1、第二章 Z變換及離散時(shí)間系統(tǒng)分析Chapter 2 Z-Transform and Discrete Time Systems Analysis 9/21/20221思考本章z變換分析法，即離散信號與系統(tǒng)的“頻率域分析”，與前一章“時(shí)域分析”相對。思考：為什么要進(jìn)行“頻域分析”？9/21/202222.0 預(yù)備內(nèi)容連續(xù)信號與系統(tǒng)分析時(shí)域:f(t)、微分方程頻域：拉普拉斯變換、傅立葉變換（FT）離散信號與系統(tǒng)分析時(shí)域:x(n)、差分方程頻域：Z變換、序列的傅立葉變換(DTFT)9/21/20223傅里葉變換該變換存在的充分條件：傅里葉變換的局限性: 1) 工程中一些信號不滿足絕對可積條件如U(t

2、);3) 求反變換時(shí),求 (-,)上的廣義積分,很困難; 4) 只能求零狀態(tài)響應(yīng),不能求零輸入響應(yīng)2) 有些信號不存在傅立葉變換如2.0 預(yù)備內(nèi)容9/21/202242.1 Z變換定義利用差分方程可求離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及瞬態(tài)解，為了分析系統(tǒng)的另外一些重要特性，如穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)等，需要研究離散時(shí)間系統(tǒng)的z變換（類似于模擬系統(tǒng)的拉氏變換），它是分析離散系統(tǒng)和離散信號的重要工具。一個(gè)離散序列 x（n）的Z變換定義為：收斂域：一般，序列的z變換并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和。9/21/20226以上的這種變換也稱為雙邊 z 變換。與此

3、相應(yīng)還有單邊 z 變換，單邊 z 變換只是對單邊序列（n=0部分）進(jìn)行變換的z變換，其定義為：單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。2.1 Z變換定義9/21/20227Z變換與拉氏變換理想沖激抽樣序列x(t)：有限帶寬信號通過抽樣，得到如下的離散序列：2.1 Z變換定義9/21/202290RezrrejwImz2.1 Z變換定義Z變換與拉氏變換9/21/202210Z變換與傅里葉變換（DTFT）2.1 Z變換定義9/21/2022112.2 Z變換收斂域9/21/2022122.2 Z變

4、換收斂域兩點(diǎn)說明同一個(gè)變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列是不相同的。收斂域中無極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為界的。 常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：零點(diǎn)：分子多項(xiàng)式P(z)的根極點(diǎn)：分母多項(xiàng)式Q(z)的根9/21/2022132.3 常用序列Z變換序列Z變換收斂域(n)1全Z平面u(n)11 - z -1|z|1n u(n)1 1 - z -1|z|RN (n)1 - z -N1 - z -1|z|0-n u(-n-1)1 1 - z -1|z|1nn u(n) z -1 (1 - z -1) 2|z|9/21/2022142.4 Z變換性質(zhì)(2)中結(jié)果不對例9/21/202216定

5、義及求解法2.5 Z反變換9/21/202217部分分式|z|1/22.5 Z反變換9/21/202219留數(shù)法注意：積分路徑為收斂域內(nèi)逆時(shí)針方向的閉合曲線積分路徑內(nèi)部 的極點(diǎn)的留數(shù)當(dāng)n取不同的值，z=0處的極點(diǎn)的階次不同 2.5 Z反變換9/21/202220已知：2.5 Z反變換9/21/2022212.5 Z反變換9/21/2022222.5 Z反變換9/21/2022232.6 Z變換求解差分方程9/21/202224II)求暫態(tài)解（零輸入解） 所以，零輸入解為：2.6 Z變換求解差分方程9/21/202226全響應(yīng)零狀態(tài)解零輸入解2.6 Z變換求解差分方程9/21/2022272.6

6、 Z變換求解差分方程例2：9/21/202229線性時(shí)不變離散系統(tǒng)四種表示方法頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)移函數(shù)（也稱系統(tǒng)函數(shù)）差分方程卷積關(guān)系2.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/202230轉(zhuǎn)移函數(shù)定義為系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的Z變換，也是系統(tǒng)輸出、輸入Z變換之比2.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/202231FIR系統(tǒng)：h(n)為有限長，輸入端不含輸出對輸入的反饋，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的IIR系統(tǒng)： h(n)為無限長，輸入端包含輸出對輸入的反饋，存在穩(wěn)定性問題2.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/202232零極點(diǎn)分析 由式2.1因式分解，得到： 使以上轉(zhuǎn)移函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式等于零的z值分別稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。分析系統(tǒng)因果性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性:一個(gè)LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其所有的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)估計(jì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)：幾何分析法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的一般法則：阻止一個(gè)頻率，在單位圓相應(yīng)頻率處設(shè)置一個(gè)零點(diǎn)；突出一個(gè)頻率，在單位圓內(nèi)相應(yīng)頻率處設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)，且越接近單位圓，幅頻響應(yīng)的幅值越大。2.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/2022332.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/202234其中K為實(shí)數(shù)，用z=e jw代入，即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：其模等于： 其相角為：2.7 轉(zhuǎn)移函數(shù)9/21/202235頻響幾何