學(xué)習(xí)新知

某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系:m=162-3x.請寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y(元)與每件的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式.

由題意,得每件商品的銷售利潤為(x-30)元,那么m件的銷售利潤為y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.問題這個(gè)二次函數(shù)關(guān)系式:y=-3x2+252x-4860與我們前面學(xué)的形如y=a(x-h)2+k(頂點(diǎn)式)的形式一樣嗎?問題思考探究一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化問題你能研究二次函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象和性質(zhì)嗎?研究二次函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象和性質(zhì)的關(guān)鍵是把二次函數(shù)y=2x2-4x+5轉(zhuǎn)化成y=a(x-h)2+k的形式.解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.解析:根據(jù)上面的分析,要求y=2x2-8x+7圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),首先要利用配方法把y=2x2-8x+7轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k的形式.求二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).【做一做】確定下列二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo):(1)y=3x2-6x+7；

(2)y=2x2-12x+8.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函數(shù)y=3x2-6x+7圖象的對(duì)稱軸是直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函數(shù)y=2x2-12x+8圖象的對(duì)稱軸是直線x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-10).一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).解:把二次函數(shù)y=ax2+bx+c的右邊配方,得y=ax2+bx+c因此,二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式的實(shí)際應(yīng)用如圖所示,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀,按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用

表示,而且左、右兩條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱.(1)鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是多少?(2)兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少?∴對(duì)稱軸為直線x=-20,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-20,1).(1)鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是1m.(2)兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是2×20=40(m).(1)鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是多少?(2)兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是多少?∴對(duì)稱軸為直線x=-20,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-20,1).(1)鋼纜的最低點(diǎn)到橋面的距離是1m.(2)兩條鋼纜最低點(diǎn)之間的距離是2×20=40(m).1.(2014·新疆中考改編)對(duì)于二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象,下列說法正確的是 (

)A.開口向下

B.對(duì)稱軸是直線x=-1C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)

D.與x軸有公共點(diǎn)解析:二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),對(duì)稱軸為直線x=1,拋物線與x軸沒有公共點(diǎn).故選C.C2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象為 (

)檢測反饋解析:∵二次函數(shù)圖象開口方向向上,∴a>0.∵對(duì)稱軸為直線x=>0,∴b<0.∵與y軸的正半軸相交,∴c>0,∴y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、三象限,且與y軸的負(fù)半軸相交,反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限,只有B選項(xiàng)圖象符合.故選B.B

解析:將(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.3.若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,10),則a-b+c=

.104.某市政府大樓前廣場有一噴水池,水從地面噴出,噴出水的路徑是一條拋物線.如果以水平地面為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,水在空中劃出的曲線是拋物線y=-x2+4x(單位:m)的一部分,則水噴出的最大高度是

m.

解析:∵水在空中噴出的曲線是拋物線y=-x2+4x的一部分,∴噴水的最大高度就是水在空中噴出的拋物線y=-x2+4x的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo),∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),∴水噴出的最大高度為4m.故填4.45.寫出下面拋物線的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).(1)y=-2x2+6x;

(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2（x2-3x+）+=-2，

開口向下,對(duì)稱軸是直線x