1、蘇教版高中數(shù)學課件雙曲線的標準方程1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.能利用雙曲線的定義和標準方程解決一些實際應用問題.學習目標前面學習了橢圓及其幾何性質，了解了橢圓形狀與離心率e有關，在現(xiàn)實生活中還有一類曲線，與橢圓并稱為“情侶曲線”，即雙曲線，它的形狀在現(xiàn)實中很常見.如發(fā)電廠的冷卻塔的形狀，上、下兩頭粗，中間細，截面圖的形狀就是本節(jié)要學習的雙曲線，它的標準方程又如何？人們不禁要問，為什么建成這樣的雙曲線型冷卻塔，而不建成豎直的呢？這就需要我們學習與雙曲線相關的內(nèi)容.導語隨堂演練課時對點練一、雙曲線的定義二、雙曲線的標準方程三、雙曲線在生

2、活中的應用內(nèi)容索引一、雙曲線的定義問題1如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點.在平面內(nèi)，取定點F1，F(xiàn)2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果F1F2AB，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果F1F2AB，兩圓不相交，不存在交點軌跡.如圖，在F1F2AB的條件下，讓P點在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？提示如題圖，曲線上的點滿足條件：MF1MF2常數(shù).雙曲線定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之 等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫作 .這兩個定點叫作雙曲線的 ，兩焦點間的距離叫作

3、雙曲線的 .知識梳理差的絕對值雙曲線焦點焦距注意點：(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離.(2)如果沒有絕對值，點的軌跡表示雙曲線的一支.(3)當2aF1F2時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).(4)當2aF1F2時，動點的軌跡不存在.(5)當2a0時，動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.例1已知A(0，5)，B(0,5)，PAPB2a，當a3，a5時，P點的軌跡分別為A.雙曲線，一條直線B.雙曲線，兩條直線C.雙曲線一支，一條直線D.雙曲線一支，一條射線解析 當a3時，2a6，此時AB10，點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B).當a5時，2a10，此時AB10，點P

4、的軌跡為射線，且是以B為端點的一條射線.反思感悟判斷點的軌跡是否為雙曲線時，要根據(jù)雙曲線的定義成立的充要條件.跟蹤訓練1已知F1(6,0)，F(xiàn)2(6,0)，動點P滿足PF1PF210，則P點的軌跡是A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.直線 D.一條射線解析F1，F(xiàn)2是定點，且F1F212，所以滿足條件PF1PF210的點P的軌跡應為雙曲線的一支.二、雙曲線的標準方程問題2類比求橢圓標準方程的過程.如何建立適當?shù)淖鴺讼?，求出雙曲線的標準方程？提示觀察我們畫出的雙曲線，發(fā)現(xiàn)它也具有對稱性，而且直線F1F2是它的一條對稱軸，所以以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標

5、系xOy，此時雙曲線的焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2 (c,0)，焦距為2c，c0.設P(x，y)是雙曲線上任意一點，則|PF1PF2|2a(a為大于0的常數(shù))，類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡，得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，由雙曲線的定義知，2c2a，即ca，所以c2a20，類比橢圓標準方程的建立過程，問題3設雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足PF1PF22a，其中ca0，以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？雙曲線的標準方程知識梳理焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

6、標準方程焦點_a，b，c的關系b2_F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)c2a2注意點：(1)若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上.(2)a與b沒有大小關系.(3)a，b，c的關系滿足c2a2b2.例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程.解得a25或a230(舍去).(2)焦點為(0，6)，(0,6)，且過點A(5,6).解方法一由已知得c6，且焦點在y軸上.因為點A(5,6)在雙曲線上，則a4，b2c2a2624220.解得a216，b220.反思感悟求雙曲線的標準方程(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不確定，可按焦點

7、在x軸和y軸上兩種情況討論求解.跟蹤訓練2焦點在x軸上，經(jīng)過點P(4，2)和點Q( )的雙曲線的標準方程為 _ .解得a28，b24，三、雙曲線在生活中的應用例3神舟“九號飛船”返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P為航天員著陸點.某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角.解如圖所示，以直線AB為x 軸，線段AB的垂直平分線為

8、y 軸建立直角坐標系，PBPC，點P在線段BC的垂直平分線上，又PBPA46AB，點P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，且a2，c3，反思感悟利用雙曲線解決實際問題的基本步驟(1)建立適當?shù)淖鴺讼?(2)求出雙曲線的標準方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應用問題(注意實際意義).跟蹤訓練3如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30方向2 km處，河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點D到A的距離比到B的距離遠2 km，則曲線PQ的軌跡方程是 _ _ ；現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B，C兩地轉運貨物，那么這兩條公路MB，MC的路程之和最短是 km.解析如圖所示，以A

9、B所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.則DADB2，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故2c4，c2,2a2，a1，b2c2a2413，當A，M，C共線時等號成立.1.知識清單：(1)雙曲線定義的應用.(2)雙曲線方程的求法.(3)雙曲線在實際生活中的應用.2.方法歸納：轉化法.3.常見誤區(qū)：雙曲線在實際生活中的應用中，建模容易出錯.課堂小結隨堂演練1.“ab0”是“方程ax2by2c表示雙曲線”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析當方程表示雙曲線時，一定有ab0，反之，當ab0時，若c0，則方程不表示雙曲線.12341234解

10、析由于a0,0a24，且4a2a2，解得a1.1234A.(1,2) B.(2，)C.(，2) D.(2,2)12344.相距4k千米的A，B兩地，聽到炮彈爆炸的時間相差2秒，若聲速每秒k千米，則炮彈爆炸點P的軌跡可能是A.雙曲線的一支 B.雙曲線C.橢圓 D.圓解析由已知可得|PAPB|2k0，b0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其兩個焦點，若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交，且所得弦長ABm，則ABF2的周長為A.4a B.4amC.4a2m D.4a2m解析由雙曲線的定義，知AF2AF12a，BF2BF12a，所以AF2BF2(AF1BF1)4am4a，所以ABF2的周長lAF2BF2AB4a2m.

11、123456789101112131415166.(多選)雙曲線 1上的點到一個焦點的距離為12，則到另一個焦點的距離為A.17 B.7 C.22 D.212345678910111213141516點P可能在左支，也可能在右支，由|PF1PF2|2a10，得|12PF2|10，PF222或2.點P到另一個焦點的距離是22或2. 7.若雙曲線以橢圓 1的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過橢圓的兩個焦點，則雙曲線的標準方程為 _. 12345678910111213141516123456789101112131415168.已知方程 1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是 .則(m2

12、n)(3m2n)0，所以m2n3m2，由雙曲線性質知，c2(m2n)(3m2n)4m2，其中c是半焦距，所以焦距2c22|m|4，解得|m|1，所以1n0，n0)，123456789101112131415161234567891011121314151613.動圓與圓x2y21和x2y28x120都外切，則動圓圓心的軌跡是A.雙曲線的一支 B.圓C.橢圓 D.雙曲線解析設動圓的圓心為M，半徑為r，圓x2y21與x2y28x120的圓心分別為O1和O2，半徑分別為1和2，由兩圓外切的充要條件，得MO1r1，MO2r2.MO2MO11，又O1O24，動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).1234567891011121314151614.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 1的左、右焦點，PQ是過焦點F1的弦，且PQ的傾斜角為60，那么PF2QF2PQ的值為 .由雙曲線定義，得PF2PF18，QF2QF18，所以PF2QF2PQ(PF2PF1)(QF2QF1)16.16拓廣探究1234567891011121314151615.