1、課題：數學歸納法【三維目標】：一、學問與技能1明白數學歸納法的原理,能用數學歸納法證明一些簡潔的數學 命題；2抽象思維和概括才能進一步得到提高二、過程與方法 通過數學歸納法的學習,體會用不完全歸納法發(fā)覺規(guī)律,用數學 歸納法證明是解決問題的一種重要途徑,用數學歸納法進行證明時,“ 歸納奠基” 與“ 歸納遞推” 兩個步驟缺一不行,而關鍵的其次步,其本質是證明一個遞推關系；三、情感,態(tài)度與價值觀體會數學歸納法是用有限步驟解決無限問題的重要方法,提高歸 納、猜想、證明才能；【教學重點與難點】：重點：是明白數學歸納法的原理及其應用；難點：是對數學歸納法的原理的明白,關鍵是弄清數學歸納法的兩 個步驟及其作

2、用；【課時支配】：2 課時 第一課時【教學思路】：（一）、創(chuàng)設情形,揭示課題專心愛心專心問題 1：P71 中的例 1.在數列 an中, a11,an+11 a na n（nN+）,先運算 a2,a3,a4 的值,再估計通項 an 的公式生：a21 ,a31 ,a41 由此得到： an1 （nN +）2 3 4 n問題 2：通過運算下面式子,你能猜出 1 3 5 1 n2 n 1 的結果嗎？證明你的結論？13_135_1357_13579_生：上面四個式子的結果分別是：2,-3,4,-5,因此猜想：1351n2n11nn（*） 怎樣證明它呢？問題 3：我們先從多米諾骨牌嬉戲說起,這是一種碼放骨牌

3、的嬉戲, 碼放時保證任意相鄰的兩塊骨牌,如前一塊骨牌倒下,就肯定導致后一塊骨牌也倒下；只要推倒第一塊骨牌,由于第一塊骨牌倒下,就可導致其次塊骨牌倒下 ;而其次塊骨牌倒下,就可以導至第三塊骨牌倒下 最終,不論有多少塊,都能全部倒下；（二）、研探新知原理分析：問題 3：可以看出,使全部骨牌都倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌, 前一塊倒下 .肯定導致后一塊倒下；可以看出,條件（ 2）事實上給出了一個遞推關系：當第 k 塊倒下時,相鄰的第 k+1 塊也倒下；這樣只要第1 塊骨牌倒下,其他全部的骨牌就能夠相繼倒下；事實上,無論有多少塊骨牌,只要保證（1）專心 愛心 專心（

4、2）成立,那么全部的骨牌肯定可以全部倒下；問題 2：分析：這個問題的特點是：要證不等式（* ）在 n 為任何正 整數時都成立, 雖然我們可以驗證 n = 1,2,3,4,5,甚至 n = 1000,10000, 時這個等式成立；但是正整數是無限多個,我們無法對它們 一一驗證,所以驗證的方法無法完成證明；要證明這個問題,必需查找一種有限個步驟,就能夠處理完無限多個 對象的方法；類比多米骨牌嬉戲,我們設想將全部正整數由小到大依次排列為 無限長一隊 1,2,3,4, k,k+1,可以驗證（1）當 n = 1 時,等式（ *）的左右兩邊都等于 -1；即這時等式（ *）成立 可以想象（2）如從“ n =

5、 k 時等式（ *）成立” 能推出 n = k + 1時等式（ *）也 成立,就可以建立一種多米諾骨牌那樣的由前到后的自到遞推 關系 綜合（ 1）（2）,就自然地想到一種證明這個等式的方法：第一證明（ 1）n = 1 時等式（ *）成立 然后證明（ 2）中的遞推關系完成以上兩步后,就可由n = 1時等式（ *）成立為起點,遞推出n = 2時等式（ *）成立,再由 n = 2時等式（ * ）成立,遞推出 n = 3 時等式（*）成立 如此連續(xù)自動遞推下去,就可以說：對于任意正專心愛心專心整數 n,等式（ *）成立 下面根據上述思路詳細的證明等式（* ）證明：（1）當 n = 1 時,式（ *）左

6、右兩邊都等于 成立；-1,即這時等式（ *）（ 2 ） 假 設 當kn = k k 1 時 等 式 （ * ） 式 成 立 , 即13512 n11kk在這個假設下,再考慮n = k + 1 時式（* ）的左右兩邊；左邊=k1352 k1 1k2nk1k1k12k1111k1 k11 k1k2k1 11 11 右邊；所以當 n = k + 1 時等式（ * ）成立；由（1）,（2）可知1351n2n11nnnNn = 1 時命題成立,總結上述過程,我們用了兩個步驟：第一步,證明從而奠定了命題成立的一個起點；其次步,先作歸納假設,然后證明由前后的遞推關系由這兩步保證：對于從起點由前向后的全部正整

7、數nN,命題都成立；一般地,證明一個與正整數n 有關的命題,可按以下步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當 n 取第一個值 n 0 n 0 N * 時命題成立；（2）（歸納遞推）假設 n = k n 0 N* 時命題成立,證明當 n = k +1時命題也成立；只要完成這兩個步驟,就可以肯定命題對從n 開頭的全部正整數n 都成立；這種證明方法叫做數學歸納法（mathematical induction）. 專心愛心專心摸索：結合上面的證明,你認為數學歸納法的基本思想是什么？在數學歸納法的兩個步驟中,第一步是奠基,其次步是假設與遞推；這兩步都是特別重要,缺一不行；第一步確定了 n = n0 時命題成立

8、,n = n0 成為后面遞推的動身點, 沒有它遞推就成無源之水； 其次步確認一種遞推關系, 借助它,命題成立的范疇就能從正整數 n0 開頭,向后一個數一個數無限傳遞到n0 以后的每一個正整數,從而完成證明,因此,遞推是實現從有限到無限的飛躍的關鍵,沒有它我們就只 能停留在對有限情形的把握上；以上就是數學歸納法的基本原理；下面的框圖表示了數歸納法的基本過程驗證 n = n0 時 命題成立；如 n = k k = n 0 時命題成立,證明 n = k + 1 時命題也成立；歸納奠基 歸納遞推命題對從 n 0 開頭全部的正 整數 n 都成立時命題成立；問題：數學歸納法適用于證明什么的命題呢？對于一些

9、與無限多個正 整數相關的命題,假如不易有以前所學習過的方法證明,用數學歸納 法可能收到較好的成效；摸索：假如要用數學歸納法證明某命脈題對于全體正整數都能立,應 取 n0 為何值？為什么？（三）、例題剖析 例 1：（教材第 94 頁例 1）專心愛心專心例 2：（教材第 94 頁例 2）（四）、鞏固深化,反饋矯正【教學思路】：（一）、復習回憶一般地,證明一個與正整數（教材第 95 頁練習 1、2）其次課時n 有關的命題,可按以下步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當n 取第一個值n0n 0N*時命題成立 ; k1時（2）（歸納遞推）假設nk kn kN*時命題成立,證明當n命題也成立；- 數學歸納法（

10、二）、例題剖析：例 1用數學歸納法證明：3 n17n1 nN能被 9 整除. 證明：（1）當 n=1 時,（3+1）71=27 能被 9 整除,命題成立（2）假設當 n=k 時命題成立,即3 k1 7k1 nN能被 9 整除那么,當 n=k+1 時,3k1 1 7k1113 kk 1 713 7k117 3k1 7k3 7k13 kk 1 716 3k1 7k3 7k13k1 7k118 kk 27 7由歸納假設3k1 7k1 nN能被 9 整除及 18k277k是 9 的倍數所以3 k1 7k1 18k277k能被 9 整除即 n=k+1 時,命題成立專心愛心專心由（1）（2）知命題對任意的

11、nN均成立1n12113例 2如 n 為大于 1 的自然數,用數學歸納法證明：n12n24證明： 1當 n=2 時,21121271312242假設當 n=k 時成立,即k11k121132k24就當nk1 ,1111111k2k32 k2 k12 k2k1k1131111311242k12 k2k1242 k12 k21322k1113. 不等式也成立24241 k由1、 2知原不等式對一切大于2 的自然數都成立；例 3 已知an1223 3n 1nnnN 求證：an1n證明： 1當 n=1 時,a1=1 1,不等式成立 . 2（2）假設 n=kk1時,不等式成立,即ak=1223 31kk

12、k1 k亦即 1+22+33+ +kkk+1k 當 n=k+1 時ak+1 =12213 31kkk1k1k1 k k1k1k1k1k2 k1=k1 kk2 =k1 2k1. n=k+1 時,不等式也成立 . k2 kk由（1）、（2）知,對一切 nN*,不等式都成立 . 例 4 用數學歸納法證明等式對全部nN*均成立1111111n1111111, 左式=右式,等2342 n2n1n22n11 2,右式 =證明：i當 n=1 時,左式 =122專心愛心專心式成立ii假設當 n=kk N時等式成立,即11112111k11k121,234k2 k2 k就當 n=k+1 時,11111k1111

13、22k211 2342 k12k2k12k 11 2111111342k2k2k12kk11121111k2k2k12k21111k112 k123k2k2k111113k2k42k12k2111k1 1k1 2k13k1k即 n=k+1 時,等式也成立,由 i ii可知,等式對 nN 均成立小結：在利用歸納假設論證n=k+1 等式成立時,留意分析n=k 與n=k+1 的兩個等式的差別 n=k+1 時,等式左邊增加兩項,右邊增加一項,而且右式的首項由 1 變?yōu)?1因此在證明中,右式中k 1 k 2的 1 應與-1 合并,才能得到所證式因而,在論證之前,把k 1 2 k 2n=k+1 時等式的左右兩邊的結構先作一分析是有效的由例 1 可以看出,數學歸納法的證明過程中,要把握好兩個關鍵之處：一是 fn與 n 的關系；二是 fk與 fk+1 的關系（三）、鞏固深化,反饋矯正（四）、歸納整理,整體熟悉（教材第 95 頁練習 1、2）1用數學歸納法證明, 要完成兩面?zhèn)€步驟, 這兩個步驟是缺一不行的,但從證題的難易來分析,證明其次步是難點和關鍵,要充分利用歸納假設,做好命題從 n=k 到 n=k+1的轉化,這個轉化要求在變化過程中專心 愛心 專心結構不變；2數學歸納法常處理的幾類問題證明有關整除問題證明不等式 證明數列有關問題；3運用數學歸納法時易犯的錯誤：對項數估算錯誤