1、集合及集合的應(yīng)用【課標(biāo)解讀】名 1.把握集合的有關(guān)基本定義概念,運(yùn)用集合的概念解決問題；. 2.把握集合的包含關(guān)系（子集、真子集）；3.把握集合的運(yùn)算交、并、補(bǔ) ；師 歸 4.在解決有關(guān)集合問題時(shí),要留意各種思想方法（數(shù)形結(jié)合、補(bǔ)集思想、分類爭(zhēng)論）的運(yùn)用納 總 【學(xué)問梳理】結(jié) | | 一、集合的有關(guān)概念大 肚 有 容 一 集合的含義, 容 學(xué) 二 集合中元素的三個(gè)特性習(xí) 困 1.元素的確定性：如：世界上最高的山,反例：世界上很高的山；難 之 2.元素的互異性：如：由“HAPPY ”的字母組成的集合H,A,P,Y ；事 , 3.元素的無序性：如： a,b,c和 a,c,b 是表示同一個(gè)集合. 學(xué)

2、 業(yè) 三 集合的表示有 成 集合的表示方法：列舉法與描述法. , 更 常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作： N,上 一 正整數(shù)集：N*或 N + ,整數(shù)集： Z,有理數(shù)集 Q , 實(shí)數(shù)集 R. 層 1列舉法： a,b,c, 樓 2 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.如： xR| x-32, x|x-32. 3語言描述法：如： 不是直角三角形的三角形. 4.Venn圖. 四 集合的分類1.有限集 : 含有有限個(gè)元素的集合 ; 2.無限集 : 含有無限個(gè)元素的集合 ; 3.空集 : 不含任何元素的集合 ;如： x|x2=-5. 二、集合間的基本關(guān)系1

3、.“ 包含 ” 關(guān)系 子集留意：A B 有兩種可能：（1）A是 B的一部分；（ 2）A與B是同一集合 . 反之 : 集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,記作 A B或B A. 2.“相等 ” 關(guān)系： A=B 5 5,且 55,就 5=5.實(shí)例：設(shè) A= x|x 2-1=0 ,B=-1,1. 就A=B. 元素相同就兩集合相等 ,即： 任何一個(gè)集合是它本身的子集：A A；真子集 :假如 A B,且A B,那就說集合 A是集合 B的真子集,記作 A B或B A. 假如 A B, B C ,那么 A C. 假如 A B , 同時(shí) B A ,那么 A=B. 3. 不含任何元素的集合叫做空

4、集,記為第 1 頁,共 17 頁規(guī)定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集 . 含有 n個(gè)元素的集合,有 2n個(gè)子集, 2 n 1 個(gè)真子集 . 三、集合的運(yùn)算名 運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集由全部屬于 A且屬于由全部屬于集合A設(shè)S是一個(gè)集合, A是S的B的元素所組成的集或?qū)儆诩?B的元一個(gè)子集,由 S中全部不合,叫做 A,B的交集素所組成的集合,屬于 A的元素組成的集合師 歸 定義記作 AB（讀作 “ A叫做 A,B的并集,叫做 S中子集 A的補(bǔ)集（納 記作： AB（讀作或余集）記作SA,即總 交B”）,即 AB=結(jié) | 韋恩圖示x|xA,且 xB“ A并B” ）,即 ASA=x|

5、xS , 且 xA .| 大 B肚 有 = x|xA,或 xB容 , S A 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 性質(zhì)AA=A AA=A UAUB= UAB 學(xué) 業(yè) 有 成 A=A=A UAUB= UAB , 更 AB=BA AB=BA AUA=U上 一 層 ABA ABAUA= 樓 ABBABB 【方法歸納】一、對(duì)于集合的問題：要確定屬于哪一類集合（數(shù)集,點(diǎn)集,或某類圖形集）,然后再確定處理此類問題的方法 . 二、關(guān)于集合中的運(yùn)算,一般應(yīng)把各參與運(yùn)算的集合化到最簡(jiǎn)形式,然后再進(jìn)行運(yùn)算 . 三、含參數(shù)的集合問題,多依據(jù)集合的互異性處理,有時(shí)需要用到分類爭(zhēng)論、數(shù)形集結(jié)合的思想 . 四、處理集合問題要

6、多從已知?jiǎng)由?多從特別點(diǎn)動(dòng)身來查找突破口 . 課堂精講練習(xí)題考點(diǎn)一：集合的概念與表示1.集合 A中的元素由 x=a+b2 aZ,bZ組成,判定以下元素與集合A的關(guān)系 . （1）0；（2）11；（3）312. 2【解題思路】：（1）由于0002,所以0A；（2）由于11112,所以11A；22（3）由于312312,3Z 所以312A .難度分級(jí) :B類第 2 頁,共 17 頁2.已知集合 A= y|y=x-1,xR ,B= x,y|y=x 2-1,xR ,C= x|y=x+1, y 3,求 AUCIB. 【解題思路】：A= y|y=x-1,xR= R是數(shù)集, B= x,y|y=x 2-1,x

7、R 是點(diǎn)集, C= x|y=x+1, y 3=x|x 2,AUCIB=. 難度分級(jí) :A 類名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 3.已知集合 A= x|x2+4ax-4a+3=0 , B= x|x2+ a-1x+a2=0 ,C= x|x 2+2ax-2a=0 ,其中至少有一個(gè)集合不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范疇 . 【解題思路】：當(dāng)三個(gè)集合全是空集時(shí),所對(duì)應(yīng)的三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)解. 方程都沒有實(shí)數(shù)解,12 16 a4 4 a30即2 a1 24a2034 a28 a0解此不等式組,得3a12所求實(shí)數(shù) a的取值范

8、疇為 a3 2,或a-1. 難度分級(jí) :B類 考點(diǎn)二：集合中元素的特點(diǎn)4.集合 3 ,x,x2 2x中, x應(yīng)滿意的條件是_. 【解題思路】：x1且x 0且x 3.難度分級(jí)： A類5.設(shè)集合Pxy xy xy ,Qx2y2,2 xy2,0,如 PQ ,求,x y的值及集合 P 、 Q 【解題思路】： PQ 且 0Q , 0P 2,0,0,與集合中元素的互異性沖突,（1）如xy0或xy0,就2 xy20,從而Qx2yxy0且xy0；0；（2）如xy0,就x0或y0當(dāng)y0時(shí),Px x , ,0,與集合中元素的互異性沖突,y當(dāng)x0時(shí),Py y , ,0,Qy2,y2,0,由 PQ 得y yy02 y

9、 2 y或yyy2y2y0由得y1,由得y1,x y01 或x y0 1,此時(shí)PQ1, 1,0難度分級(jí) :B類6.設(shè)S是滿意以下兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合：1S,如 aS ,就11aS,請(qǐng)解答以下問題：第 3 頁,共 17 頁（1）如 2S,就 S中必有另外兩個(gè)數(shù),求出這兩個(gè)數(shù)；（2）求證：如 aS ,就11S. a（3）在集合 S中元素能否只有一個(gè)？請(qǐng)說明理由；名 （4）求證：集合 S中至少有三個(gè)不同的元素.1S. 【解題思路】：（1）要求的兩個(gè)數(shù)為1,1；2（2）如aS ,就11aS,111a11S,如aS,就 1師 歸 1aa納 總 結(jié) （3）集合 S中的元素不能只有一個(gè).| | 大 證

10、明：假設(shè)集合S中只有一個(gè)元素,就依據(jù)題意知a=11a,此方程無解,a11a肚 有 容 , 集合 S中的元素不能只有一個(gè).三個(gè)數(shù)互不相等容 學(xué) （4）證明：由（ 2）知, aS ,11S, 現(xiàn)在證明 a,1,11習(xí) 困 a1 aa難 之 如 a=1,此方程無解,a11a事 , 1 a學(xué) 業(yè) 有 如 a=11,此方程無解,a11成 , aa更 上 如11a=11,此方程無解,11a11一 層 aa樓 綜上所述,集合S中至少有三個(gè)不同的元素. 難度分級(jí)： C類 考點(diǎn)二：交集、并集、補(bǔ)集的含義及其運(yùn)算7.2022 南京模擬 已知集合 M x|y 2x1 ,P x|y2 2x 3 ,那么 MP . UA

11、【解題思路】 ：由M： xy211,即 M x|x1 ,由 P： x1 2y233,即 P x|x3,所以 MP x|1x3答案 : x|1x3難度分級(jí)： A類8.已知集合 A中有 10個(gè)元素,集合 B中有 6個(gè)元素,全集 U中有 18個(gè)元素,且有 AB,設(shè)集合B中有 x個(gè)元素,就 x的取值范疇是 _【解題思路 】：由于當(dāng)集合 AB中僅有一個(gè)元素時(shí),集合UAB中有 3個(gè)元素,當(dāng) AB中有 6個(gè)元素時(shí),UAB中有 8個(gè)元素,即 3x8且x為整數(shù)答案 :3 x8且x為整數(shù) . 難度分級(jí)： B類9.2022鹽城模擬 設(shè)全集 UR,A x| x1 xm0 ,. UA 1, n,就 m2n2_. 【解題

12、思路 】：由 .UA 1, n,知 A, 1 n, ,即不等式x1 xm0 的解集為 , 1 n, ,所以 n 1, m 1,因此 m1, n 1,所以 m 2n22. 難度分級(jí)： B 類10.如集合Ax x2ax10,xR ,集合B1,2,且 AB ,求實(shí)數(shù) a 的取值范疇第 4 頁,共 17 頁【解題思路】：（1）如 A,就a240,解得2a2；（2）如1A ,就2 1a10,解得a2,此時(shí)A1,適合題意；2,5 2,不合題意；（3）就222 a10,解得a5,此時(shí)A2綜上所述,實(shí)數(shù)a 的取值范疇為 2,2 難度分級(jí)： A類名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困

13、 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 11.寫出陰影部分所表示的集合：UUBABAC圖1圖2【解題思路】：（1）B（UA）2ABC. 難度分級(jí)： B級(jí)12.（2022遼寧理）已知 A, B均為集合 U=1,3,5,7,9 的子集,且 AB=3,U BA=9, 就A= . 【解題思路】：由于 AB=3 ,所以 3A,又由于U BA=9 ,所以 9A,所以 A=3,9. 此題也可以用 Venn圖的方法幫忙懂得. 難度分級(jí)： B類13.設(shè)集合 A= x|x2+4x=0,xR, B= x|x2+2a+1x+a2-1=0,xR ,如 BA,求實(shí)數(shù) a的取值范疇【解題思路】 ：A= x

14、|x2+4x=0, xR=0 , -4, BA, B=或0 ,-4 , 0 ,-4.當(dāng) B=時(shí), =2 a+12-4a2-10. a -1. 當(dāng) B=0 時(shí),0a2 a1, a=-1. 021當(dāng) B=-4 時(shí),4422a1, 此方程組無解. 16a1當(dāng) B=0 ,-4 時(shí),4012 a1,a=1. 0a2 a的取值范疇為：a -1或 a=1難度分級(jí)： B類14. 2022 鹽城模擬 已知集合 A x|x2x20, B x|20 ,且滿意 AB C,A BCR,求實(shí)數(shù) b,c的值【解題思路】：由于 A x| 2x1,B x|13或x0的解集為 x|x3或x 2 ,即方程 x2bx c0的兩根分別

15、為2和 3,就b 32 1,c32 6. 難度分級(jí)： B類15.已知全集 U=R,集合 A= x|x2-x-60 ,C= x|x2-4ax+3a20 ,第 5 頁,共 17 頁1試求 a的取值范疇,使ABC；）,故 AB=（2,3）,2試求 a的取值范疇,使C AIC BC.【解題思路】：U=R,A=（-2,3）, B=（-,-4）（ 2,+C A（-,-2 3 ,+）,C B-4 ,2, C AI C B=-4 ,-2 , x 2-4ax+3a 20即x-3ax-a0,名 當(dāng) a0時(shí), C=（a,3a）. 個(gè). 師 a0歸 納 1 要使 ABC,結(jié)合數(shù)軸知,a2解得 1 a2；總 結(jié) 3 a

16、3| | 2 類似地,要使C AIC BC,必有a04解得2a4. 大 肚 有 3a3容 , a2容 學(xué) 難度分級(jí)： B類習(xí) 困 【課堂訓(xùn)練】難 之 事 , 1.如集合Ma,b,c中元素是 ABC的三邊長(zhǎng),就 ABC肯定不是三角形 . 學(xué) 業(yè) 有 【解題思路】：依據(jù)集合中元素的互異性,a、b和c互不相等,所以 ABC肯定不是等腰三角形. 成 , 更 答案：等腰上 一 難度分級(jí)： A類層 樓 2.設(shè)集合 I=1 ,2,3 ,AI,如把集合 M A=I的集合 M叫做集合 A的配集,就 A=1 ,2 的配集有【解題思路】：A的配集中肯定含有元素3,余下兩個(gè)元素 1,2可以全不含、僅有一個(gè)、兩個(gè)都有.

17、 答案： 4 難度分級(jí)： B類3.三個(gè)元素的集合1 , a,b a ,也可表示為 0 ,a2,a+b ,求 a2022+ b2022的值1.【解題思路】：依題意得b0,就b=0.所以a21,就a1.由互異性知aa所以 a2022+ b2022=-1. 難度分級(jí)： B類4. 設(shè)集合 A=5 ,log 2（ a+3） ,集合 B= a,b. 如 AB=2 ,就 AB=_. 【解題思路】：AB=2 , log2（a+3）=2. a=1.b=2. A=5 ,2 ,B=1 , 2. AB=1 , 2,5. 答案： 1 , 2,5. 難度分級(jí)： A類3.設(shè)A= x|1x2 ,B= x|x a ,如 AB,

18、就 a的取值范疇是 _. 【解題思路】：AB說明 A是B的真子集,利用數(shù)軸（如下圖）可知a1.a12答案： a1.難度分級(jí)： A類 第 6 頁,共 17 頁5.2022 蘇州模擬 已知全集 UR,Mx|yx1 , P x|ylog1x ,yM ,2名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 就U M U P_. 【解題思路】：M是yx1的定義域,即 M x|x1,U M x|x1 P是值域?yàn)?M時(shí),ylog11 x 的定義域,就 P x|01 2 ,2U M U P x|x0或1 2x1 答案： x|x0或1 2x

19、1 難度分級(jí)： A類6.已知集合 A= x|x 2-1=0 ,B= x|x 2-2ax+b=0 ,A B=A,求 a,b的值或 a,b所滿意的條件【解題思路】：A= x|x2-1=0 =1 , -1, A B=A , BA. 當(dāng) B=時(shí) , =4a2-4b0,即a2b0;當(dāng) B=-1 時(shí), a=-1, b=1; 當(dāng) B=1 時(shí), 2a=1+1=2 ,即 a=b=1; 當(dāng) B=-1 ,1 時(shí), B=A=-1 ,1 ,此時(shí) a=0,b=-1. 綜上所述 a,b滿意的條件為：a2-b0或a=-1, b=1 或a=0,b=-1或a=-1,b=1. 難度分級(jí)： B類7.2022揚(yáng)州模擬 設(shè)Ax|x2ax

20、a2190 ,B x|x 25x60 ,C x|x2 2x8 0 1如ABAB,求實(shí)數(shù) a的值；2如AB,且 AC,求實(shí)數(shù) a的值；3如ABAC,求實(shí)數(shù) a的值【解題思路】：1由于 ABAB,所以 AB,又由于 B2,3 ,就a5且 a2 196同時(shí)成立,所以a5. 2由于 B2,3 ,C 4,2 ,且 AB,AC,就只有 3A,即 a23a100,即a5或 a 2,由 1可知,當(dāng) a5時(shí), AB2,3 ,此時(shí) AC所以 a5舍去,故 a 2. ,與已知沖突,3由于 B2,3 ,C 4,2 ,且 ABAC,此時(shí)只有 2A,即a22a150,得 a5或a 3,由1可知,當(dāng) a5時(shí)不合題意,故 a

21、 3. 難度分級(jí)： B類【課后檢測(cè)】1.已知集合 A= x,y|x2y2y=4 , B= x,y|x2xy2y2=0 ,C= x,y|x2y=0 ,D= x,y|x+y=0. 1判定 B、C、D間的關(guān)系；2求AB. 【解題思路】：（1）B=CD; （2）AB=8,4, 2, 1,4, 4. 33難度分級(jí)： B類2.已知全集 UAUB中有 m個(gè)元素, 痧 UAUUB中有 n個(gè)元素如AIB非空,就 AIB的元素個(gè)數(shù)第 7 頁,共 17 頁為 . 由于AIB痧 U UAU. UB,所以 AIB共有 mn 個(gè)元素 . 【解題思路】：難度分級(jí)： A類3. 已知數(shù)集 A= a 2,a+1,-3 ,數(shù)集 B

22、= a-3,a-2,a2+1 ,如 AB=-3 ,求 a的值【解題思路】：AB=-3 , -3A, -3 B. 當(dāng)a-3=-3,即 a= 0時(shí), B=-3 ,-2,1 , A=0 ,1,-3 不滿意題意；名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 當(dāng)a-2=-3,即 a=-1時(shí), B=-4 ,-3,2 , A=1 ,0,-3 滿意題意 . a =-1.難度分級(jí)： A 類4.已知集合 A=2 ,5 ,B= x|x2+px+q=0, xR.（1）如 B=5 ,求 p,q的值（2）如 AB= B ,求實(shí)數(shù) p,q滿意的條

23、件【解題思路】：（1） AB=5 ,方程 x2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)根5, 5+5=-p,5 5=q, p=-10, q=25.（2） AB= B,BA. 當(dāng) B=時(shí), =p2-4q0,即 p24q；當(dāng) B=2 時(shí),可求得 p=-4,q=4；當(dāng) B=5 時(shí), p=-10,q=25；當(dāng) B=2 ,5 時(shí),可求得 p=-7,q=10；綜上所述：實(shí)數(shù)p,q滿意的條件為 p 20 且a 1 ,f log a x = aa1x 2x第 13 頁,共 17 頁【解題思路 】：（ 1）fx1fx31axt13t3xf1,a2a1 axax,xR .xx3xxf x x33 x （x2或x2）1 aa,

24、x xat, ta2（2） 令t=log axtR,就難度分級(jí)： B類名 5. 已知f x 是一次函數(shù),且滿意3 f x12 f x12x17,求f x ；17,師 【解題思路 】：設(shè)f x axb a0,歸 納 總 就 3f x12f x13 ax3a3 b2ax2a2 baxb5 a2x結(jié) | a2,b7,f x 2x73 x,| 大 難度分級(jí)： B類肚 有 容 6. 已知f x 滿意2 f13x,求f x , 容 x學(xué) 習(xí) 【解題思路 】：2f x f 1x3x,把中的x 換成1 x,得2f1f x 困 難 x之 事 2得3f x 6x3,f x 2x1, 學(xué) xx業(yè) 有 難度分級(jí)： B

25、類成 , 7. 求以下函數(shù)的值域: 更 上 1y2x3x 5, 6一 層 樓 2ysinxx3,4）3f x log2xx2,54y2x, 2x【解題思路 】:1 -7,15; 23,2; 3（1,log25）; 4（0,1. 228. 求以下函數(shù)的值域1y2 x6 x5；2y3x1；第 14 頁,共 17 頁x23yx4 1x .【解題思路 】：（ 1）設(shè)x26x5（0 ）,就原函數(shù)可化為y又x26x5x3244, 04 ,故0,2 ,y2 x6x5的值域?yàn)?0, 2 （2）y3x13x273x72,x2x2x720,3x723,函數(shù)y3 x1的值域?yàn)?yR y3x2（3）yx4 1x=1

26、1x 2t4 12x5t0,y5,設(shè)t1x0,就x12 t ,2原函數(shù)可化為y1t24 t原函數(shù)值域?yàn)?5 難度分級(jí)： A類名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 9. 求以下函數(shù)的值域1y2xlog3xx2,32y2x3x3x【解題思路 】： 1明顯函數(shù)在（ 2,3）上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?+log32, 9）3 函數(shù)在（ 3, ）上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?, ）. 難度分級(jí)： A類10. 求y=|x-1|+x2的值域【解題思路 】：y2 xx1x12 xx1x1當(dāng)x1時(shí), y1,當(dāng) x1時(shí),

27、y3 4,所以函數(shù)的值域?yàn)? , 4. 難度分級(jí)： A類11. 求證：函數(shù) fx= x3+1在區(qū)間 ,+ 上是單調(diào)減函數(shù).【解題思路 】證明：設(shè) x 1, x2 R且x1x 1,x 2 2+x 1x2+x 120,所以 fx 1 fx 20即 fx 1fx 2,所以 fx 在 ,+ 上遞減 . 難度分級(jí)： A類12. 求證：f x x1在區(qū)間 0,1 上是減函數(shù)1.x【解題思路 】證明：設(shè)0 x 1x 21,就x 2x 10,0 x x 1 2f x 2f x 1x 21x 11x2x 1x 2x 111x2x 1x 2x 1x 2x 1x x 2x 2x 1x x210 x x 2即f x

28、2f x 1.故f x1在區(qū)間 0,1 上是減函數(shù)x難度分級(jí)： B類13. 爭(zhēng)論函數(shù)fxax1a1在,2上的單調(diào)性 .第 15 頁,共 17 頁x22【解題思路 】：f ax1x2名 師 歸 納 總 結(jié) | | 大 肚 有 容 , 容 學(xué) 習(xí) 困 難 之 事 , 學(xué) 業(yè) 有 成 , 更 上 一 層 樓 ax2 a12 ax2112ax2設(shè)2x 1x ,就x 22x 120,x 2x 10f x 2f x 112a1 2a1 2 x 2x 1x 22x 22x 122x 1x 2x 1x 2202x 1當(dāng)a1時(shí),f x 2f x 1,此時(shí)函數(shù)fxax1a1在2 ,上是單調(diào)減函數(shù)；2x22當(dāng)a1時(shí),f x 2