1、上海市青浦高級中學高三上學期9月質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題1 .設(shè)集合 A （x,y）|x y 1,ax y 4,x ay 2,則A.對任意實數(shù) a,B.對任意實數(shù)a, （2,1） A3C.當且僅當a0時，（2,1） AD.當且僅當a 2 時，（2,1） A【答案】D【解析】分析：求出（2,1） A及（2,1） A所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進行求解.33詳解：若（2,1）A,則a 2且a 0,即若（2,1） A,則a 2,3此命題的逆否命題為：若a萬，則有（2,1） A,故選D.點睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必 TOC o 1-5 h z

2、要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)p,q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.設(shè) A x| p（x）, B x|q（x）,若 A B-Up q；若A BUp q ,當一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命題形式2.在平面直角坐標系中， 記d為點P cosqsin 9到直線x my 2 0的距離，當、m變化時，d的最大值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】P為單位圓上一點，而直線 x my 2 0過點A 2,0 ,則根據(jù)幾何意義得 d的最大值為OA 1.【詳解】Q cos2sin21, P為單位圓上一點，而直線 x my 2 0過點A 2,0 ,所以d的最大值為OA

3、1 2 1 3,選C.【點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值,求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為正視圖 惻f左）視圖123【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體,利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數(shù) 詳解：由三視圖可得四棱錐 P ABCD,在四棱錐P ABCD中，PD 2, AD 2,CD 2, AB 1 ,由勾股定理可知： PA 2拒 PC 272, PB 3,BC J5 ,則在四棱錐中，直角三角形有:PAD, PC

4、D, PAB共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原, 分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等 相關(guān)問題的求解.uuur i uur.設(shè)的邊AB上一定點P0滿足PoB AB,且對于邊AB上任一點P ,恒有4uur uur uur uurPB PC P0B P)C ,則()A. ABC B. BAC C. AB AC D. AC BC22【答案】Duuruur【解析】設(shè)| AB | 4,則| P0B| 1 ,過點C作AB的垂線，垂足為H ,在AB上任取一點P ,uuuuuu設(shè)Hp0 a ,則由數(shù)量積的

5、幾何意義可得 |PB|2 (a 1)|PB| a 0恒成立，只需22(a 1) 4a (a 1)0即可，由此能求出ABC是等腰三角形， AC BC .【詳解】uuuuur設(shè)| AB | 4 ,則|P0B| 1 ,過點C作AB的垂線，垂足為H ,在AB上任取一點P ,設(shè)HP。 a ,則由數(shù)量積的幾何意義可得,uur uuir uur uuu uuuuuuPB PC | PH | | PB | |PB |2 (a 1)| PB |,uur uurRB PC a,uuu uuir uur uuir于是PB PC P)B RC恒成立，uuuuuu整理得|PB|2 (a 1)| PB| a 0恒成立，2

6、2只需 (a 1) 4a (a 1)0即可，于是a 1,因此HB 2,即H是AB的中點，故 ABC是等腰三角形,所以AC BC .本題考查平面向量的運算、向量的模及向量的數(shù)量積的概念、向量運算的幾何意義的應(yīng)用,考查利用向量解決簡單的幾何問題的能力.二、填空題.已知集合 A=x|x|2, B= -2, 0, 1, 2,則 AI B=【答案】0,1【解析】根據(jù)集合的交運算進行計算即可.【詳解】Q|x 2,2 x 2,因此 AIB=2,0,1,22,20,1故答案為：0,1【點睛】本題主要考查集合的基本運算，根據(jù)集合交集的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).,若函數(shù) f x 1 JX , g x 小x

7、JX ,則 f (x) g x 【答案】1.x (0 x 1)【解析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于零可求得f x ,g x定義域，取交集得到f x g x的定義域，將f x ,g x解析式相加可得所求結(jié)果.【詳解】Q f x定義域為：x x 0 ； g x定義域為：x 0 x 1f x g x的定義域為 x 0 x 1f x g x 1 . x , 1 x x 1 、1 x 0 x 1故答案為：1 .1x0 x1【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求解，易錯點是忽略了函數(shù)定義域的要求，造成所求函數(shù)的定義域缺失.在2x 1 7的二項展開式中，第四項的系數(shù)為 . TOC o 1-5 h z 【答案】560

8、【解析】利用二項展開式的通項公式，求得第四項的系數(shù)【詳解】一一一 一一，._3_43二項展開式中，第四項的系數(shù)為C73 241560.故答案為：560【點睛】本小題主要考查二項展開式通項公式的運用，屬于基礎(chǔ)題.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選 2名學生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為 L【答案】10【解析】分析：先確定總基本事件數(shù)，再從中確定滿足條件的基本事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：從5名學生中抽取2名學生，共有10種方法，其中恰好選中 2名女生的方法有 3310種，因此所求概率為 一.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜

9、的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法(理科)：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目2.已知某圓錐體的底面半徑 r 3,沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為一 的3扇形，則該圓錐體的表面積是 .【答案】【解析】試題分析：由已知沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到的扇形的弧長為2”,/ - 6 _ g從而其母線長為 一互一,從而圓錐體的表面積為 S-S版【考點】圓錐體的表面積.10 .已知直線 li：3x k 2y 6 0 與直線 l2：k

10、x 2k 3 y 2 0,記 D2k 3,則D=0是直線11與直線12平行的選填“充分非必要”、“必要非充分”“充要”、“既非充分又非必要”)條件.【答案】必要非充分【解析】解D 0求得k的值.由此IK 求得k的值.由此判斷出充分、必要條件【詳解】2令 D 0得3 2k 3 k 2 k 0,k 8k 9 0,解得 k 9或 k 1.當lll2時,3 2k 33 2 6k9.故D=0是直線li與直線12平行的必要非充分條件 故答案為：必要非充分【點睛】必要條件的判斷，屬本小題主要考查兩條直線平行的條件，考查行列式的計算，考查充分、 于基礎(chǔ)題.11 .設(shè)函數(shù)f x cos0 ,若f x f 一 對

11、任意白勺實數(shù)x都成立，則4的最小值為【解析】根據(jù)題意 f x取最大值4 ,根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達式,進而確定其最小值【詳解】因為f x f 一 對任意白實數(shù)x都成立，所以f x取最大值f 一44所以一一2kk Z), 8k 2(k Z),463因為 0,所以當k 0時，取最小值為2.3【點睛】函數(shù) y Acos( x ) B(A 0,0）的性質(zhì)(1)ymax =A+B, yminA B.2兀(2)周期T .(3)由 XkXk Z）求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足x2kXk Z),最小值對應(yīng)自變量滿足X+2k (k Z),(4)由 一 2k2-2k x2x 2一 2k (k22k （k

12、 Z）求增區(qū)間；由Z）求減區(qū)間.12 .若x, y滿足x+1 yf 0對任意的x 0,2都成立，則f x在0,2上是增函數(shù)”為 假命題的一個函數(shù)是 .【答案】f x x -（答案不唯一）2【解析】根據(jù)題目所給命題為假命題， 構(gòu)造函數(shù)f x在區(qū)間0,2滿足條件“ f x f 0對任意的x 0,2都成立”且不是增函數(shù).【詳解】由于原命題是假命題，故存在“f x f 0對任意的x 0,2都成立”且不是增函數(shù).設(shè)f x為二次函數(shù)，則f x在0,2必須是先增后減，此時只需二次函數(shù)對稱軸滿足212 ,且二次項系數(shù)a 0即可.如f x x -.2a22 3 故答案為：f x x -（答案不唯一）2【點睛】本

13、小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 2222.已知橢圓M :勺 * 1 a b 0 ,雙曲線N :3 * 1 ,若雙曲線N的兩條漸 a bm n近線與橢圓M的四個交點及橢圓 M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的焦距與長軸長的比值為 .【答案】、:3 1【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及橢圓的定義求得2a,由此求得橢圓 M的焦距與長軸長的比值（也即離心率）【詳解】2c由正六邊形的性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為c J3c ,根據(jù)橢圓的定義可知,3 1_2c.3 1 cc 73c 2a ,所以橢圓M的焦距與長軸長的比值為 2a故答案為：,3 1.【點睛】本小題主

14、要考查橢圓的定義，考查橢圓的幾何性質(zhì)， 考查正六邊形的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ABC 120, ABC的平分線交AC于點D,且BD 1 ,則4a c的最小值為 L【答案】9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值詳解：由題意可知,SA ABCSA ABDSA BCD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得1.1acsin120 -a22,“1，. ”1sin60-c1sin 60,化簡得 ac21c,一 a1 /一1,因此 c14a c (4a c)(一 a1、 l c 4aLec 4a 八)55 2,， 9,c a c .

15、 a c當且僅當c 2a 3時取等號，則4a c的最小值為9.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù) 卜“定”（不等式的另一邊必須為定值 卜“等（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.在實數(shù)集R中,我們定義的大小關(guān)系為全體實數(shù)排了一個“序”.類似地，我們在復數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系 ，記為.定義如下：對于任意兩個復數(shù)：zi& bi, z2a2di ab a2, b, b2R , ZiZ2 當且僅當 “ a1 a?” 或 “ a1且“b2” .按上述定義的關(guān)系,給出以下四個命題若 ZiZ2,則 Z

16、| Z2 ;若 ZiZ2, Z2 Z3,則 Zl Z3；若ZiZ2,則對于任意z C, Zi zZ2 z；對于復數(shù)z0,若ZiZ2，則Z4 ZZ2.其中所有真命題的序號為 .【答案】【解析】根據(jù)新定義“序”的關(guān)系，對四個命題逐一分析，由此判斷出真命題的序號.【詳解】對于，由于ZiZ2,所以“aa?”或“aa?且bb? ”.當a1包 2 ,滿足ai a2但ZiZ2 ,所以錯誤.對于，根據(jù)“序”的關(guān)系的定義可知，復數(shù)的“序”有傳遞性，所以正確對于，設(shè)Z c di ,由Zi Z2,所以“ ai a2 ”或“a a2且bi b2”，可得“a c a2 c” 或 “ a c a2 c且b d b2 d

17、”，即 4 z Z2 z成立，所以正確.對于，當Zi3i,Z22i, z 2i 時，zzi6,zz24,zziZZ2,故錯誤.故答案為：【點睛】本小題主要考查新定義復數(shù) “序”的關(guān)系的理解和運用，考查分析、思考與解決問題的能力， 屬于基礎(chǔ)題.、解答題2.已知函數(shù) f x sin xcosx cos x求fx的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若 fx在區(qū)間0, m上恰好有十個零點，求正數(shù)m的最小值.(1)最小正周期為巴遞減區(qū)間為,kZ”等(1)利用降次公式、二倍角公式和輔助角公式化簡解析式，進而求得 f x的最小正周期和的單調(diào)減區(qū)間(1)令f x0求得函數(shù)f x的零點，結(jié)合在區(qū)間0,m上恰好有十

18、個零點,求得m的最小值.2冗T 2(2)令 f內(nèi)，f xsin2x 21 cos2x2二sin 2x 2x的最小正周期為,冗%.由2k冗一2恰有十個零點,2x,k2ku3冗一，解得ku2x故由kjt2即2xZ .由于x 0,mZ 得 k取 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，恰好 10 個零點.當k39冗m的最小值為839冗10時，x .所以正數(shù)8本小題主要考查利用二倍角公式、降次公式和輔助角公式進行三角恒等變換，考查三角函數(shù) 最小正周期、單調(diào)區(qū)間的求法，考查三角函數(shù)零點問題，屬于中檔題18 .如圖，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P, Q分別為A1B1, BC

19、的中 點八、(1 )求異面直線 BP與ACi所成角的余弦值；(2)求直線CCi與平面AQCi所成角的正弦值.【答案】(1) 30 20(2)在 5【解析】分析：(1)先建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量uuv uuvBP, AG的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；(2)利用平面的方向量的求法列方程組解得平面 AQCi的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.詳解：如圖，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，設(shè)AC, A1C1的中點分別為 O, Oi,則OB，uuv uuiv uuuvOC, OOiXOC, OOi

20、XOB,以O(shè)B,OC,OOi為基底，建立空間直角坐標系O-xyz .因為 AB = AAi=2 ,所以 A 0, 1,0 ,B .3,0,0 ,C 0,1,0 ,A 0, 1,2 ,Bi .3,0,2 ,Ci 0,1,2aP為A1B1的中點，所以(1 )因為2,2uuv從而BP3iuuuv,2 ,ACi220,2,2uuvuuuv故 cosBP, AGuuv BP3.1020因此，異面直線 BP與ACi所成角的余弦值為3.1020(2)因為Q為BC的中點，所以uuu/因此AQuuuvACiunur0,2,2 ,CCi0,0,2 .設(shè) n = (xy, z)為平面AQCi的一個法向量,uuivA

21、Q n 則 uuuvACi n0,0,2y3 八 2y 0,2z 0.不妨取n設(shè)直線CCi與平面AQCi所成角為則sinuuuvcosCG, nuuiufCCi所以直線CCi與平面AQCi所成角的正弦值為 內(nèi)5點睛：本題考查空間向量、 異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運用空間向量解決問 題的能力.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破” ：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”219.已知拋物線 C: y =2 px經(jīng)過點P (1, 2).過點Q (0, 1)的直線l與拋

22、物線C有兩個不同的交點 A , B,且直線PA交y軸于M ,直線PB交y軸于N .(I )求直線l的斜率的取值范圍；uuuuuuir uuur uuur11(n)設(shè)O為原點，QM QO , QN QO,求證：一 一為定值.【答案】(1)取值范圍是(-8, -3 ) U (-3 , 0) U ( 0, 1)(2)證明過程見解析【解析】【詳解】分析：(1)先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù) PA, PB與y軸相交，舍去k=3 , (2)先設(shè)A (x1，y1), B (x2,2 k 41uuuv uuu/y2),與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理可得 X1 X2 , xx2 下.再由QM = QO ,kkuuivuuuvQN= QO得=1 yM ,1 yN .利用直線PA, PB的方程分別得點 M, N的縱坐1標，代入化簡一可得結(jié)論.詳解：解：(D因為拋物線 y2=2 px經(jīng)過點P (1 , 2),所以4=2 p,解得p=2 ,所以拋物線的方程為y2=4x.由題意可知直線l的斜率存在且不為 0,設(shè)直線l的方程為y=kx+1 (kw0).4x 2 2 得k x2k 4 x 1 0.kx 1., 2依題意2k 44 k 1 0,解得 k0 或 0k,L ,Xn和1M (，) = 2 Xi yiyi(I)當 n=3 時，若 i,i,0