1、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論鄭大鐘鄭大鐘 清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社第一章第一章 緒緒 論論第二章第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析線性系統(tǒng)的運(yùn)動分析第四章第四章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性第五章第五章 系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運(yùn)動的穩(wěn)定性第六章第六章 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合第一部分線性系統(tǒng)的時間域理論第二部分線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論第一章 緒論 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個最為基礎(chǔ)和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)?？刂评碚摪l(fā)

2、展概況：控制理論發(fā)展概況：第一階段 20世紀(jì)4060年代 經(jīng)典控制理論經(jīng)典控制理論第二階段 20世紀(jì)6070年代 現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論第三階段 20世紀(jì)70 大系統(tǒng)理論大系統(tǒng)理論 （廣度）（廣度） 智能控制理論智能控制理論 （深度）（深度）第一章 緒論 1.1系統(tǒng)控制理論的研究對象系統(tǒng)控制理論的研究對象系統(tǒng)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對象 系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個“整體”。 系統(tǒng)具有如下系統(tǒng)具有如下3個基本特征個基本特征: (1)整體性整體性 (2)抽象性抽象性 作為系統(tǒng)控制理論的研究對象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會含義，而把它抽象為一

3、個一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。(3)相對性相對性 在系統(tǒng)的定義中, 所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對屬性。所決定系統(tǒng)行為和功能由整體結(jié)構(gòu)上的整體性. 2. 1動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)： 所謂動態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時間演化的一類系統(tǒng)動力學(xué)系統(tǒng)。 系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式 系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述 ),(:2.)(:1.輸出變量組的關(guān)系輸入外部描述黑箱描述狀態(tài)方程和輸出方程內(nèi)部描述白箱描述動態(tài)系統(tǒng)的分類動態(tài)系統(tǒng)的分類 從機(jī)制的角度從機(jī)制的角度 DEDSCVDS離散事件動態(tài)系統(tǒng)連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)2.1.從特性的角度從特性的角度 非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)2.1.屬于無窮維系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)

4、屬有窮維系統(tǒng)集中參數(shù)系統(tǒng):2.:1.從作用時間從作用時間類型的角度類型的角度 離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)2.1.uxy輸出變量組內(nèi)部狀態(tài)變量組輸入變量組3.2.1.連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型的空間分布類型 本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng)本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關(guān)系來表征。線性系統(tǒng)理論的研究對象為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L )()()(22112211uLcuLcucucL系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型是對系統(tǒng)或其部分屬性的一個簡化描述 系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)

5、測預(yù)報(bào)、綜合和設(shè)計(jì)控制器模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)程序表示數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論研究對象是研究對象是 (線性的線性的)模型系統(tǒng)，不是模型系統(tǒng)，不是物理系統(tǒng)。物理系統(tǒng)。線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型1.2 線性系統(tǒng)理論的基本概貌線性系統(tǒng)理論的基本概貌 線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容: 數(shù)學(xué)模型 分析理論 綜合理論 發(fā)展過程發(fā)展過程: 經(jīng)典線性系統(tǒng)理論現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論 主要學(xué)派主要學(xué)派: 狀態(tài)空間

6、法狀態(tài)空間法幾何理論 把對線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問題,并采用幾何語言來對系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合 代數(shù)理論 把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問題 多變量頻域方法 二是多項(xiàng)式矩陣方法一是頻域方法 線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。和方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。 第一部分第一

7、部分: 線性系統(tǒng)時間域理論線性系統(tǒng)時間域理論 第二章第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間狀態(tài)和狀態(tài)空間 線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動和特性的一種理論和方法 系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述 2u1upu1y2yqynxxx,21(1) 系統(tǒng)的外部描述 外部描述常被稱作為輸出輸入描述例如.對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)1 (1)1(1)(復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述 01110111)()()(asasasbs

8、bsbsssgnnnnnuy(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式，需要由兩個數(shù)學(xué)方程表征 狀態(tài)方程和輸出方程。(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較 一般的說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分。 內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性。2u1upu1y2yqynxxx,21狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義 狀態(tài)變量組狀態(tài)變量組:狀態(tài)：狀態(tài)： 一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組 )(,),(21txtxtxn所組成的一個列向量 一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時間域行為的一個最小內(nèi)部

9、變量組 )()()()(21txtxtxtxn狀態(tài)空間：狀態(tài)空間： 狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù) 幾點(diǎn)解釋幾點(diǎn)解釋 （1）狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性 只要給定初始時刻 t0 的任意初始狀態(tài)變量組)(,),(00201txtxtxn和tt0 各時刻的任意輸入變量組 )(,),(21tututup那么系統(tǒng)的任何一個內(nèi)部變量在tt0各時刻的運(yùn)動行為也就隨之而完全確定 2u1upuqy2yqynxxx,21(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征(3). 狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征 (4). 狀態(tài)變量組的不唯一性 (5).系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關(guān)系 (6)有窮

10、維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng) (7)狀態(tài)空間的屬性 狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個向量空間R n2.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc1120eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1 描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（動態(tài)方程或運(yùn)動方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系

11、）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。 選擇狀態(tài)變量2.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 )(te1RLCcU2R2RULiCieRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表為形如 DuCxyBuAxxuRRRxxRRRRRRRyuRRLRCRRxxRRLRRRRLRCRRRCRRxx212212121212212212121212112112121)()(1)()()()(1機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)

12、空間描述的列寫示例 )(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001上式可表為形如 DuCxyBuAxx連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1u2upu1x2xnx1y2yqy動力學(xué)部件輸出部件連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性時不變系統(tǒng) DuCxyBuAxx 線性時變系統(tǒng) uDxCyuBxAx)()()()(tttt連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖 )(tB)(tC)(tDx yux)(tAuDxCyuBxAx)()()()(tttt離散時間線性系統(tǒng)

13、的狀態(tài)空間描述離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式離散時間線性時不變系統(tǒng) )()()()()()1(kkkkkkDuCxyHuGxx傳輸矩陣陣輸出矩陣陣輸入矩陣陣系統(tǒng)矩陣陣:DpqCnqHpnGnn離散時間線性時變系統(tǒng))()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性二是:描述方程的線性屬性三是:變量取值時間的離散屬性 離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG單位延遲2.3.連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的

14、分類連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ),(),(ttux,gyux,fx向量函數(shù) ),(),(),(),(),(),(),(),(2121tgtgtgttftftftqnux,ux,ux,ux,gux,ux,ux,ux,f，若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng) 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng) 對于線性系統(tǒng) uDxCyuBxAx)()()()(tttt非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng) 時變系統(tǒng)和時不

15、變系統(tǒng)時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng) 若向量f,g不顯含時間變量t,即 ),(),(uxgguxff該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng) 若向量f,g顯含時間變量t,即 ),(),(tuxggtuxff該系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng) 連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng) 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng) 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時間系統(tǒng).確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng) 稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論

16、是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的. 稱一個動態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動是隨機(jī)變量 2.4 由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其傳遞函數(shù)描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為 1111RdRc

17、RbRARxnnnnnducxybuAxx 基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對應(yīng)的參數(shù)矩陣組。結(jié)論1 給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形ubxabbabbabbyaaaannnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210uxxubxbabxbabxbabyuxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn)(

18、)()(112111001021113221(2)mn,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形 xyuxx0010001000000010101210mnbbbaaaa011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmmuxyuxxnnnnnnnbabbabbabbaaaa)(,),(),(100010000000101111001210結(jié)論2 給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出 (1)m=0情形此時輸入輸出描述為: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn選取n個狀態(tài)變量 )(1

19、) 1(121nnnnnyxxyxxyxyx其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為: xyuxx0, 0, 1000100000001001210baaaan0bs1s1s11xy2x1nxnxnx u1na2na0a1a)(1) 1(121nnnnnyxxyxxyxyx(2)m0情形此時輸入輸出描述為: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為: uxyuxa

20、aaaxnnn012112100, 0, 11000000010其中00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn011110110111000010001bbbbaaaaannnnnn兩種狀態(tài)空間描述為: uxyuxaaaaxnnn012112100, 0, 11000000010011110110111000010001bbbbaaaaannnnnnubxabbabbabbyaaaannnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210uxx011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnn結(jié)論3 給定單輸入單

21、輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其極點(diǎn)即傳遞函數(shù)分母方程的根 n,21為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1) mt0,以及一個無約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時刻為能達(dá)能達(dá)。 注意：注意： 對連續(xù)連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)等價(jià)；對離散離散時間線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)等價(jià)；對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。 定義：定義：對連續(xù)時間線

22、性時變系統(tǒng) JtutBxtAx,)()(和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中所有所有非零狀態(tài)在時刻t0J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能控/能達(dá)。 定義：定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) JtutBxtAx,)()(和指定初始時刻t0J，如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非空狀態(tài)集合在時刻t0J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能控/能達(dá)。 定義：定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初 始時刻t0J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。注：注：從工程實(shí)際角度考慮，一個實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。系統(tǒng)系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義能控性，能達(dá)

23、性定義 能觀測性定義能觀測性定義和指定初始時刻t0J,如果存在一個時刻t1J，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時刻t0為不能觀測；xxx)(,)()(00tCyJtttxtAx，對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) 如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為完全能觀測； 如果狀態(tài)空間中存在一個非零狀態(tài)或一個非零狀態(tài)集合在時刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時刻t0為不完全能觀測； 如果系統(tǒng)對任意時刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測。 s1s1)(tu12)(ty

24、)0(1x)0(2x1x2x該系統(tǒng)是不完全能觀測的由于 ttdButtxtttx0)()()()()(00可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價(jià)的。注：注：從工程實(shí)際角度考慮，一個實(shí)際系統(tǒng)為能觀測的概率幾乎等于1。xxx)(,)()()(00tCyJtttutBxtAx，其解為；42 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù) 結(jié)論結(jié)論1： (格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)) 線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣10),()()(),(),(0010ttTTcdtBBtttW為非奇異矩陣。證明：證明： 充分性充分性 為非奇異時，系

25、統(tǒng)能控 ),(10ttWc)(),(),()()(01010txttWtttBtucTT0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(010110010010101000100101010100110011101010txttWttWtttxttdtxttWtBBttttxttdtxttWtBBttxttduBttxtttxccttcTTttTTtt說明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。 JtttutBxtAx000,)()()(xx， 由于時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆

26、矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)的 意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。 tttttddAAdAItt010012210,結(jié)論3：n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) JttxtxutBxtAx000,)()()(設(shè)A(t),B(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義 )()()()()()()()()()()()()()(2211120010tMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtMdtdtMtAtMtBtMnnn則系統(tǒng)在時刻t0J完全能控的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使 ntMtMtMrankn)(,),(),(111110能控性秩判據(jù)能控性秩判據(jù)結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)

27、： 0)0(0txxBuAxx 完全能控的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 101, 0ttATAtcdteBBetWT為非奇異。 (格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù))主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。結(jié)論4 （能控性秩判據(jù)）（能控性秩判據(jù)）對n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣 ,12BABAABBQnc 滿秩，即rankQc=n 結(jié)論5（能控性（能控性PBH秩判據(jù)）秩判據(jù)）n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： ranksI-A，B=n, s C C為復(fù)數(shù)域或 rank iI-A，B=n，

28、 i為系統(tǒng)特征值結(jié)論6： （能控性（能控性PBH特征向量判據(jù)）特征向量判據(jù)） n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能控 的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量， 即對矩陣A所有特征值 i ，使同時滿足TA A= i T，T B=0 的左特 征向量T =0。 主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。主要在于理論分析中，特別是線性時不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。結(jié)論7： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n維線性時不變時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）（約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對n

29、維線性時不變時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。注：注：1. 能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時不變 系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 2. 狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。例例 圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件 uL1R2R3R4RCLiCu解解 選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 2432114342122243321114343212111111111xRRRRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRR

30、RRRLx4342124343212121011,RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbQC434212RRRRRR即（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。 例例 211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx 系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關(guān)以及bl21 不為零向量。 系統(tǒng)能控系統(tǒng)能控當(dāng)kn時，Qk為能控性判別矩陣。,1BAABBQkk對完全能控能控連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)能控性指數(shù)為： 使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k 。 結(jié)論9：對完全能控單輸入單輸入連續(xù)時間線

31、性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。能控性指數(shù)能控性指數(shù)連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)： 0)0(0txxBuAxx 定義：結(jié)論10：對完全能控多輸入多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)： 1rnpn設(shè) n為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則 1,minrnnpn結(jié)論11：多輸入多輸入連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p， 且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： nBAABBrankrankQrnrn,1結(jié)論12：對完全能控能控多輸入連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)， 狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，

32、將Q表為： 0)0(0txxBuAxx ,p12111p21p21bAbAbAAbAbAbbbbQr1rr21221111,;,;,21bAAbbbAAbbbAAbbr其中： 12 rn由于rankB=r，將Q中的n個線性無關(guān)列重新排列：能控性指數(shù)滿足： max 1，2 ，r 且稱 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。BA-1B43 連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 結(jié)論1：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣 10),()()(),(,00100ttTTdttttCtCttttW結(jié)論2：連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能

33、觀測的充分必要條件是，存在時刻t10，使格拉姆矩陣 為非奇異。 1010, 0tAtTtAdtCeCetWTCxyJtttxtAx000,)()(xx，結(jié)論3： n 維連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對t為n-1階連續(xù)可微，定義 則系統(tǒng)在時刻t0J完全能觀測的一個充分條件充分條件為，存在一個有限時刻t1J，t1t0，,使 )()()()()()()()()(2210010tNdtdtAtNNtNdtdtAtNtNtCtNnnnntNtNtNrankn)()()(111110結(jié)論4 對n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣 滿秩，即rankQ

34、o=n 結(jié)論5n 維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值10nCACACQCSnCASIrankninCAIrank,21C為復(fù)數(shù)域結(jié)論7：對n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，若A為對角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。 結(jié)論8：對n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。結(jié)論6：n維連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的

35、非零右特征向量，即對矩陣A所有特征值，使同時滿足0,CAi的右特征向量 0定義：令 完全能觀測n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)能觀測性指數(shù)定義為 使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。 結(jié)論9：對完全能觀測單輸出單輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為 n。 結(jié)論10：對完全能觀測多輸出多輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則 設(shè) n為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則 結(jié)論11：對多輸出多輸出連續(xù)時間線性時不變時不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是： 1kkCACACQ1mnqn) 1,min(m

36、nnqnnCACACrankQrankTmnTTTTmn)(,14.4 離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù) 時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)時變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義 離散時間線性時變系統(tǒng) kJkkukHkkGk)()()()() 1(xx如果對初始時刻hJk 和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時刻lJk達(dá)到原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時刻h完全能控； 如果對初始時刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時刻lJk,lh和對應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動在時刻lJ

37、k達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)。結(jié)論1 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻h完全能達(dá)能達(dá)的充分必要條件充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW為非奇異 結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣G(k)對所有對所有 kh,l-1 非奇異非奇異，則離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能控能控的充分必要條件為，存在時刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣 1) 1,()()() 1,(,lhkTTcklkHkHkllhW為非奇異 若系統(tǒng)矩陣G(k)對一個或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時刻h完全能控的一個充分條件。 若系統(tǒng)矩陣G(k

38、) 對所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。 若離散時間線性時變系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù) 結(jié)論3 離散時間線性時不變系統(tǒng) )()() 1(kHukGkxx系統(tǒng)完全能達(dá)能達(dá)的充分必要條件為，存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣 10)(, 0lkkTTkcGHHGlW為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控能控的充分必要條件為存在時刻l 0，使格蘭姆矩陣為非奇異。10)(, 0lkkTTkcGHHGlW若系統(tǒng)矩陣G奇異奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件充分條件。 結(jié)論

39、4 n維離散時間線性時不變系統(tǒng) )()() 1(kHukGkxx系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣 HGGHHQnkc1,滿秩 若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為 rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個充分條件。結(jié)論5 對于單輸入離散時間線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時，可構(gòu)造如下一組輸入控制 0121,) 1() 1 ()0(XhGhGhGnuuun則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。 若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時間線性時不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。 若離散時間線性時不變系統(tǒng)為連續(xù)時間

40、線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。例例 設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(101)(011220001) 1(kukxkx試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解解 33112201112kckcrankQhGGhhQ系統(tǒng)是能控的 )2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhuGxx令0)3(x8115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121321uuuuuu若令0)2(x062) 1 ()0(101121uu無解

41、。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論6 離散時間線性時變系統(tǒng)在時刻hJk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻lJk,l h,使格蘭姆矩陣 10),()()(),(),(lhkTThkkCkChklhW為非奇異 時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)時不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù) 結(jié)論7 離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個離散時刻l0,使格蘭姆矩陣 100)(, 0lkkTkTCGCGlW為非奇異 結(jié)論8 n 維離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為 1nokCGC

42、GCQ滿秩 結(jié)論9 若單輸出離散時間線性時不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)初始狀態(tài) ) 1() 1 ()0(110nyyyCGCGCnx4.5 對偶性對偶性對于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測性之間在概念和判據(jù)形式上存在對偶關(guān)系，實(shí)質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問題和系統(tǒng)估計(jì)問題的對偶。定義：對連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) xCyBxAx)()()(tutt其對偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)TTTTTTTTtttBCA)()()(d對偶系統(tǒng)對偶系統(tǒng)其中，狀態(tài)Xn維行向量，協(xié)狀態(tài) n維行向量 輸入up維列向量，輸入 q 維行向量 輸出yq維列向量，輸出 p 維行向量 顯然，是一個

43、p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)d是一個q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。 d 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸入矩陣輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩d 輸出矩陣輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：對偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：1.線性屬性和時變屬性2.系數(shù)矩陣的對偶性xCyBxAx)()()(tuttTTTTTTTTtttBCA)()()(d3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對偶性),(),(00ttttTd互為轉(zhuǎn)秩逆！互為轉(zhuǎn)秩逆！xCyBxAx)()()(tutt 互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。 T T TATCTBT dTTTTTTTTtttBCA)()()(d

44、原構(gòu)系統(tǒng)與其對偶系統(tǒng)具有相同屬性。4.方塊圖對偶屬性結(jié)論: 設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對偶線性系統(tǒng),則有 完全能控 d 完全能觀測 完全能觀測 d 完全能控 線性時不變系統(tǒng)，線性時不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣 BAICW1)()(ss)()()()(11dssssTTTTTTWBAICCAIBW互為對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同?；閷ε枷到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。AIAIssT對偶性原理對偶性原理10),()()(),(,00100ttddTdTdddttttCtCttttW10100,ttrankWttrankWcd10),()()(),(

45、00ttTTdttttBtBtt完全能控 d 完全能觀測 根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。可以轉(zhuǎn)化為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測（狀態(tài)完全能控）的特性來研究。 對偶原理的意義，不僅在于對偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基

46、本結(jié)論間的對于關(guān)系。最優(yōu)控制問題和最佳估計(jì)問題基本結(jié)論間的對于關(guān)系。 10,ttWcxCyBxAx)()()(tuttTTTTTTTTtttBCA)()()(d),(),(00ttttTd4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件 設(shè)連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) CxyBuAxx 對應(yīng)的時間離散化系統(tǒng) )()()()() 1(kkkkkCxyHuGxx其中G =eAT H=TAtdtBe0,21jiA的特征值 ji n結(jié)論1： 如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。 本定理也可

47、敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。結(jié)論2 ：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件必要條件是： jTl2不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù) 結(jié)論3: 對時間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對滿足Reij=0的一切特征值，成立)(2jimIlT則時間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān) 結(jié)論4: 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其時間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個充分條件為，采樣周期T滿足如下條件

48、：對A的任意兩個特征值1、 2，不存在非零整數(shù)l ，使jTl221成立對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。, 2 , 1ji，4.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 結(jié)論1: 單輸入單輸出單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。 例 設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 231)(2ssssG由于存在零、極點(diǎn)對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。結(jié)論2: 多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能控能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣 BAsIsGxu1)(的各行在復(fù)

49、數(shù)域上線性無關(guān)。結(jié)論3：多輸入多輸出多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)能觀測能觀測的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣 1 AsIC的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)。48能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形情形 由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控規(guī)范型對于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀測規(guī)范型則對于狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識比較方便。 無論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對系統(tǒng)狀態(tài)

50、空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。本節(jié)以線性時不變SISO系統(tǒng)為對象，討論能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形的基本形式基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法構(gòu)造方法。線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 CxyBuAxx：能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性能控性能觀測性在線性非奇異變換下的屬性引入坐標(biāo)變換 ）（xPxxPx1，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 xCyuBxAx：CPCB,PBAP,PA11,12BABABABQnc ccrankQQrank,111121111BPPAPBPPAPBAPPPBPn cnQPBABAABBP1121, 結(jié)論結(jié)論1：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性和能

51、觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。 能控規(guī)范形能控規(guī)范形結(jié)論結(jié)論2：對完全能控能控n維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) cxybuAxx:0111)det(sssAsInnnnbAAbbrankn1，PQQoo同理：oorankQQrank則通過變換矩陣 11,1 -11 -1nnnbAbbAP1011111212112nnnnbAbAAbbP或可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即xPx1導(dǎo)出： xxxccccyubA11011000001000010ncAPPA1001bPbc110,nccPc注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1

52、聯(lián)系起來，對于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。 2.完全能控的任意兩個代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。 3.一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。 4.單輸入系統(tǒng)具有唯一唯一的能控規(guī)范形。無特殊形式結(jié)論3：對完全能觀測能觀測的n 維單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換 Qxx 導(dǎo)出 xxx000cyubA其中ccAcAQnnn1111111211212110111nnnncAcAcAcQ110101001001000nQAQA1100nQbb100010cQc注：1.能觀測規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來，對

53、于綜合系統(tǒng)的觀測器很方便。 2.完全能觀測的任意兩個代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能觀測規(guī)范形。 3.一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測。 4.單輸出系統(tǒng)具有唯一唯一的能觀測規(guī)范形。無特殊形式u432654423321xx 1629)det(23sssAsI272324244283172202cQ例：已知線性時不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。解：11,1 -11 -1nnnbAbbAPu1009216100010 xxu0010100011629xx111111nnnbAAbbP49 能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形情形 多輸入多輸出多

54、輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。 1.規(guī)范形式的不唯一性 2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性 本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。 搜索線性無關(guān)的行或列的方法搜索線性無關(guān)的行或列的方法多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣 10nCACACQ12BAB,AAB,B,Q nc從Qc或Qo中找出n個線性無關(guān)的列或行，通常需經(jīng)過一個搜索過程。nnpnqn考察n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) CxyBuAxx :,12BABAABBQnc ,p21bbbB能控性判別矩陣為若系統(tǒng)完全能控，r

55、ankQc=n，即Qc的np列中只有n個線性無關(guān)。nnp1.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“列向搜索方案列向搜索方案”,p1n21n11np21p21cbAbAbAAbAbAbbbbQ用格柵圖的方法在Qc中搜索n個線性無關(guān)的列向量。格柵圖格柵圖b1 b2 b3 b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5B,12BABAABBQnc n6 1 2 3搜索到搜索到 1 2 3n停止。停止。 1 3， 2 2， 31 ，l3Qc中的中的6個線性無關(guān)的列個線性無關(guān)的列: b1, Ab1, A2b1; b2, Ab2; b3 b1 b2 b3 b4A0A1A2A3A4A5 1 2 3

56、1 3， 2 1 ， 3 22.搜索Qc中的n個線性無關(guān)的列向量的“行向搜索方案行向搜索方案”rankB=rpn6，p4，r3搜索到搜索到 1 2 3 n 停止。停止。 1, 2, 3 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。能控性指數(shù)集。Qc中的中的6個線性無關(guān)的列個線性無關(guān)的列: b1, Ab1, A2b1; b2; b3, Ab3BABA2BA3BA4BA5B龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途。龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問題中有著廣泛的用途?？疾焱耆芸氐膎維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) CxyBuAxx :,12BABAABBQn

57、c 能控性判別矩陣為rankB=rp采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在Qc中找出n個線性無關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：r1rr212211111,;,;,21bAAbbbAAbbbAAbbPr其中 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rnTrTrTTreeeePP1111111構(gòu)造變換矩陣S1111111111111rAeAeeAeAeeSTrTrTrTTT 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rn對于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) CxyBuAxx :rankB=rp基于線性非奇異變換 ，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形xx1 Srrrr

58、nncAAAAASS11111)(Ariiiii, 2 , 1,*1010)(Ajijiij,*0000)(A*100*10*01)(BSBpncCSCnqc )(無特殊形式無特殊形式r 列P - r 列例例：已知完全能控能控的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) uxx110002171160241試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形解：1.寫出能控性判別矩陣Qc8121111571100862402,2BAABBQc采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在Qc中找出3個線性無關(guān)的列向量b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1 A2b2b1 b2A0A1A2 1 2 12， 2 1rankB=r=p=2Q

59、c中3個線性無關(guān)的列向量為b1 ，b2 ，Ab1由Qc中找出的3個線性無關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：111100402;,2111bAbbP135 . 0010025 . 011PP135 . 01600102112121TTTeAeeS016001221811SS 12， 2 1Te12Te21303627190101ASScA1011001BSBcuxx10110030362719010龍伯格能控規(guī)范形為：龍伯格能控規(guī)范形為：4.10 連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 系統(tǒng)按能控性分解系統(tǒng)按能控性分解 設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空

60、間描述為 CxyBuAxx 在Qc中采用“行向搜索方案行向搜索方案”或“列向搜索方案列向搜索方案”搜索出k個線性無關(guān)列q1, q2，qk ；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n - k個線性無關(guān)列qk+1, qk+2，qn ，構(gòu)成非奇異變換P-1 結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。nkBABAABBrankrankQnc ,12能控性判別矩陣的秩nkkqqqqQP,111引入非奇異線性變換)(1xPxPxxxCyuBxAxccAAAPAPA0121其