1、2022年高考數(shù)學(xué)考前熱身題1.如圖，在梯形 A8CC 中，AB/CD, ZD=60° , CD=2AB=2BC=2AD=4, E 為 C£> 的 中點(diǎn)，F(xiàn)為4E的中點(diǎn)，沿4E將三角形4OE折起.（I）證明：在折起過(guò)程中，平面8OFL平面8cO；（2）當(dāng)折起到平面A£）E_L平面A8C時(shí)，求二面角A - CO - E的余弦值.【分析】（1）證明BCL8F, BCLDF,即可證明BCJ_平面8OF,然后證明平面5£>FJ> 平面BCD.> >（2）以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A, FB,尸。的正方向分別為x, y, z軸的正方向建立空

2、間直 角坐標(biāo)系尸-孫z,求出平面ACO的法向量，平面CDE的法向量，利用空間向量的數(shù)量 積求解二面角A - CD-E的余弦值即可.【解答】（1）證明：在平面圖形中，因?yàn)镋為C。的中點(diǎn)且C£>=2AO,所以。E=AO= CE,又/£）=60° ,所以為正三角形，所以AO=AE,又 AB=A£>,所以 AB=AE,又 ABCD,所以NE48=/£>EA=60° ,所以A8E 為等 邊三角形.在折起過(guò)程中，因?yàn)槭瑸锳E的中點(diǎn)，所以AELOF, AELBF, 因?yàn)?CE=OE=AO=AE, AO=BC=AB,所以 AB=BC

3、=CE=AE,所以四邊形 ABCE 為 菱形，所以BC4E,所以8cLB凡BCLDF,又 BFCDF=F, BF, DFcTlS BDF,所以 BCJ平面 8。尸，又BCu平面BCD,所以平面B£）FJ_平面8CD（2）解：由（1） to DFLAE,因?yàn)槠矫鍭OE_L平面ABC,平面AOEC平面ABC=4E, u平面AOE,所以DEL平面ABC,從而。FJ_BF, X BFLAF,所以小，F(xiàn)B,尸。兩 兩垂直.以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A, FB,而的正方向分別為x, y, z軸的正方向建立空間直角坐 標(biāo)系F - xyz （如圖），D則4(1,0,。)，B(0, V3, 0), D(0,

4、 0, V3), E( - 1,0, 0). F(0, 0, 0), FC = FB + BC =FB + AE = (0, W, 0) + (-2, 0, 0) = (2, W, 0),即C(一2,6，0),>>>>所以AC = (-3, V3, 0), AD = (-1, 0, V3), ED = (1, 0, V3), EC = (-1, V3, 0).J T /、nal、，一0、，t, I ?n - i4C = 0/ I -3x 4- V3y = 0»設(shè)平面AC£)的法向里為m = (x, y, z),則 一 一 即64。= 0, l-x +

5、V3z = 0,令x = 可得平面ACO的一個(gè)法向量益=(代，3, 1)；設(shè)平面CDE的法向量痂= (a, b, c),則二竺=°'即”=°' In - FC = 0, "a +，3b = 0,令a = H,可得平面CDE的一個(gè)法向量I =(次，1, - 1),由于二面角A - CD-E為銳二面角，故二面角A - CD-E的余弦值為萼.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面 角的余弦函數(shù)值的求法，是中檔題.2.如圖，在多面體ABCQEF中，四邊形ABCO和CCE/都是直角梯形，AB/CD, CD/ EF, AB

6、=EF=, DA=DC=DE=2, NADE= NADC= NEDC=多 點(diǎn) M 為棱 b 上一 點(diǎn)，平面AEM與棱BC交于點(diǎn)M(I )求證：EC平面ABCD；(II )求證：AE/MN；2 FM(III)若平面AEM與平面CDEF所成銳二面角的余弦值為3求正的值.【分析】(I )證明E£)_LA。，EDLDC.然后推出EO_L平面A8CD(II)證明四邊形ABFE是平行四邊形.得到A£BF.推出AE平面BCF.然后證明AE/MN.(III)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,求出平面AEM的法向量，平面CCE尸的法向量， 利用空間向量的數(shù)列；就求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值，即

7、可推出結(jié)果.【解答】(I )證明：因?yàn)镹ADE = /.EDC =所以EDI DC.因?yàn)?A£)noC=O, AD, OCu平面 ABC。，所以平面ABCD (4分)(II )證明：因?yàn)?ABC£), CD/EF,所以ABEF.因?yàn)锳B=EF,所以四邊形ABFE是平行四邊形.所以AE即.因?yàn)锳EC平面BCF, 8Fu平面BCF,所以4E平面BCF.因?yàn)锳Eu平面AEM,平面AEMA平面BCF=MN,所以 AEMN. (8分)(III)解：因?yàn)镋OL4O, EDLDC, AD1DC,所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-qz,由 A8=Ef=l, DA=DC=DE=2,可知 D (0

8、, 0, 0), A (2, 0, 0), B (2, 1, 0), C (0, 2, 0), E (0, 0, 2), F (0, 1, 2),»TAE = (-2, 0, 2),尸C = (0, 1, -2), nFM 設(shè)正=A(0 < A < 1),則EM = EF + FM = EF + 4FC = (0, 1, 0) +A (0, 1, -2) = (0, 1+A, - 2人)，設(shè)蔡=(x, y, z)是平面AEM的法向量， Tm-AE = 0 un(-x + z = 0- n,即(l+Qy 2M = 0， m - EM = 0'所以m = (1+入，2

9、入,1+人).因?yàn)?1, 0, 0)是平面COE尸的法向量，所以cos<m, n> = 7! = =圣|m|n| J(1+A)2+(2A)2+(1+A)2 1因?yàn)?入1,解得2 = / 一一一2 FM 1所以平面AEM與平面CDE尸所成銳二面角的余弦值為二時(shí),=(143 FC 3分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面平行的判斷定理的應(yīng) 用，二面角的平面角的求法與應(yīng)用，是中檔題.3.如圖，在四棱錐P-A8c。中，四邊形ABC。為直角梯形，并且NA£)C=今AD/BC, 用1底面A8CD.已知AD=CO=2,四邊形A8CC的面積為6.(1)證明：直線A

10、CL平面以8； 71(2)點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，當(dāng)直線PB與平面ABCO所成的角為孑時(shí)，求直線PO與AE 所成角的余弦值.【分析】(1)證明ACJ_A8. AC1,PA.推出AC_L平面用艮(2)說(shuō)明NPOA即為直線PO與平面A8CQ所成的角，推出辦=28.以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AS, AC, AP的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求 出族=(V2, 0, V3), DP =(V2, -V2, 2V3),利用空間向量的數(shù)量積求解直線PD 與AE所成角的余弦值即可.【解答】(1)證明：根據(jù)題意，S悌形=例"翳絲=6,解得8c=4過(guò)點(diǎn) A 作于點(diǎn) M,則 AM=MC

11、=MB=2,并且 AC=AB=2/,因此 8c2=16=AC2+482,所以 AC_L48.又附1.底面ABC。，ACu底面ABCD,所以AULRl.又辦CAB=A所以，ACJL平面附反(2)解：由以上底面48CD,則AO為在平面A8CQ內(nèi)的投影，從而NPD4即為直線P。與平面A8CD所成的角，因此/尸=號(hào)，從而tan/PD4=54 =8，所以辦=2巡. /iLz根據(jù)(1),以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB, AC, AP的方向?yàn)閤, y, z軸的正方向建立如 圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A (0, 0, 0), D (-V2, V2, 0), B (272, 0, 0), P (0, 0, 2V3), E (V2, 0, V3),所以旗=(V2, 0, V3), DP =(V