1、考點一考點一 銳角三角函數(shù)定義銳角三角函數(shù)定義若在若在RtRtABCABC中，中，C C9090，A A、B B、C C的對的對邊分別為邊分別為a a、b b、c c，則，則sinAsinA_，cosAcosA_，tanAtanA _._.溫馨提示：溫馨提示：（1 1）銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的）銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的. .（2 2）sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA表示的是一個整體，是指兩表示的是一個整體，是指兩條線段的比，沒有單位條線段的比，沒有單位. .（3 3）銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關(guān)，與）銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關(guān)，與該角所

2、處的直角三角形的大小無關(guān)該角所處的直角三角形的大小無關(guān). .（4 4）當(dāng)）當(dāng)A A為銳角時，為銳角時，0 0sinAsinA1,01,0cosAcosA1,tanA1,tanA0.0.考點二考點二 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值考點三考點三 用計算器求一個銳角的三角函數(shù)值或由用計算器求一個銳角的三角函數(shù)值或由三角函數(shù)值求銳角三角函數(shù)值求銳角考點四考點四 解直角三角形解直角三角形1 1解直角三角形的定義解直角三角形的定義由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形素的過程，叫做解直角三角形( (直角三角形中，除直

3、角外，直角三角形中，除直角外，一共有一共有5 5個元素即個元素即3 3條邊和條邊和2 2個銳角個銳角) )2 2直角三角形的邊角關(guān)系直角三角形的邊角關(guān)系在在RtRtABCABC中，中，C C9090，A A、B B、C C的對邊分別的對邊分別為為a a、b b、c.c.(1)(1)三邊之間的關(guān)系：三邊之間的關(guān)系：_；(2)(2)兩個銳角之間的關(guān)系：兩個銳角之間的關(guān)系： ；a2b2 c2AAB B9090考點五考點五 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用1 1仰角、俯角：如圖仰角、俯角：如圖，在測量時，視線與水平線所成的角中，在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線

4、下方的角叫俯角視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角水平距離水平距離l l3 3方向角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于方向角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于9090的水平角，叫做方向角如圖的水平角，叫做方向角如圖，表示北偏東，表示北偏東6060方向的一個角方向的一個角注意：東北方向指北偏東注意：東北方向指北偏東 方向，東南方向指南偏東方向，東南方向指南偏東4545方向，西北方向指北偏西方向，西北方向指北偏西4545方向，西南方向指南偏西方向，西南方向指南偏西4545方方向我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東向我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東4 4方位角：

5、從指北方向線按順時針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的方位角：從指北方向線按順時針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫做方位角角叫做方位角4545考點六考點六 直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，直角三角形的邊角關(guān)系在解決實際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時直角三角形的邊角關(guān)系在解決實際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時要注意以下幾個環(huán)節(jié)：要注意以下幾個環(huán)節(jié)：(1)(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題( (畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題三角形的問題

6、) )；(2)(2)根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；(3)(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)(4)得到實際問題的答案得到實際問題的答案(2011(2011樂山中考樂山中考) )如圖，在如圖，在4 44 4的正方形網(wǎng)格中，的正方形網(wǎng)格中，tantan=( )=( )(A)1 (B)2 (C) (D)(A)1 (B)2 (C) (D)【思路點撥【思路點撥】1252【自主解答【自主解答】選選B.B.根據(jù)網(wǎng)格的特點：設(shè)每一小正方形的邊長根據(jù)網(wǎng)格的特點：設(shè)每一小正方形的邊長為為1 1，可以確定，可以確定的對邊為

7、的對邊為2 2，鄰邊為，鄰邊為1 1，然后利用正切的，然后利用正切的定義定義 故選故選B.B.tan2. 的的對 邊鄰 邊1.(20101.(2010常德中考常德中考) )在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90, ,若若AC=2BCAC=2BC，則，則sinAsinA的的值是值是( )( )(A) (B)2 (C) (D)(A) (B)2 (C) (D)【解析【解析】選選C.C.因為因為C=90C=90，所以所以12555222A BA CBC5BC.BCBC5sinA.A B55BC2.(20102.(2010黃岡中考黃岡中考) )在在ABCABC中，中，CC9090， ，則，則t

8、anBtanB( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選B. B. 因因 ，所以，所以 ，在，在RtRtABCABC中，中，ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2, ,所以所以 ，所以，所以 . .故選故選B.B.4sinA543343545BC4sinAA B54BCA B53ACAB5A C3tanBBC43.(20113.(2011福州中考福州中考)Rt)RtABCABC中，中，C=90C=90，a a、b b、c c分別是分別是AA、BB、CC的對邊，那么的對邊，那么c c等于等于( )( )(A) (B)(A) (B)(C)

9、 (D)(C) (D)acosAbsinBasinAbsinBabsin AsinBabcosAsinB【解析【解析】選選B.B.過點過點C C作作CDABCDAB于于D,D,在在RtRtACDACD中中, , , ,所以所以AD=b cosAAD=b cosA, ,同理同理,BD=a cosB,BD=a cosB, ,所以所以c=AB=AD+BD=b cosA+a cosBc=AB=AD+BD=b cosA+a cosB, ,又又A+B=90A+B=90, ,所以所以cosA=sinB,cosB=sinAcosA=sinB,cosB=sinA, ,所以所以c=a sinA+b sinBc=a

10、 sinA+b sinB. .A DA DcosAA Cb 特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值銳角銳角3030、4545、6060的三角函數(shù)值在有關(guān)的計算題和證明題中經(jīng)的三角函數(shù)值在有關(guān)的計算題和證明題中經(jīng)常出現(xiàn)，必須牢記；以上銳角的正弦、余弦、正切值可以總結(jié)成以常出現(xiàn)，必須牢記；以上銳角的正弦、余弦、正切值可以總結(jié)成以下口訣：下口訣：“1 1、2 2、3 3，3 3、2 2、1 1，3 3、9 9、2727！”即：即：123321313.2222223，；， ；， ，【例【例2 2】(2010(2010涼山中考涼山中考) )計算：計算： 1201002cos601|28|tan30 12

11、1 4.(20114.(2011茂名中考茂名中考) )如圖如圖, ,已知已知:45:45A90AcosA(B)sinAcosA(C)sinAtanA(C)sinAtanA(D)sinAcosA(D)sinAcosA(2011(2011樂山中考樂山中考) )計算：計算：1312( )12.cos303 解直角三角形及應(yīng)用解直角三角形及應(yīng)用解直角三角形是指利用直角三角形中的已知條件探求其他未知元素，解直角三角形是指利用直角三角形中的已知條件探求其他未知元素，銳角的三角函數(shù)起著橋梁的作用銳角的三角函數(shù)起著橋梁的作用. .利用直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實際問題利用直角三角形或構(gòu)造直角三角形解決實際

12、問題, ,一般先把實際問題一般先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，若題中無直角三角形，需要添加輔助線轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，若題中無直角三角形，需要添加輔助線( (如作三角如作三角形的高等形的高等) )構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形的知識求解構(gòu)造直角三角形，再利用解直角三角形的知識求解. .【例【例3 3】(2010(2010安徽中考安徽中考) )若河岸若河岸的兩邊平行，河寬為的兩邊平行，河寬為900900米，一只米，一只船由河岸的船由河岸的A A處沿直線方向開往對處沿直線方向開往對岸的岸的B B處，處，ABAB與河岸的夾角是與河岸的夾角是6060，船的速度為船的速度為5 5米米/ /秒，求船從秒，求船從

13、A A到到B B處約需時間幾分處約需時間幾分.(.(參考數(shù)參考數(shù)據(jù)：據(jù)： ) )31.7【思路點撥【思路點撥】【自主解答【自主解答】如圖如圖, ,過點過點B B作作BCBC垂垂直河岸直河岸, ,垂足為垂足為C,C,則在則在RtRtACBACB中中, ,有有= (= (米米),),所以所以 ( (分分),),即船從即船從A A處到處到B B處約需處約需3.43.4分分. .BC900A BsinBA Csin6060036003t233.45608.(20108.(2010湖州中考湖州中考) )河堤橫斷面如圖所河堤橫斷面如圖所示，堤高示，堤高BCBC5 5米，迎水坡米，迎水坡ABAB的坡比是的坡

14、比是 ( (坡比是坡面的鉛直高度坡比是坡面的鉛直高度BCBC與水平與水平寬度寬度ACAC之比之比) )，則，則ACAC的長是的長是( )( )(A) (A) 米米 (B)10(B)10米米 (C)15(C)15米米 (D) (D) 米米【解析【解析】選選A. , A. , 米米. .1353103BCA C13A C3BC532.(20102.(2010宿遷中考宿遷中考) )小明沿著坡度為小明沿著坡度為1212的山坡向上走了的山坡向上走了1 000 m1 000 m，則他升高了，則他升高了( )( )(A) m (B)500 m(A) m (B)500 m(C) m (D)1 000 m(C)

15、 m (D)1 000 m【解析【解析】選選A.A.設(shè)高為設(shè)高為x x，由勾股定理得，由勾股定理得，x x2 2+(2x)+(2x)2 2=(1000)=(1000)2 2, ,解得解得20055003x2005.1818(2011(2011莆田莆田) )如圖所示，線段如圖所示，線段ABAB、DCDC分別分別表示甲、乙兩座建筑物的高，表示甲、乙兩座建筑物的高，ABBCABBC，DCBCDCBC，兩建筑物間距離兩建筑物間距離BCBC30 30 米，若甲建筑物高米，若甲建筑物高ABAB28 28 米，在米，在A A點測得點測得D D點的仰角點的仰角4545，則乙建筑物，則乙建筑物高高DCDC_米米

16、9.(20119.(2011南通中考南通中考) )如圖，測量河寬如圖，測量河寬AB(AB(假設(shè)河的兩岸平行假設(shè)河的兩岸平行) )，在，在C C點測得點測得ACB=30ACB=30，在，在D D點測得點測得ADB=60ADB=60, ,又又CD=60 mCD=60 m，則河寬，則河寬ABAB為為 _m(_m(結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號).).【解析【解析】設(shè)河寬設(shè)河寬ABAB為為x mx m，在，在RtRtABCABC中，中，在在RtRtABDABD中，中，由由CD=BC-BDCD=BC-BD，得，得 , ,所以所以答案：答案：A BBC3 x mtanA C B，A B3BDx m,tanA D

17、 B333xx603x303 .30310.(201110.(2011金華中考金華中考) )生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放的梯子，當(dāng)生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放的梯子，當(dāng)50507070時時(為梯子與地面所成的角為梯子與地面所成的角) )，能夠使人安全攀爬，能夠使人安全攀爬. .現(xiàn)在有一長為現(xiàn)在有一長為6 6米的梯子米的梯子ABAB，試求能夠使人安全攀爬時，梯子的頂端，試求能夠使人安全攀爬時，梯子的頂端能達到的最大高度能達到的最大高度AC.AC.( (結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，sin70sin700.94,0.94,sin50sin500.77,cos700.77,cos700.34,co

18、s500.34,cos500.64)0.64)【解析【解析】當(dāng)當(dāng)=70=70時，梯子頂端達到最大高度，時，梯子頂端達到最大高度，AC=sin70AC=sin7060.9460.946=5.645.6(6=5.645.6(米米).).答：人安全攀爬梯子時，梯子的頂端達到的最大高度約為答：人安全攀爬梯子時，梯子的頂端達到的最大高度約為5.65.6米米. .A CsinA B，2 2(2010(2010中考變式題中考變式題) )如圖，在離地面高度如圖，在離地面高度5 m5 m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成處引拉線固定電線桿，拉線和地面成6060角，則拉線角，則拉線ACAC的長為的長為( () )方

19、位角的應(yīng)用方位角的應(yīng)用方位角是在規(guī)定方位角是在規(guī)定“上北下南，左西右東上北下南，左西右東”的原則下，確定物體的原則下，確定物體的位置的一種方法；方位角往往與解直角三角形的知識聯(lián)系在一起的位置的一種方法；方位角往往與解直角三角形的知識聯(lián)系在一起進行考查，當(dāng)然有時也與行程問題中的方程聯(lián)系在一起進行考查，當(dāng)然有時也與行程問題中的方程聯(lián)系在一起. .【例】【例】(2010(2010杭州中考杭州中考) )如圖，臺風(fēng)中如圖，臺風(fēng)中心位于點心位于點P P，并沿東北方向，并沿東北方向PQPQ移動，已知移動，已知臺風(fēng)移動的速度為臺風(fēng)移動的速度為3030千米千米/ /時，受影響區(qū)時，受影響區(qū)域的半徑為域的半徑為2

20、00200千米，千米，B B市位于點市位于點P P的北偏的北偏東東7575方向上，距離點方向上，距離點P 320P 320千米處千米處. .(1)(1)說明本次臺風(fēng)會影響說明本次臺風(fēng)會影響B(tài) B市；市；(2)(2)求這次臺風(fēng)影響求這次臺風(fēng)影響B(tài) B市的時間市的時間. .【思路點撥【思路點撥】 【自主解答【自主解答】(1)(1)作作BHPQBHPQ于點于點H, H, 在在RtRtBHPBHP中中, ,由條件知由條件知, , PB=320,BPQ=30 PB=320,BPQ=30, ,得得BH=320BH=320sin30sin30=160200,=160200,本次臺本次臺風(fēng)會影響風(fēng)會影響B(tài) B

21、市市. .(2)(2)如圖如圖, , 若臺風(fēng)中心移動到若臺風(fēng)中心移動到P P1 1時時, , 臺風(fēng)開始影響臺風(fēng)開始影響B(tài) B市市, , 臺風(fēng)臺風(fēng)中心移動到中心移動到P P2 2時時, , 臺風(fēng)影響結(jié)束臺風(fēng)影響結(jié)束. . 由由(1)(1)得得BH=160BH=160千米千米, , 由條由條件得件得BPBP1 1=BP=BP2 2=200=200千米千米, ,所以所以 ( (千米千米),),臺風(fēng)影響的時間為臺風(fēng)影響的時間為 ( (小時小時).).2212P P2200160240240t8305 5如圖所示，在如圖所示，在A A島周圍島周圍2525海里水域有暗礁，一輪船由西向東海里水域有暗礁，一輪

22、船由西向東航行到航行到O O處時，發(fā)現(xiàn)處時，發(fā)現(xiàn)A A島在北偏東島在北偏東6060方向，輪船繼續(xù)前行方向，輪船繼續(xù)前行2020海里到海里到達達B B處發(fā)現(xiàn)處發(fā)現(xiàn)A A島在北偏東島在北偏東4545方向，該船若不改變航向繼續(xù)前進，有方向，該船若不改變航向繼續(xù)前進，有無觸礁的危險？無觸礁的危險？( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 1.732)1.732)答案：答案：AC27.32AC27.322525，所以輪船不會觸礁，所以輪船不會觸礁 (2011 (2011蕪湖蕪湖) )如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組的如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔同學(xué)欲測量一座垂直于地面的古塔BDBD的高度，他們

23、先的高度，他們先在在A A處測得古塔頂端點處測得古塔頂端點D D的仰角為的仰角為4545，再沿著，再沿著BABA的方的方向后退向后退20 m20 m至至C C處，測得古塔頂端點處，測得古塔頂端點D D的仰角為的仰角為3030，求，求該古塔該古塔BDBD的高度的高度.( 1.732.( 1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)，結(jié)果保留一位小數(shù)) )(2011(2011濟寧中考濟寧中考) )日本福島出現(xiàn)核電站事故后日本福島出現(xiàn)核電站事故后, ,我國國家海洋局高度我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展關(guān)注事態(tài)發(fā)展, ,緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進行現(xiàn)場監(jiān)緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進行現(xiàn)場監(jiān)測與海水

24、采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環(huán)境的影響及時開測與海水采樣，針對核泄漏在極端情況下對海洋環(huán)境的影響及時開展分析評估展分析評估. .如圖，上午如圖，上午9 9時，海檢船位于時，海檢船位于A A處，觀測到某港口城市處，觀測到某港口城市P P位于海檢船的北偏西位于海檢船的北偏西67.567.5方向，海檢船以方向，海檢船以2121海里海里/ /時的速度向正北時的速度向正北方向行駛，下午方向行駛，下午2 2時海檢船到達時海檢船到達B B處，這時觀察到城市處，這時觀察到城市P P位于海檢船的位于海檢船的南偏西南偏西36.936.9方向，求此時海檢船所在方向，求此時海檢船所在B B處與城市處與城市P P

25、的距離？的距離？( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： ).).33sin36.9, tan36.9,54 12sin67.5,13 12tan67.55 【解析【解析】過點過點P P作作ABAB的垂線交的垂線交ABAB于于C C點，由題意知點，由題意知AB=105AB=105海里，海里，ACP=BCP=90ACP=BCP=90，設(shè)，設(shè)AC=x cmAC=x cm，則則BC=(105-x)cmBC=(105-x)cm，在在RtRtAPCAPC中，中， ，在在RtRtBPCBPC中，中， PCtan67.5A C 12PCA Ctan67.5x5 ，PCtan36.9BC ，3PCBCtan36.9105x

26、4 ， ，解得，解得x=25x=25，即，即AC=25AC=25，BC=80BC=80，答：此時海檢船所在的答：此時海檢船所在的B B處與城市處與城市P P的距離為的距離為100100海里海里. .123x(105x )54222212PCx60PBPCBC6080100.5，1.(20101.(2010日照中考日照中考) )如圖，在等腰如圖，在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，D D是是ACAC上一點，若上一點，若 ，則，則ADAD的的長為長為( )( )(A)2 (B)(A)2 (B)(C) (D)1(C) (D)11tanD BA532【解析【解析】選選

27、A.A.過點過點D D作作DEABDEAB于點于點E E，在，在RtRtDBEDBE中，中，設(shè)設(shè)DE=xDE=x，則，則BE=5xBE=5x，又因為在等腰，又因為在等腰RtRtABCABC中，所以中，所以AE=DE=xAE=DE=x，所以，所以AB=5x+x=6xAB=5x+x=6x，又在等腰，又在等腰RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，則，則 , ,即即 ，所以，所以1tanD BA5，AB62626xx2，A D2x2.3.(20103.(2010濟寧中考濟寧中考) )在一次夏令營活動中，小霞同學(xué)從營地在一次夏令營活動中，小霞同學(xué)從營地A A點出發(fā)，點出發(fā)，要到

28、距離要到距離A A點點1 000 m1 000 m的的C C地去，先沿北偏東地去，先沿北偏東7070方向到達方向到達B B地，然后地，然后再沿北偏西再沿北偏西2020方向走了方向走了500 m500 m到達目的地到達目的地C,C,此時小霞在營地此時小霞在營地A A的的( )( )(A)(A)北偏東北偏東2020方向上方向上(B)(B)北偏東北偏東3030方向上方向上(C)(C)北偏東北偏東4040方向上方向上(D)(D)北偏西北偏西3030方向上方向上【解析【解析】選選. .設(shè)設(shè)A A點正北方向有點點正北方向有點E,BE,B點正北方向與點正北方向與ACAC延長線交于點延長線交于點D,D,由題意

29、可知由題意可知AC=1 000 mAC=1 000 m，BC=500 mBC=500 m，EAB=70EAB=70，DBC=20DBC=20，AEBDAEBD，所以，所以ABDABDEAB=180EAB=180，可得，可得ABD=110ABD=110，則，則ABC=90ABC=90；因；因AC=2BCAC=2BC，可得，可得CAB=30CAB=30，所以，所以EAC=40EAC=40，即小，即小霞在營地霞在營地A A的北偏東的北偏東4040方向上方向上. .故選故選C.C.4.(20104.(2010中山中考中山中考) )如圖如圖, ,已知已知RtRtABCABC中中, ,斜邊斜邊BCBC上的高上的高AD=4, ,AD=4, ,則則AC=_.AC=_.【解析【解析】由題意可得由題意可得B=DACB=DAC，則，則 ，因，因為為 ，所以，所以 ，得，得AC=5.AC=5.答案：答案：5 54cosB54cosD A CcosB5A DcosD A CA C44A C55.(20105.(2010深圳中考深圳中考) )如圖如圖, ,一艘海輪位一艘海輪位于燈塔于燈塔P P的東北方向的東北方向, ,距離燈塔距離燈塔 海里海里的的A A處處, ,它沿正南方向航行一段時間后它沿正南方向航行一段時間后, ,到達位于燈塔到達位于燈塔P P的南偏東