+b的圖象經過E、F兩點．（1）分別求出一次函數和反比例函數的表達式；（2）點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為（，0）．【分析】（1）由矩形的性質及中點坐標公式可得D（2，1），從而可得反比例函數表達式；再求出點E、F坐標可用待定系數法解得一次函數的解析式；（2）作點E關于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最小．求出直線E'F的解析式后令y＝0，即可得到點P坐標．【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．由中點坐標公式可得點D坐標為（2，1），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過線段OB的中點D，∴k1＝xy＝2×1＝2，故反比例函數表達式為y＝．令y＝2，則x＝1；令x＝4，則y＝．故點E坐標為（1，2），F（4，）．設直線EF的解析式為y＝kx+b，代入E、F坐標得：，解得：．故一次函數的解析式為y＝．（2）作點E關于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最小．如圖．由E坐標可得對稱點E'（1，﹣2），設直線E'F的解析式為y＝mx+n，代入點E'、F坐標，得：，解得：．則直線E'F的解析式為y＝，令y＝0，則x＝．∴點P坐標為（，0）．故答案為：（，0）．21．（10分）2021年5月，菏澤市某中學對初二學生進行了國家義務教育質量檢測，隨機抽取了部分參加15米折返跑學生的成績，學生成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）合格等級所占百分比為30%；不合格等級所對應的扇形圓心角為36度；（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、B、C…中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到A、B兩位同學的概率．【分析】（1）求出抽取的學生人數，即可解決問題；（2）由合格等級的人數除以抽取的人數得合格等級所占百分比；再由360°乘以不合格等級所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有30種等可能的結果，恰好抽到A、B兩位同學的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的學生人數為：12÷40%＝30（人），則優(yōu)秀的學生人數為：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），把條形統(tǒng)計圖補充完整如下：（2）合格等級所占百分比為：9÷30×100%＝30%，不合格等級所對應的扇形圓心角為：360°×＝36°，故答案為：30，36；（3）優(yōu)秀等級的學生有6人，為A、B、C、D、E、F，畫樹狀圖如圖：共有30種等可能的結果，恰好抽到A、B兩位同學的結果有2種，∴恰好抽到A、B兩位同學的概率為＝．22．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，E為上一點，F為弦DC延長線上一點，連接FE并延長交直徑AB的延長線于點G，連接AE交CD于點P，若FE＝FP．（1）求證：FE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為8，sinF＝，求BG的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性質可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得結論；（2）由余角的性質可求∠F＝∠EOG，由銳角三角函數可設EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．【解答】解：（1）如圖，連接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∵CD⊥AB，∴∠AHP＝90°，∵FE＝FP，∴∠FPE＝∠FEP，∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，∴OE⊥EF，∴FE是⊙O的切線；（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，∴∠F＝∠EOG，∴sinF＝sin∠EOG＝＝，設EG＝3x，OG＝5x，∴OE＝＝＝4x，∵OE＝8，∴x＝2，∴OG＝10，∴BG＝10﹣8＝2．23．（10分）在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．【分析】（1）欲證明PE＝PF，只要證明∠PEF＝∠PFE．（2）連接AC交EF于O，連接PM，PO．首先證明P，M，O共線，再利用等腰三角形的三線合一的性質解決問題即可．（3）如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC．利用弧長公式，解決問題即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折變換可知，∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF．（2）證明：如圖2中，連接AC交EF于O，連接PM，PO．∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵PE＝PF，∴PO平分∠EPF，∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC，∴ED＝BF，由折疊的性質可知ED＝EH，所以BF＝EH，∴PE﹣EH＝PF﹣BF，∴PB＝PH，∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），∴PM平分∠EPF，∴P．M，O共線，∵PO⊥EF，OE＝OF，∴點M在線段EF的垂直平分線上．（3）如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC．在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，∴∠CBD＝30°，∴∠ABO＝∠OAB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，∴點G運動的路徑的長＝＝π．故答案為：π．24．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求該拋物線的表達式；（2）點P為第四象限內拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ∥BP交x軸于點Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4向右平移經過點（，0）時，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1，點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內是否存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的