1、1 非齊次邊界條件定解問題求解本次課主要內(nèi)容(一)、邊界條件齊次化方法(二)、分離變量法總結(jié)2(一)、邊界條件齊次化方法1、一般方法討論如下定解問題邊界條件齊次化：采用未知函數(shù)代換法：即：選擇適當(dāng)?shù)腤(x,t)，使關(guān)于V(x,t)定解問題邊界條件是齊次的。3具體過程：(1)、作代換：(2)、將代換式代入定解問題中得：4(3)、選擇W(x,t)，使關(guān)于V(x,t)定解問題邊界條件齊次！由(2)、只要W(x,t)滿足如下條件即可：W(x,t)如何選?。縒(x,t)的選取方式很多！下面采用多項(xiàng)式函數(shù)待定法選擇W(x,t)令：由*可得：5于是得W(x,t)的一種選擇式為：將下式代入原定解問題中：6其中

2、：(*)屬于齊次邊界條件下的非齊次方程定解問題，可用齊次化原理或級(jí)數(shù)法進(jìn)一步求解！注：上面定解問題邊界條件是第一類的，如果是其它情形，只需恰當(dāng)設(shè)置待定多項(xiàng)式的形式，也可以求出需要的W(x,t),具體過程如下：7(1)、若邊界條件為：作代換：得W(x,t)需要滿足的條件為：可令：8(2)、若邊界條件為：作代換：得W(x,t)需要滿足的條件為：可令：9(3)、若邊界條件為：作代換：得W(x,t)需要滿足的條件為：可令：10(4)、若邊界條件為：作代換：得W(x,t)需要滿足的條件為：可令：11 例1、設(shè)弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sint 作周期振動(dòng)，這里na/L(n=1,2)且初值

3、為零。試研究弦的自由振動(dòng)。解：依題意，得定解問題 令：12由邊界條件齊次化的多項(xiàng)式待定法可得：代入原定解問題得：該問題可用齊次化原理或級(jí)數(shù)法求解!13 但是，是否可以恰當(dāng)選擇W(x,t)，使關(guān)于V(x,t)的定解問題成為齊次方程和齊次邊界條件的定解問題？ 由原定解問題邊界條件特點(diǎn)，欲使邊界條件齊次化，可假定： 將u(x,t)=V(x,t)+X(x)sint代入定解問題中分析，要使關(guān)于V(x,t)的定解問題成為齊次方程和齊次邊界條件，只需X(x)滿足：14求出X(x)的解為：于是將代入原定解問題中得：15由分離變量得：原定解問題解為：162、特殊情形下齊次化方法如果方程自由項(xiàng)和邊界條件表達(dá)式均與

4、t無關(guān)，則可以令：可以把關(guān)于V(x,t)的定解問題直接化為齊次方程和齊次邊界條件。17例2 求如下定解問題 解：令 將其代入定解問題中得：18可將其分解為：于是得：19由分離變量得一般解為：由初值條件得：由傅立葉級(jí)數(shù)展開得：20所以，原定解問題的解為：211、適用范圍 :(二)、分離變量法總結(jié)有界域上的波動(dòng)、熱傳導(dǎo)定解問題和一些特殊區(qū)域上的穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程定解問題；2、基本要求 :疊加原理要能夠使用，并能夠定出固有值問題.3、主要方法 :(1)、最基本的分離變量求解(要求齊次方程和齊次邊界條件或園域上的周期性條件);(2)、固有函數(shù)展開法(要求齊次邊界條件或園域上的周期性條件)。224、主要步驟 :

5、(1)、根據(jù)邊界的形狀選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 。原則是使邊界條件表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若邊界是圓、扇形，柱形，球形，要使用極坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)和球坐標(biāo)表示定解問題；(2)、若邊界非齊次, 作函數(shù)代換化為齊次邊界問題 ；(3)、若定解問題是非齊方程、齊次邊界條件，采用函數(shù)分解方法將定解問題進(jìn)行分解。分解后考慮采用齊次化原理或固有函數(shù)值方法求解。23應(yīng)用舉例解：令 將其代入定解問題中得：例3 求如下定解問題 24可將其分解為：于是得：25由分離變量得一般解為：由初值條件得：由傅立葉級(jí)數(shù)展開得：2627所以，定解問題的解為：原定解問題的解為：28解：令 取：例4 求如下定解問題 29得定解問題為：其中：30對(duì)于(*),采用固有函數(shù)值法求解可令：代入(*)中得：31于是由傅立葉余弦展開公式有：其中：32當(dāng)n0時(shí)有：其中：33通過計(jì)算，得到微分方程的解為：和把它們代入所令一般解表達(dá)式即可得定解。34例5 解環(huán)形域內(nèi)的定解問題： 分析：定解問題屬于環(huán)形域內(nèi)的泊松方程定解問題，因此，不能直接分離變量求解。但是，通過觀察方程特征，很容易發(fā)現(xiàn)其泛定方程的特解形式為： 35因此可采用特解化簡(jiǎn)方法化泊松方程為拉普拉斯方程 解：設(shè)方程特解形式為： 得：又令代入定解問題并采用極坐標(biāo)得：36極坐標(biāo)系