1、第2講一元二次不等式及其解法最新考綱考向預(yù)測1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式.命題趨勢不等式解法是不等式中的重要內(nèi)容，“三個二次”之間的聯(lián)系的綜合應(yīng)用等問題是高考的熱點.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、邏輯推理1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)當(dāng)a0時，解集為eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(xf(b,a)(2)當(dāng)a0時，解集為eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(x000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩個相異實根x

2、1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(b,2a)Rax2bxc0)的解集x|x1x0(0(0對任意實數(shù)x恒成立eq blc(avs4alco1(a0， ,b24ac0.)(2)一元二次不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立eq blc(avs4alco1(a0， ,b24ac0(0)時不要忘記當(dāng)a0時的情形2解不等式時忽視變形必須等價1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(3)不等式ax2b

3、xc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(4)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x23不等式eq f(x3,x1)0的解集為()Ax|x1或x3 Bx|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：選C.由eq f(x3,x1)0，得eq blc(avs4alco1(（x3）（x1）0，,x10，)解得10的解集為_解析：由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.答案：(4，1)5(易錯題)對于任意實數(shù)x，一元二次不等式mx2mx10恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由題可得eq blc(avs4alco1(m0，,m

4、24m0，)解得4m0.所以m的取值范圍是(4，0)答案：(4，0)一元二次不等式的解法 解下列關(guān)于x的不等式(1)0 x2x24；(2)ax2(a1)x10)【解】(1)原不等式等價于eq blc(avs4alco1(x2x20，,x2x24，)即eq blc(avs4alco1(x2x20，,x2x60，)即eq blc(avs4alco1(（x2）（x1）0，,（x3）（x2）0，)解得eq blc(avs4alco1(x2或x1，,2x3.)借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為x|2x1或20，原不等式等價于eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0.當(dāng)a1時

5、，eq f(1,a)1，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)1時，eq f(1,a)1，解eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0得eq f(1,a)x1；當(dāng)0a1，解eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)(x1)0得1xeq f(1,a).綜上所述，當(dāng)0a1時，解集為eq blcrc(avs4alco1(x|1x1時，解集為eq blcrc(avs4alco1(x|f(1,a)x3(x7)的解集為_解析：2x(x7)3(x7)2x(x7)3(x7)0(x7)(2x3)0，解得x7，所以原不等式的解集為eq blcrc(a

6、vs4alco1(xblc|(avs4alco1(x7).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(x7)2不等式eq f(1,x1)20的解集為_解析：不等式變?yōu)閑q f(2x1,x1)0，即eq blc(avs4alco1(（2x1）（x1）0，,x10，)解得x1或xeq f(1,2).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(x1或xf(1,2)3解關(guān)于x的不等式：12x2axa2(aR)解：因為12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1eq f(a,4)，x

7、2eq f(a,3).當(dāng)a0時，eq f(a,4)eq f(a,3)，解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,3)；當(dāng)a0時，x20，解集為x|xR，且x0；當(dāng)aeq f(a,3)，解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,4).綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為xeq blc|(avs4alco1(xeq f(a,3)；當(dāng)a0時，不等式的解集為x|xR，且x0；當(dāng)a0時，不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(a,4).一元二次不等式的恒成立問題角度一形

8、如f(x)0(f(x)0)(xR)確定參數(shù)的范圍 若不等式(a2)x22(a2)x40對一切xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】當(dāng)a20，即a2時，不等式為40，對一切xR恒成立當(dāng)a2時，則eq blc(avs4alco1(a20，,4（a2）216（a2）0，)即eq blc(avs4alco1(a2,2a2，)解得2a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0恒成立，則x的取值范圍為()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1，3)【解析】把不等式的左端看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f(a)(x2)ax24x4，則由f(a)0對于任意的a1，1恒成立，得

9、f(1)x25x60，且f(1)x23x20即可，解不等式組eq blc(avs4alco1(x25x60，,x23x20，)得x3.故選C項【答案】Ceq avs4al()已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法把參數(shù)當(dāng)作函數(shù)的自變量，得到一個新的函數(shù)，然后利用新函數(shù)求解 函數(shù)f(x)x2ax3.(1)若當(dāng)xR時，f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若當(dāng)x2，2時，f(x)a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若當(dāng)a4，6時，f(x)0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解：(1)因為當(dāng)xR時，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，所以實數(shù)a的取值范

10、圍是6，2(2)由題意可轉(zhuǎn)化為x2ax3a0在x2，2上恒成立，則(x2ax3a)min0(x2，2)令g(x)x2ax3a，x2，2，函數(shù)圖象的對稱軸方程為xeq f(a,2).當(dāng)eq f(a,2)4時，g(x)ming(2)73a0，解得aeq f(7,3)，舍去；當(dāng)2eq f(a,2)2，即4a4時，g(x)mingeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq f(a2,4)a30，解得6a2，所以4a2；當(dāng)eq f(a,2)2，即a4時，g(x)ming(2)7a0，解得a7，所以7a0，,f（1）0，)所以eq blc(avs4alco1(f（0）m20，,f（1）2m

11、80，)即eq blc(avs4alco1(m4，,m0，)則4m0的解集為(，1)(3，)，則關(guān)于x的不等式x2bx2a0的解集為()A(2，5)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,5)C(2，1) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)解析：選A.由題意知關(guān)于x的方程(xb)(a1)x(1b)0的實數(shù)根為1和3，則eq blc(avs4alco1(（b1）（2ab）0，,（b3）（3ab2）0，)解得a5，b3(ab1舍去)則不等式x2bx2a0即為x23x100，解得2x5，故不等式x2bx2a0的解集為(2，5)故選A.2若不等式x

12、2mx10對于任意xm，m1都成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由題意，得函數(shù)f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又拋物線f(x)x2mx1開口向上，所以只需eq blc(avs4alco1(f（m）m2m210，,f（m1）（m1）2m（m1）10，)即eq blc(avs4alco1(2m210，,2m23m0，)解得eq f(r(2),2)m0的解集為()A(2，5) B(，2)(5，)C(5，2) D(，5)(2，)解析：選A.由x23x100，解得2x5.2不等式eq f(2,x1)1的解集是()A(，1)(1，) B(1，)C(，1) D(1，1)解析：選A.因為eq f

13、(2,x1)1，所以eq f(2,x1)10，即eq f(1x,x1)0，所以x1.3若不等式ax2bx20的解集為x|xeq f(1,3)，則eq f(ab,a)()Aeq f(5,6) Beq f(1,6)Ceq f(1,6) Deq f(5,6)解析：選A.由題意得方程ax2bx20的兩根為eq f(1,2)與eq f(1,3)，所以eq f(b,a)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)，則eq f(ab,a)1eq f(b,a)1eq f(1,6)eq f(5,6).4若不等式x2xm20的解集不是空集，則實數(shù)m的取值范圍為()A.eq blc(rc)(avs4alc

14、o1(，f(1,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)C.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)解析：選B.因為不等式x2xm20，即14m20，所以eq f(1,2)m0的解集是x|x2或x1B不等式6x2x20的解集是eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(2,3)或xf(1,2)C若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，則a的值是3D若關(guān)于x的不等式x2px20得(2x1)(x1)0，解得x1或x1或xx(x2)的解集是

15、_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0 x2.答案：x|0 x27若0a0的解集是_解析：原不等式可化為(xa)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,a)0，由0a1得aeq f(1,a)，所以ax0，,2a0的解集是eq blc(avs4alco1(xblc|rc(avs4alco1(f(1,2)x0的解集解：(1)由題意知a0，即為2x25x30，即2x25x30，解得3x0的解集為eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2).10已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，b，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)

16、(x)eq blc(avs4alco1(f（x），x0，,f（x），x0，)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0，1上恒成立，試求b的取值范圍解：(1)因為f(x)的最小值是f(1)0，且c1，所以eq blc(avs4alco1(f(b,2a)1,f（1）ab10)，得eq blc(avs4alco1(a1,b2)，所以f(x)x22x1(x1)2，因為F(x)eq blc(avs4alco1(f（x），x0,f（x），x0的解集是(1，2)，則下列選項正確的是()Ab0Babc0Cabc0D不等式ax2bxc0的解集是(2，1)解析：選ABD.對于A，a0

17、，1，2是方程ax2bxc0的兩個根，所以121eq f(b,a)，12eq f(c,a)，所以ba，c2a，所以b0，所以A正確；令f(x)ax2bxc，對于B，由題意可知f(1)abc0，所以B正確；對于C，f(1)abc0，所以C錯誤；對于D，因為對于方程ax2bxc0，設(shè)其兩根為x1，x2，所以x1x2eq f(b,a)1，x1x2eq f(c,a)2，所以兩根分別為2和1.所以不等式ax2bxc0的解集是(2，1)，所以D正確12若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，則a的取值范圍是()A4，1 B4，3C1，3 D1，3解析：選B.原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時，

18、不等式的解集為a，1，此時只要a4即可，即4a1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.13在R上定義運算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意，可知不等式(xa)(xa)0對任意實數(shù)x都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30，解得eq f(1,2)aeq f(3,2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)14某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件若售價降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加eq f(8,5)x成要求售價不能低于成本價(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值范圍解：(1)由題意得，y100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(8,50)x).因為售價不能低于成本價，所以100eq blc(rc)(avs4alco1(1f(x,10)800，解得0 x2.所以yf(x)40(10 x)(254x)，定義域為x|0 x2(2)由題意得40(10 x)(254x)10