1、轉(zhuǎn)動球體的全空間磁場分布作者：錢士才 西南交通大學(xué)機械茅以升班 學(xué)號：20090794 指導(dǎo)老師：李元杰摘要求繞對稱軸轉(zhuǎn)動的帶電體的磁場是一類典型的靜磁場邊值問題，傳統(tǒng)的解法 是用磁矢勢或磁標勢結(jié)合邊界條件解拉普拉斯方程或泊松方程，其過程復(fù)雜，計 算冗長;采用磁場疊加法對旋轉(zhuǎn)球面、球體、柱體的磁場進行了分析.本文以轉(zhuǎn)動 球體為例，根據(jù)（連帶）勒讓德多項式的性質(zhì)和加法公式，利用矢勢疊加法方便快 捷地導(dǎo)出了轉(zhuǎn)動球體的空間磁場分布。關(guān)鍵詞:矢勢；勒讓德多項式；磁感應(yīng)強度；DTP編程一、前沿球體現(xiàn)實生活中具有高度對稱性的一類物體，應(yīng)用廣泛。摩擦等一些方式會 使其帶電，而這種球體一旦旋轉(zhuǎn)起來，就會使其周

2、圍空間形成一定的磁場分布， 從而對其他電子設(shè)備形成一定程度的破壞或干擾。因此，研究帶電球體轉(zhuǎn)動的磁 場分布具有一定的現(xiàn)實意義。二、方程及求解2.1.轉(zhuǎn)動球體的矢勢電荷量Q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，當球體以勻角速度繞它的直 徑旋轉(zhuǎn)時，求其空間矢勢和磁場分布.以球心為原點0,轉(zhuǎn)軸為極軸，建立如圖1 所示球坐標系.根據(jù)電流產(chǎn)生矢勢的式，可得到空間任意點P。，0&）的矢勢為： TOC o 1-5 h z 0=%j j2dV（1）4 兀 r - rV 1其中J（r，）= 3xr = rsin0，（sinfe + cosfe ）（2）4na34兀a3xj|r -=Yr2 + r2 2rrcosw（3）w

3、為r（r,0,甲）與rr,0,平，）之間的夾角。由空間夾角的公式可得：cosw = cos0 cos0 + sin0 sin0cosCp-甲）（4）圖1 圖1 坐標系由電流分布對稱性可知，在空間任一個過Z軸的平面的磁場分布均相同，即矢勢A與方位角中無關(guān)。為計算方便，取P點的方位角 TOC o 1-5 h z 中=0（5）將（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1）整理可得磁矢勢為：3Qr3sin20rCsin?- + cos?-）“、A（r ）=蘆盧 Ja kJ2” drd。如,平 平、，（6）梃兀方a3 000r2 + r2 - 2rrcos0 cos0 + sin0 sinOcos9）又因

4、為又特殊條件，即：0r2 + r2 2rr（cos0 cos0 + sin0 sin0cos甲）以及在球坐標中P（r,0 ,0）的-=-，則式（6）可簡化為：y 9A（r）= 3%警-j.卜 J2兀 r3 sin2 0cos9 dr d0d9（8）（4兀力a3 9 000、:r2 + r2 一 2rrcosw則式（8）即為轉(zhuǎn)動球體的矢勢積分表達式.2.2.利用勒讓德多項式計算轉(zhuǎn)動球體的積分矢勢由于勒讓德多項式得距離條件，下面分ra和r r) r 1=3J再利用連帶勒讓德多項式加法公式P (cosv )= P(cos 0) P (cos 0 )+ 2 _ Pm (cos 0) Pm (cos 0

5、 )cos m 9111(+ m! 11m=1由三角函數(shù)族的正交關(guān)系可知y 土 y 土 3dr中 o ri+i i（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）仙 P （cosv ）cos中0中，=2兀（一i! Pi （cos0）Pi （cos0，）當r a時，由式（8）、（9）可整理得到矢勢：R （r）=碧群 f（ Pios。 J （ dr小兀 Pi （cos0 ）sin2 0 d0 =i,利用下列公式即條件：Pi (x )=( - x 2 施1dxx = cos0 Pi (cos 0 )= sin 0iP G)= ip (-i)=(-i)以及遞推公式(+ i)p i (x

6、)-(21 + i)xp G)+ 1P i G)= 0(21 + i)P (x)= P - P (x)(l i)11+i1 -iJ2 兀 Pi (cos0，)sin2 0 d0，= J1 ( J2 兀 Pi (cos0，)sin2 0 d0，= J1 ( - x 2 *1 Qdx = 2 J1 xP (x d = 2( + i).JixP (x)ix +j1 xP (x)ixl - i-dx = 2.-o 1-1dx-i 121 +1 -i 1+1=2( J1 P G)pQR +2L_J1 PG)p，G)dx=o(21 + 3)(21 +1) -i 1+21(21 + 1)21-1)-i 11

7、 -2+21+1 -i(19)當1 = 1時有：J Pi (cos 0，)sin2 0 d0 = J1 ( - x 2 x =3K2 sin 0. e20兀r2平o 1-1A (r )=率 sin 0. e J 八 Qdr14兀3平 0 r 2(20)(21)當r a時有:B (f )=Vx A (r )=02 .Vxf 豫 * ii20kI r2 )日 wQa 2=20k1 5 (sin 0r 50 r )=與首a2 （2cos0 2 + sin0 -e0）（ 24）可見，轉(zhuǎn)動球體的磁場相當于在球心出放一個中心為Z軸的磁偶極子產(chǎn)生的磁場。2.3.2在球體內(nèi)部，即r a有B2 (r )=Vx

8、A2 (r )=空4Ka 3r r a 23 i 、 Vx sin0 r 一一r3 -eI 210 中)I* /日Qo 4Ka 3V 15r sin 0 50r八 sin2 0 Ia 23r 一 一21015r sin 0 10旦Qo4Ka 3cos0 e rsin 0 e0（25）在球心處（r=0）可得磁場強度的表達式為B （）=0（cos0 e -sin0 e ）= o e（26）04Ka3r04Ka3 z在沿Z軸的軸線上，0 = 0可得：（27）b (r)=紋1 一 竺（27）24ka 5a 3r可見，磁感應(yīng)強度隨距離增大而減少三、結(jié)果分析3.1坐標變換在 二中，得到了旋轉(zhuǎn)球體的磁場在極

9、坐標下的表達式，為了方便DTP作 圖，將其公式轉(zhuǎn)化為直角坐標下的表達式，根據(jù)極坐標和直角坐標的關(guān)系：e = sin 0 - e + cos 0 - e e e = sin 0 - e + cos 0 - e e = cos 0 - e - sin 0 - e(28)(29 )則其表達式可化為在直角坐標下的表達3.1.1在球的外部有(一)日 Qa2 ( )( 11B (r )= 02 cos0 - sin0 - e + cos0 - e + sin0 - uos0 - e - sin0 - e120Kr3xyx(30)B () = oQa 2 . 3sin 0 cos 0 -1 x20Kr3x（

10、31）B () = 0Qa2 (2cos 0 cos 0 - sin 0 sin 0)(32)3.1.2 在球的內(nèi)部有-3 - a 2 - r 2cos0 - (in0 - e + cos0 - e )-6 a 2 - r 2L 5xyL 5sin 0 -B2 ( -(33)B2(B2()=3r2 - sin 0 cos 0 - e5x（34）B2G) =4- a2 -3r2 (+ sin20,(35)3.2利用DTP編程可作出轉(zhuǎn)動球體的磁場中磁感應(yīng)線的分布圖:r可以看出，在球的外部，轉(zhuǎn)動球體的磁感線分布相當于一個電偶極子產(chǎn)生的 磁場；其磁場的大小與其所帶的電量成正比，與球轉(zhuǎn)動的角速度長正比，

11、與球半 徑的平方成正比，下面以DTP做出的圖來定性的比較影響外部磁場分布的因素， 其中磁場的強弱以磁感應(yīng)線的亮度和疏密來表示，亮度越大，磁感線越密的地方， 其磁感應(yīng)強度越大.在球的內(nèi)部，其磁場相當于一個螺線管的磁場。3.3下面以DTP做出的圖來定性的比較影響外部磁場分布的因素：3.3.1當球的半徑一定時，不同電量和不同的轉(zhuǎn)動角速度產(chǎn)生的磁場并不相 同：3.3.2當半徑與電量相同時，不同角速度產(chǎn)生不同的磁場。3.3.3當角速度和電量一定時，不同的半徑產(chǎn)生的電場并不相同。四，討論根據(jù)（連帶）勒讓德多項式的性質(zhì)和加法公式，還可計算轉(zhuǎn)動球面、柱體、 螺線管等帶電體的空間磁場分布.該方法既能計算電流分布

12、區(qū)域外部的磁場，又 能計算電流分布區(qū)域內(nèi)部的磁場，不涉及解泊松方程，簡便直觀，易于理解，是 求解軸對稱性穩(wěn)恒場的一種有力工具.本文一個創(chuàng)新的地方是使用了 DTP平臺編 程，很好的展現(xiàn)了求出的轉(zhuǎn)動球體的磁場，并容易看出磁場分布的影響因素。參考文獻：李元杰等.大學(xué)物理學(xué).高等教育出版社，2008.01李元杰等.數(shù)字物理教學(xué)典型案例.高等教育出版社，2008.01李振.多種方法求解磁場問題J.甘肅教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1997（01）:94-97. 賀金玉，等.電磁場理論要點與題解M.濟南:山東大學(xué)出版社，2005:112-115.姚斌，鄭勤紅.定軸轉(zhuǎn)動帶電體的全空間磁場分布J.云南師范大學(xué)學(xué)報，2003, 2(05):40-44.梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法M.北京:高等教育出版社，1998:291，299.邵惠民.數(shù)學(xué)物理方法M.北京:科學(xué)出版社，2004:350-360.林璇英，張之翔.電動力學(xué)題解M.北京:科學(xué)出版社，2002, 57-63.Abstract:According to characterand additive formula ofLegendre polyno